3.变分法与Hamilton原理

  1 / 40    ۱ ՜ ۱, ݕ ൌ ݂ሺݔሻ 集合 ՜ ۱ ሾ݂ሿ א ۱ ݃ሺݔሻ ؝ ݔଶ ൅ 2ݔ ሾ݂ሿ ؝ ݂ሺ1ሻ Φሾsinሿ ൌ sin 1 ൎ 0.84, Φሾexpሿ ൌ eଵ ൎ 2.718, Φሾ݃ሿ ൌ 3.  例  Φሾ݂ሿ ؝ ׬ ݂ሺݔሻ݀ݔଶ଴ ，则  ݂ሺݔሻ ؝ ݁ି௫ ֜ Φሾ݂ሿ ൌ 1 െ ݁ିଶ ൎ 0.864665;  ݃ሺݔሻ ؝ ݁ି௫ మ ݔ sin ݔ ֜ Φሾ݃ሿ ൎ 0.337979.  例  Φሾ݂ሿ ؝ ׬ ሼ݂ᇱሺݔሻଶ ൅ 1ሽ݀ݔஶିஶ   泛函可类比于多变量函数，  ݕ ൌ ߮ሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔ௡ሻ~ሼݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔ௡ሽ,  Φ ݂ሿ~൛݂ሺݖሻหݖ א ݂的定义域ൟ.  这里的݂ሺݖሻ相当于前面多变量函数的自变量ݔ௜，݂ ՞ ݔ, ݖ ՞ ݅；泛函Φሾ݂ሿ是以不可数无穷多个变 , ݂ሺ  复合函数可以看成 ݔሺݐሻ, ܮሾݔ, ݐ଴ሿ ؝ ଵଶ 第 3章  变分法与HAMILTON原理  一、 泛函与变分  1. 泛函  普通函数݂:   泛函是普通函数概念的推广，Φ:   自变量的集合通常取为函数，Φ 。  例  是函数；Φ 是泛函，并且有  ሾ 量݂ሺݔଵሻ ݔଶሻ, ڮ作为自变量的函数。  例 是一族泛函，ݔ ൌ ݉൫ݔሶሺݐ଴ሻ൯ ଶ െ ܸ൫ݔሺݐ଴ሻ൯，其中ݐ଴是参数。  多变量函数，  自变量的微分为݀ݔଵ, ݀ݔଶ, ڮ , ݀ݔ௡, ݔ௝ᇱ െ ݔ௝ ൌ ݀ݔ௝；  变量为൛݂ሺݔሻ 量的变分ߜ݂ ൌ ݂ᇱ െ ݂, ߜ݂ሺݔሻ ൌ ሺݔሻ െ ݂ሺݔሻ，即函 数的无穷小改变。  ݂ሺݔሻ ൌ ߝߟሺݔሻ，其中ߝ为任意无穷小量，ߟሺݔሻ为任意连续有界函数。类似于数 学分析中的ߝ‐ߜ语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。  函数的微分݀߮ሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔ௡ሻ ؝ ߮ሺݔଵ ൅ ݀ݔଵ, ݔଶ ൅ ݀ݔଶ, ڮ , ݔ௡ ൅ ݀ݔ௡ሻ െ ߮ሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔ௡ሻ.  的变分ߜΦሾ݂ሿ ؝ Φሾ݂ ൅ ߜ݂ሿ െ Φሾ݂ሿ.  2. 变分  泛函可类比于 多变量函数߮ሺݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔ௡ሻ， 泛函Φሾ݂ሿ的自 หݔ א定义域ൟ，自变 ݂ᇱ 小参量法的定义为ߜ 3. 泛函的变分  泛函 jjzhu 已修订   2 / 40    ݂ሺݔ଴ሻ, ߜΦሾ݂ሿ ൌ ሺ݂ ൅ ߜ݂ሻሺݔ଴ሻ െ ݂ሺݔ଴ሻ ൌ ߜ݂ሺݔ଴ሻ.  ሾݍଵ, ݍଶ, ڮ , ݐሿ ؝ ݎԦ௜ሺݍଵሺݐሻ, ݍଶሺ , ڮ , ݐሻ，虚位移 ߜݎԦ௜ ൌ ݎԦ௜ሺݍሺݐሻ ൅ ߜݍሺݐሻ, ݐሻ െ ݎԦ௜ሺݍሺݐሻ, ݐሻ ൌ డ௥Ԧ೔ 例  Φሾ݂ሿ ؝ 例  位移 ݎԦ௜ ݐሻ డ௤ഀ ߜݍఈሺݐሻ。  ሻ݃ሺݔሻ݁ି௫ మ ݀ݔାஶ ，（变分与积分可交换在后面证明） ߜΦሾ݂, ݃ሿ ൌ Φሾ݂ ൅ ߜ݂, ݃ ൅ ߜ݃ሿ െ Φሾ݂, ݃ሿ ൌ න ሺ݂ ൅ ߜ݂ሻሺݔሻሺ݃ ൅ ߜ݃ሻሺݔሻ݁ି௫ మ ݀ݔ ାஶ ିஶ െ න ݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ݁ି௫ మ ݀ݔ ାஶ ൌ න ሼߜ݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ ൅ ݂ሺݔሻߜ݃ሺݔሻሽ݁ି௫ మ ݀ݔ ାஶ ିஶ   4. LAGRANGE变分基本引理  设ܩሺݔሻ在区间ሾݔଵ, ݔଶሿ上连续，ߟሺݔሻ及其 2 阶导数在ሾݔଵ, ݔଶሿ上连续，且在端点处ߟሺݔଵሻ ൌ ߟሺݔଶሻ ൌ 0。如果任意这样的函数ߟሺݔሻ均满足׬ ܩሺݔሻߟሺݔሻ݀ݔ௫మ௫భ ൌ 0，则必有׊ݔ א ሾݔଵ, ݔଶሿ, ܩሺݔሻ ൌ 0。 ܽ א ሺݔଵ, ݔଶሻ, ܩሺܽሻ ൌ ߙ ് 0，不妨设ܩሺܽሻ ൐ 0。由于ܩሺݔሻ连续， 存在 , ܽ ൅ ݀ 在ሾ ఈ ଶ 例  Φሾ݂, ݃ሿ ؝ ׬ ݂ሺݔିஶ   ିஶ     用反证法很容易证明：反设׌ ܽ点的邻域ሾܽ െ ݀ ሿ ك ሾݔଵ, ݔଶሿ， ܽ െ ݀, ܽ ൅ ݀ሿ上ܩሺݔሻ ൒ ൐ ߟሺݔሻ 0, ݔ ב ሾܽ െ ݀, ܽ ൅ ݀ሿ; െ ሺܽ െ ݀ሻ൯൫ݔ െ ሺܽ ൅ ݀ሻ൯ ൐ 0, ݔ א ሾܽ െ ݀, ܽ ൅ ݀ሿ,     න ܩሺݔሻߟሺݔሻ݀ݔ ௫మ ௫భ ൌ න ܩሺݔሻߟሺݔሻ݀ݔ ௔ାௗ ௔ିௗ ൒ ߙ 2 0。现在构造ߟሺݔሻ为  ൌ ቊ െ൫ݔ 则 න ߟሺݔሻ݀ݔ ௗ ௔ିௗ ൌ ߙ 2 ௔ା ڄ 4 3 ݀ଷ ൐ 0  与׬ ܩሺݔሻߟሺݔሻ݀ݔ௫మ௫భ ൌ 0矛盾，所以׊ܽ א ሺݔଵ, ݔଶሻ, ܩሺܽሻ ൌ 0。再由函数的连续性，在端点上同样有 ଵሻ ൌ ܩሺݔଶሻ ൌ 0。  注：定理中ߟሺݔሻ所需满足的条件可以更改为“连续”或者“1 阶导数连续”，“3 阶导数连续” 等等。  泛函的导数  多变量函数的偏导数定义为  ߲߮ሺ ߲ݔ௝ ܩሺݔ 5. ݔଵ, ݔଶ, ڮ , ݔ௡ሻ ؝ lim ߮൫ݔଵ, ڮ , ݔ௝ ൅ Δݔ௝, ڮ , ݔ௡൯ െ ߮൫ݔଵ, ڮ , ݔ௝, ڮ , ݔ௡൯ ୼௫ೕ՜଴ Δݔ௝   或者写成微分形式，  ଵ ଶ , ݔ௡ሻ ؠ ߲߮ ߲ݔଵ ݀߮ሺݔ , ݔ , ڮ ݀ݔଵ ൅ ߲߮ ߲ݔଶ ݀ݔଶ ൅ ڮ ൅ ߲߮ ߲ݔ௡ ݀ݔ௡ ൌ ߲߮ ߲ݔ௝ ݀ݔ௝  泛函的导数定义为  ߜΦሾ݂ሿ ؠ න ߜΦ ߜ݂ ሺݔሻߜ݂ሺݔሻ݀ݔ    3 / 40    按习惯，ఋ஍ ఋ௙ ሺݔሻ一般写成 ఋ஍ ఋ௙ሺ௫ሻ 。  例  Φሾ݂ሿ ؝ ݂ሺݔ ሻ，ߜΦሾ݂ሿ ൌ Φሾ݂ ൅ ߜ݂ሿ െ Φሾ݂ሿ ൌ ߜ݂ሺݔ଴ሻ，  ߜΦሾ݂ሿ ൌ න ߜΦ ߜ݂ሺݔሻ ଴ ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ න ߜ݂ሺݔ଴ሻ ߜ݂ሺݔሻ ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ߜ݂ሺݔ଴ሻ ൌ න ߜሺ ݔ଴ሻߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ۙݔ െ ۘ ۗ ֜ න ቊ ߜ݂ሺݔ଴ሻ ߜ݂ሺݔሻ െ ߜሺݔ െ ݔ଴ሻቋ ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ 0  这里δ~߳ߟሺݔሻ，由 Lagrange引理，  ߜ݂ሺݔ଴ሻ ߜ݂ሺݔሻ െ ߜሺݔ െ ݔ଴ሻ ֜ ߜ݂ሺݔሻ ߜ݂ሺݕሻ ൌ ߜሺݔ െ ݕሻ   例  Φሾ݂ሿ ؝ ݂ᇱሺܽሻ，  ߜΦ ൌ ߜ݂ᇱሺܽሻ ൌ න ߜሺݔ െ ܽሻߜ݂ᇱሺݔሻ݀ݔ ାஶ ൌ െ න ߜԢሺݔ െ ܽሻߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ାஶ ିஶ ֜ ߜ݂ᇱሺݔሻ ߜ݂ሺݕሻିஶ ൌ ݀ ݀ݔ ߜሺݔ െ ݕሻ  例  Φሾ݂, ݃ሿ ൌ ׬ ݁ି௫݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ݀ݔஶ଴   ߜΦ ߜ݂ሺݔሻ ൌ න ݁ି௬ ቊ ߜ݂ሺݕሻ ߜ݂ሺݔሻ ݃ሺݕሻ ൅ ݂ሺݕ ߜ݃ሺݕሻ ߜ݂ሺݔሻ ሻ ቋ ݀ݕ ஶ ଴ ൌ න ݁ି௬ሼߜሺݕ െ ݔሻ݃ሺݕሻ ൅ ݂ሺݕሻ ڄ 0ሽ݀ݕ ஶ ଴ ൌ ݁ି௫݃ሺݔሻߠሺݔሻ  ߜΦ ߜ݃ሺݔሻ ൌ ݁ି௫݂ሺݔሻߠሺݔሻ  ߠሺݔሻ是阶跃函数（Heaviside function）。  例  Φሾ݂ሿ ؝ ׬ ሼ݂ሺݔଶ ൅ 1ሻ ൅ 2݂ሺݔሻሽ݀ݔାஶିஶ   ߜΦ ߜ݂ሺݕሻ 其中 ൌ න ቊ ߜ݂ሺݔଶ ൅ 1ሻ ߜ݂ሺݕሻ ൅ 2 ߜ݂ሺݔሻ ߜ݂ሺݕሻ ቋ ݀ݔ ାஶ ିஶ ൌ න ሼߜሺݔଶ ൅ 1 െ ݕሻ ൅ 2ߜሺݔ െ ݕሻሽ݀ݔ ାஶ ିஶ ൌ න ቊ ߠሺݕ െ 1ሻ 2ඥݕ െ 1 ߜ൫ݔ െ ඥݕ െ 1൯ ൅ ߠሺݕ െ 1ሻ 2ඥݕ െ 1 ߜ൫ݔ ൅ ඥݕ െ 1൯ ൅ 2ߜሺݔ െ ݕሻቋ ݀ݔ ାஶ 1 ିஶ ൌ ඥݕ െ 1 ߠሺݕ െ 1ሻ ൅ 2  上面用了ߜ函数的性质  ߜ൫߮ሺݔሻ൯ ൌ ෍ 1 |߮ᇱሺݔ଴ሻ| ߜሺݔ െ ݔ଴ሻ ௫బדఝሺ௫బሻୀ଴   另一种计算方法：  ߜΦ ൌ න ሼߜ݂ሺݔଶ ൅ 1ሻ ൅ 2ߜ݂ሺݔሻሽ݀ݔ ାஶ ିஶ ൌ න ߜ݂ሺݔଶ ൅ 1ሻ݀ݔ ାஶ ିஶ ൅ න 2ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ାஶ ିஶ ඥݕ െ 1ൌ න ߜ݂ሺݕሻ݀൫൅ ൯ ାஶ ଵ ൅ න ߜ݂ሺݕሻ݀൫െඥݕ െ 1൯ ଵ ାஶ ൅ න 2ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ାஶ ିஶ ሺݕ ؝ ݔଶ ൅ 1ሻ   4 / 40    ൌ 2 න ߜ݂ሺݕሻ݀൫ඥݕ െ 1൯ ାஶ ଵ ൅ න 2ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ାஶ ିஶ ൌ න 1 ඥݕ െ 1 ߜ݂ሺݕሻ݀ݕ ାஶ ଵ ൅ න 2ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ାஶ ିஶ 1 1 ൌ න ൬ √ݔ െ ߠሺݔ െ 1ሻ ൅ 2൰ ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ାஶ   例  Sሾݍሿ ؝ ׬ ܮሺݍ, ݍሶ , ݐሻ݀ݐ௕௔   ߜS ൌ න ൜ ߲ܮ ߲ݍఈ ିஶ ߜݍఈ ൅ ߲ܮ ߲ݍሶఈ ߜݍሶఈൠ ݀ݐ ௕ ௔ ൌ න ൜ ߲ܮ ߲ݍఈ ߜݍఈ ൅ ݀ ݀ݐ ൬ ߲ܮ ߲ݍሶఈ ߜݍఈ൰ െ ൬ ݀ ݀ݐ ߲ܮ ߲ݍሶఈ ൰ ߜݍఈൠ ݀ݐ ௕ ௔ ൌ න ൜ ߲ܮ ߲ݍఈ ߜݍఈ െ ൬ ݀ ݀ݐ ߲ܮ ߲ݍሶఈ ൰ ߜݍఈൠ ݀ݐ ௕ ௔ ൅ ߲ܮ ߲ݍሶఈ ߜݍఈฬ ௧ୀ௔ ௧ୀ௕   6. 变分的运算规则  与微分法则类似，可以证明，  ߜሺܿଵΦଵ ൅ ܿଶΦଶሻ ൌ ܿଵߜΦଵ ൅ ܿଶߜΦଶ（线性） ߜሺΦଵΦଶሻ ൌ ߜΦଵ ڄ Φଶ ൅ Φଵ ڄ ߜΦଶ, ߜ ൬ Φଵ Φଶ ൰ ൌ ߜΦଵ ڄ Φଶ െ ΦଵߜΦଶ Φଶ ଶ   ߜሺΦ௡ሻ ൌ ݊Φ௡ିଵߜΦ, ߜ൫ܨሺΦଵ, ڮ , Φ௡ሻ൯ ൌ ߲ܨ ߲Φ௝ ߜΦ௝    ߜ ݀ ݀ݔ 7. 变分可以与微分、积分交换次序 按定义，  ݂ሺݔሻ ؠ ߜ ቊlim ఌ՜଴ ݂ሺݔ ൅ ߝሻ െ ݂ሺݔሻ ߝ ቋ ݔ ؠ ቊlim ఌ՜଴ ሺ݂ ൅ ߜ݂ሻሺݔ ൅ ߝሻ െ ሺ݂ ൅ ߜ݂ሻሺ ሻ ߝ ቋ െ ቊlim ఌ՜଴ ݂ሺݔ ൅ ߝሻ െ ݂ሺݔሻ ߝ ቋ ൌ lim ఌ՜଴ ߜ݂ሺݔ ൅ ߝሻ െ ߜ݂ሺݔሻ ߝ ൫这一步交换求和顺序不严格，对病态函数可能不成立൯ ൌ ݀ ݀ݔ ߜ݂ሺݔሻ  移，ߜ ௗ ௗ௧ 因此对虚位 ݎԦ௜ሺݐሻ ൌ ௗௗ௧ ߜݎԦ௜ሺݐሻ，在分析力学中称为等时变分或简单变分。  分析力学中还有其它方式定义的变分，一般说来等价于ߜ与平移的混合运算，此时Δ ௗ ௗ௧ ് ௗ ௗ௧ Δ。  对于积分，  ߜ න ܨሺݔሻ݀ݔ ؠ ߜ ൝ lim ୼௫೔՜଴ ෍ ܨሺݔ௜ሻΔݔ௜ ௜ ൡ ؠ lim ୼௫೔՜଴ ෍ሺܨ ൅ ߜܨሻሺݔ௜ሻΔݔ௜ ௜ െ lim ୼௫೔՜଴ ෍ ܨሺݔ௜ሻΔݔ௜ ௜ ൌ lim ୼௫ ෍ ߜܨሺݔ௜ሻΔݔ௜ ௜ ൫这一步交换求和顺序不严格，对某些病态函数可能不成立൯ ൌ න ߜܨሺݔሻ݀ݔ  8. 泛函的高阶变分  ೔՜଴   5 / 40    ߜΦ ൌ න ൜ ߲ܨ ߲݂ 例  Φሾ݂, ݃ሿ ؝ ׬ ܨሺ݂, ݃, ݔሻ݀ݔ௕௔ ，  ߜ݂ሺݔሻ ൅ ߲ܨ ߲݃ ߜ݃ሺݔሻൠ ݀ݔ ௕ ௔ ,  ߜଶΦ ൌ ߜሺߜΦሻ ൌ ߜ න ൜ ߲ܨ ߲݂ ߜ݂ሺݔሻ ൅ ߲ܨ ߲݃ ߜ݃ሺݔሻൠ ݀ݔ ௕ ௔ ൌ න ൜൬ߜ ߲ܨ ߲݂ ൰ ߜ݂ሺݔሻ ൅ ൬ߜ ߲ܨ ߲݃ ൰ ߜ݃ሺݔሻൠ ݀ݔ ௕ ௔ ൌ න ቊ ߲ଶܨ ߲݂߲݂ ൫ߜ݂ሺݔሻ൯ ଶ ൅ 2 ߲ଶܨ ߲݂߲݃ ߜ݂ሺݔሻߜ݃ሺݔሻ ൅ ߲ଶܨ ߲߲݃݃ ൫ߜ݃ሺݔሻ൯ ଶ ቋ ݀ݔ ௕ ௔   . 泛函的连续性  对于泛函Φሾ݂ ，给定函数݂ሺݔሻ，如果能够满足  ׊ߝ ൐ 0, ׌ߜ ൐ 0，当| ሺݔሻ െ ݂ሺݔሻ| ൏ ߜ, |݃ᇱሺݔሻ െ ݂ሺݔሻ| ൏ ߜ, ڮ , ห݃ሺ௡ሻሺݔሻ െ ݂ሺ௡ሻሺݔሻห ൏ ߜ时，有 ݃ሿ െ Φሾ݂ሿ| ൏ ߝ,  则称泛函Φሾ݂ሿ在݂ሺݔሻ处݊阶接近的连续。  10. 泛函的极值  泛函Φሾ݂ሿ取在݂处取驻值的条件为ఋ஍ ఋ௙ 9 ሿ   ݃ |Φሾ ൌ 0，或等价地ߜΦ ൌ 0.  泛函取极值的条件除了ߜΦ ൌ 0外，还必须满足ߜଶΦ ൏ 0（取极大值）或ߜଶΦ ൐ 0（取极小值）。  11. 固定边界的泛函极值  问题（the  brachistochrone  problem）的分析导致了变分法（calculus  of  的发 at 最速降线更早了几十年）  ) 最速降线   例  （J. Bernoulli, 696年）垂直平面上有两个固定的点ܣ, ܤ。以水平方向为ݔ轴，向下方向为ݕ轴， ൐ 0 ݔ ൌ ݂ሺݕሻ连接，一个质点被束缚在曲线上运 动，在重力作用下自由下降，初速为 0。什么样的曲线形状可以使质点从ܣ到ܤ所花的时间最少？  在历史上，对最速降线 variation） 明。（Ferm 原理比 Bernoulli的 (1  1 ܣ点为原点，设ݔ஺ , ݕ஺ ൐ 0。ܣ, ܤ两点之间用曲线 解  机械能守恒， ଶ ଵ ݉ݒ ൌ ݉݃ݕ ֜ ඥ2݃ݕଶ ݒ ൌ ；弧长 ሺ݀ݔ݀ݏ ൌ ඥ ሻଶ ൅ ሺ݀ݕሻଶ ൌ ට൫݂ᇱሺݕሻ൯ଶ ൅ 1݀ݕ， 通过这段弧所需的时间为  ݀ݐ ൌ ݀ݏ ݒ ൌ ඨ ൫݂ᇱሺݕሻ൯ ଶ ൅ 1 2݃ݕ ݀ݕ  ݐ ሾ݂ሿ ൌ න ඨ 1 ൅ ݂ᇱଶ 从ܣ到ܤ所花的时间为  ஺஻ 2݃ݕ ݀ݕ ௬ಳ   取极值的必要条件为  ׊ݕ א ሺݕ஺, ݕ஻ሻ, ߜݐ஺஻ ߜ݂ሺݕሻ ௬ಲ ൌ 0.    6 / 40    立，因为端点处݂ሺݕ஺ሻ ݂ሺݕ஺ሻ ൌ 0, ݂ሺݕ஻ሻ ൌ ݔ஻ ֜ ߜ݂ሺݕ஻ሻ ൌ 0.  导数，  ߜݐ஺஻ ߜ݂ሺݕሻ 注意上式无需对端点成 ൌ ݔ஺ ֜ ߜ 下面来求ݕ ് ݕ஺, ݕ஻处的泛函 ൌ න ߜ ߜ݂ሺݕሻ ඨ 1 ൅ ݂ᇱଶሺݖሻ 2݃ݖ ݀ݖ ௬ಳ ௬ಲ ൌ න 1 ඥ2݃ݖ 1 2 ڄ 2݂ ᇱሺݖሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݖሻ ߜ݂ᇱሺݖሻ ߜ݂ሺݕሻ ݀ݖ ௬ಳ ௬ಲ 1 ඥ2݃ݖ ൌ න 1 2 ڄ 2݂ ᇱሺݖሻ ඥ1 ൅ ݂ ሺݖሻᇱଶ ݀ ݀ݖ ߜሺݖ െ ݕሻ݀ݖ ௬ಳ ௬ಲ ൌ න ቐ ݀ ݀ݖ ቌ 1 ඥ2݃ݖ ݂ᇱሺݖሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݖሻ ߜሺݖ െ ݕሻቍ െ ቆ ݀ ݀ݖ 1 ඥ2݃ݖ ݂ᇱሺݖሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݖሻ ቇ ߜሺݖ െ ݕሻቑ ݀ݖ ௬ಳ ௬ಲ ඥ2݃ݖ ൌ ቌ 1 ݂ᇱሺݖሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݖሻ ߜሺݖ െ ݕሻቍቮ ௭ୀ௬ಲ ௭ୀ௬ಳ െ ݀ ݀ݕ ቆ 1 ඥ2݃ݕ ݂ᇱሺݕሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݕሻ ቇ ൌ െ ݀ ݀ݕ ቆ 1 ඥ2݃ݕ ݂ᇱሺݕሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݕሻ ቇ  所以有  ݀ݕ ݀ ቆ ඥ2݃ݕ 1 ݂ᇱሺݕሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݕሻ ቇ ൌ 0 ֜ ඥ2݃ݕ 1 ݂ᇱሺݕሻ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶሺݕሻ ൌ ܿଵ ֜ ݂ᇱଶ 1 ൅ ݂ᇱଶ ൌ 2݃ܿଵଶݕ ֜ ݂ᇱ ൌ േඨ 2݃ܿଵ ଶݕ 1 െ 2݃ܿଵ ଶݕ ൌ േඨ ܿݕ 1 െ ܿݕ ֜ ݔ ൌ ݂ሺݕሻ ൌ േ 1 ܿ ቄarcsin ඥܿݕ െ ඥܿݕሺ1 െ ܿݕሻቅ ൅ ݀  将ܣ点坐标ሺ0,0ሻ代入得݂ሺ0ሻ ൌ 0 ֜ ݀ ൌ 0；另一个积分常数ܿ ൌ 2݃ܿଵଶ 可由  ݔ஻ ൌ 1 ܿ ൐ 0 ቄar sin ඥܿݕ஻c െ ඥܿݕ஻ሺ1 െ ܿݕ஻ሻቅ  定出。右边只取正号的原因是：令  arcsin ඥܿݕ ൌ ߠ 2 ֜ ඥܿݕሺ1 െ ܿݕሻ ൌ ඨsinଶ ߠ 2 cosଶ ߠ 2 ൌ 1 2 sin ߠ,  ߠ ൐ sin ߠ ֜ ଵ ௖ ൛arcsin ඥܿݕ஻ െ ඥܿݕ஻ሺ1 െ ܿݕ஻ሻൟ ൐ 0，又ݔ஻ ൐ 0，所以只能取正号。曲线方程为 ݔ ൌ 1 ܿ   ቄarcsin ඥܿݕ െ ඥܿݕሺ1 െ ܿݕሻቅ  这个曲线方程可以改成参数形式，arcsin ඥܿݕ ൌ ఏ ଶ ֜ ݕ ൌ ଵ ௖ sin ఏ ଶ ，取ܽ ൌ ଵ ଶ௖ ，  ൜ ݔ ൌ ܽሺߠ െ sin ߠሻ ݕ ൌ ܽሺ1 െ cos ߠሻ   。  这里我们只验证了驻值条件，还需进一步验证是否有二次变分൐ 0，  是摆线方程   7 / 40    ߜݐ஺஻ ൌ න 1 ඥ2݃ݖ ݂ᇱ ඥ1 ൅ ݂ᇱଶ ߜ݂ᇱሺݖሻ݀ݖ ௬ಳ ௬ಲ ֜ ߜଶݐ஺஻ ൌ න 1 ඥ2݃ݖ ቐ 1 ඥ1 ൅ ݂ᇱଶ െ ݂ᇱଶ ሺ1 ൅ ݂ᇱଶሻ ଷ ଶ ቑ ሺߜ݂ᇱሻଶ݀ݖ ௬ಳ ௬ಲ ൌ න 1 ඥ2݃ݖ 1 ሺ1 ൅ ݂ᇱଶሻ ଷ ଶ ሺߜ݂ᇱሻଶ ௬ಳ ௬ಲ   确实是极小值。  另一种解法是设ݕ ൌ ݂ሺݔሻ，见沈 p219.    注：沈 p220例 2.64遗漏了 Goldschmidt解（Goldstein  3ed.  P40），变分法ߜ݂前面的因子如果不 连续，则不一定为 0（此时 Lagrange变分引理的前提条件不成立）。  (2) 固定边界的积分型泛函驻值   Φሾ݂ሿ ൌ න ܨሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ௫భ   在边界条件݂ሺݔଵሻ ൌ ݕଵ, ݂ሺݔଶሻ ൌ ݕଶ下的驻值条件为  0 ൌ ߜΦ ൌ න ߜܨሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ௫మ ௫భ ൌ න ൜ ߲ܨ ߲݂ ݀ݖ ൐ 0 ௫మ ߜ݂ሺݔሻ ൅ ߲ܨ ߲݂ᇱ ߜ݂ᇱሺݔሻൠ ݀ݔ ௫మ ௫భ ൌ න ൜ ߲ܨ ߲݂ ߜ݂ሺݔሻ ൅ ߲ܨ ߲݂ᇱ ݀ ݀ݔ ߜ݂ሺݔሻൠ ݀ݔ ௫మ ௫భ ൌ ߲݂ න ൝ ߲ܨ ߜ݂ሺݔሻ ൅ ݀ ݀ݔ ൭ ߲ܨ ߲݂ᇱ ߜ݂ሺݔሻ൱ െ ൬ ݀ ݀ݔ ߲ܨ ߲݂ᇱ ൰ ߜ݂ሺݔሻൡ ݀ݔ ௫ ௫భ ൌ න ൜ ߲ܨ ߲݂ మ െ ൬ ݀ ݀ݔ ߲ܨ ߲݂ᇱ ൰ൠ ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ௫మ ൅ ߲ܨ ߲݂ᇱ௫భ ߜ݂ሺݔሻฬ ௫భ ௫ୀ௫మ ௫ୀ ൌ න ൜ ߲ܨ ߲݂ െ ൬ ݀ ݀ݔ ߲ܨ ߲݂ᇱ ൰ൠ ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ௫మ ௫భ   ߲ܨ ߲݂ െ ݀ ݀ݔ ߲ܨ ߲݂ᇱ ൌ 0ሺEuler方程ሻ  如果没有指定边界处的函数值，则ߜ݂ሺݔଵሻ, ߜ݂ሺݔଶሻ ് 0，应视为独立的变分，得自然边界条 ߲ܨ ߲݂ᇱ 件  ฬ ௫ୀ௫భ ൌ 0, ߲ܨ ߲݂ᇱ ฬ ௫ୀ௫మ ൌ 0  (3) EULER方程的首次积分   ①ܨ ൌ ܨሺ݂, ݂ᇱሻ，“广义能量”݂ᇱ డி డ௙ᇲ െ ܨ ൌ constant  ②ܨ ൌ ܨሺݔ, ݂ᇱሻ，“广义动量” డி డ௙ᇲ ൌ constant  ③ܨ ൌ ܨሺݔ, ݂ሻ，得代数方程డி డ௙ ൌ 0，可直接解出݂ሺݔሻ。    8 / 40    例  最速降线的另一种解法（沈 p219）设ݕ ൌ ߮ሺݔሻ，ݐ஺஻ ൌ ଵඥଶ௚ ׬ ට ሺଵାఝᇲమሻ ఝ ݀ݔ௫ಳ௫ಲ ，ܨሺ߮, ߮ ᇱሻ ൌ ට ሺଵାఝᇲమሻ ఝ ， 有“广义能量积分”，……  多变量泛函的固定边界驻值   Φሾ ଵ݂, ଶ݂, ڮ , ே݂ሿ ൌ න ܨሺݔ, ଵ݂, ڮ , ே݂, ଵ݂ᇱ, ڮ , ே݂ᇱ ሻ݀ݔ ௫మ ௫భ , ఈ݂ሺݔଵሻ ൌ ݕఈଵ, ఈ݂ሺݔଶሻ ൌ ݕఈଶ  Euler方程为  ఈ݂ (4) ߲ܨ ߲ െ ݀ ݀ݔ ߲ܨ ߲ ఈ݂ᇱ ൌ 0, ൌ 1,2, ڮ , ܰ.  定边值时   ߲ܨ ߙ 不指 ，自然边界条件为 ߲ ఈ݂ᇱ ฬ ௫ୀ௫   భ,௫మ ൌ 0 Φሾ݂ሿ ൌ න ܨ ൬ݔଵ, ڮ , ݔ௡, ݂, ߲݂ (5) 多重积分型泛函的固定边界驻值   ߲ݔଵ , ڮ ߲݂ ߲ݔ௡ ൰ ݀ݔଵ ڮ ݀ݔ௡ , 边界值݂ሺ߲ܦሻ已指定。  Euler方程  ߲݂ ஽ ߲ܨ െ ߲ ߲ݔ௜ ൬ ߲ܨ ߲ሺ߲௜݂ሻ ൰ ൌ 0  项 డ డ௫೔ 注意左边第二 是对整个括号中式子求偏导数， డ డ௫೔ ቀ డி డሺడ೔௙ሻ ቁ ൌ డ మி డሺడ೔௙ሻడ௫೔ ൅ డ మி డሺడ೔௙ሻడ൫డೕ௙൯ డమ௙ డ௫೔డ௫ೕ 。  不指定边值，可得自然边界条件  ߲ܨ ߲ሺ߲௜݂ሻ ฬ ሺ௫భ,ڮ,௫೙ሻאడ஽ ൌ 0  (6) 含高阶导数泛函的固定边界驻值   以 2阶为例计算。……  Φሾ݂ሿ ൌ න ܨ൫ݔ, ݂, ݂ᇱ, ڮ , ݂ሺ௡ሻ൯݀ݔ ௫మ ௫భ , ݂ሺݔଵሻ ൌ ݕଵ, ݂ሺݔଶሻ ൌ ݕଶ, ڮ , ݂ሺ௡ሻሺݔଵሻ ൌ ݕ௡ଵ, ݂ሺ௡ሻሺݔଶሻ ൌ ݕ௡ଶ    ߲ܨ ߲݂ 一般的含݊阶导数的泛函  Euler方程为 െ ݀ ݀ݔ ߲ܨ ߲݂ᇱ ൅ ڮ ൅ ሺെ1ሻ௡ ݀௡ ݀ݔ௡ ቆ ߲ܨ ߲݂ሺ௡ሻ ቇ ൌ 0  自然边界条件    9 / 40    ە 当ݔ ൌ ݔଵ, ݔଶ时， ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ߲ܨ ߲݂ᇱ െ ݀ ݀ݔ ቆ ߲ܨ ߲݂ሺଶሻ ቇ ൅ ڮ ൅ ሺെ1ሻ௡ିଵ ݀௡ିଵ ݀ݔ௡ିଵ ቆ ߲ܨ ߲݂ሺ௡ሻ ቇ ൌ 0 ߲ܨ ߲݂ሺଶሻ െ ݀ ݀ݔ ቆ ߲ܨ ሺଷሻ ߲݂ ቇ ൅ ڮ ൅ ሺെ1ሻ௡ିଶ ݀௡ିଶ ݀ݔ௡ିଶ ቆ ߲ܨ ߲݂ሺ௡ሻ ቇ ൌ 0 ڮ ߲ܨ ߲݂ሺ௡ሻ ൌ 0     (7) 用参数表示的固定边界泛函驻值   Φሾ݂ሿ ؝ න ܨሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ௫మ ௫భ   把݂ሺݔሻ的自变量写成参数形式，ݔ ൌ ݔሺߣሻ，其中函数ݔሺߣሻ可任意变化，那么  ݕ ؝ ݂ሺݔሻ ൌ ݂൫ݔሺߣሻ൯ ൌ ݕሺߣሻ, ݂ᇱሺݔሻ ൌ ݀ݕ ݀ݔ ൌ ݀ݕ ݀ߣ⁄ ݀ݔ ݀ߣ⁄ ؝ ݕᇱሺߣሻ ݔᇱሺߣሻ   Φכሾݔ, ݕሿ ؝ Φሾ݂ሿ ൌ න ܨሺݔ, ݕ, ݕᇱ ݔᇱ⁄ ሻݔᇱ݀ߣ ௫ୀ௫మ ௫ୀ௫భ ؝ න ܨכሺݔ, ݕ, ݔᇱ, ݕԢሻ݀ߣ ఒమ ఒభ   从上面的泛函定义来看，很显然，泛函的取值与参数化 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ݔሺߣሻ无关，而只与݂ሺݔሻ ൌ ݕሺݔሻ ൌ ݕ൫ߣሺݔሻ൯有关。变分得驻值条件（边界条件为ݔሺߣ௜ሻ ൌ ݔ௜, ݕሺߣ௜ሻ ൌ ݕ௜, ݅ ൌ 1,2；ߜݔሺߣሻ, ߜݕሺߣሻ独立）  ߲ܨכ ߲ݔ െ ݀ ݀ߣ ൬ ߲ܨכ ߲ݔᇱ ൰ ൌ 0, ߲ܨכ ߲ݕ െ ݀ ݀ߣ ൬ ߲ܨכ ߲ݕᇱ ൰ ൌ 0  虽然有两个方程，但是不可能由此解出ݔ ൌ ݔሺߣሻ（能解出就奇怪了☺），这两个方程必然不 联立，即可以求解。  如果ߣ是弧长参数，则定义参数ߣ的方程为ݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൌ 1。  总 数方程 成 (8) 几何光学的FERMAT原理（变分法的先驱）   光线的真实路径满足  ݐ஺஻ሾݔ, ݕ, ݖሿ ؝ න ݀ݏ ݒሺݔ, ݕ, ݖሻ 独立。选择其中一个方程和定义参数ߣ的方程 之，在变分时，应该无视参 ，把ߜݔ, ߜݕ当 独立的变分。  ஻ ஺ , ߜݐ஺஻ ൌ 0 ቀ其中ݒ ൌ ܿ ݊ ,边界固定ቁ  ݈஺஻ሾݔ, ݕ, ݖሿ ؝ න ݊ሺݔ, ݕ, ݖሻ݀ݏ ஺ , ߜ݈஺஻ ൌ 0.  ߜ݈஺஻ ൌ න ߜ ቄ݊ሺݔ, ݕ, ݖሻඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ 或者等价地  ஻ ቅ ݀ߣ ஻ ஺ ൌ න ߲ݔ ቊ൤ ߲݊ ߜݔ ൅ ߲݊ ߲ݕ ߜݕ ൅ ߲݊ ߲ݖ ߜݖ൨ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ ൅ ᇱଶ ᇱଶ ᇱଶ ݊ሺݔ, ݕ, ݖሻ ඥݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ሾݔᇱߜݔᇱ ൅ ݕᇱߜݕᇱ ൅ ݖᇱߜݖᇱሿቋ ݀ߣ ஺ ஻   10 / 40    ൌ න ߲ݔ ቊቈ ߲݊ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ െ ݀ ݀ߣ ቆ ݊ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ ݔᇱቇ቉ ߜݔ ൅ ሿߜݕ ൅ ሾڮ ሿߜݖቋ ݀ߣ ஺ ൌ 0  ֜ ە ሾڮ ஻ ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ߲݊ ߲ݔ ඥݔ ൅ ݕ ൅ ݖᇱଶ ᇱଶ ᇱଶ െ ݀ߣ ݀ ቆ ඥݔᇱଶ ݊ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ ݔᇱቇ ൌ 0 ߲ݕ ߲݊ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ െ ݀ ݀ߣ ቆ ݊ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ ݕᇱቇ ൌ 0 ߲݊ ߲ݖ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ െ ݀ ݀ߣ ቆ ݊ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ ݖᇱቇ ൌ 0   程只有 2个是独立的。  如果取弧长为参数，ݔ ൌ ݔሺݏሻ, ݕ ൌ ݕሺݏሻ, ݖ ൌ ݖሺݏሻ ֜ ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ 上面的 3个方 ൌ 1，方程成为  ߲݊ ߲ݔ െ ݀ ݀ݏ ሺ݊ݔᇱሻ ൌ 0, ߲݊ ߲ݕ െ ݀ ݀ݏ ሺ݊ݕᇱሻ ൌ 0, ߲݊ ߲ݖ െ ݀ ݀ݏ ሺ݊ݖᇱሻ ൌ 0  任选两个，并与ඥݔᇱଶ ൅ ݕᇱଶ ൅ ݖᇱଶ ൌ 1联立可解。  补充作业：  设光线在ݔ‐ݕ平面传播，轨迹为ݕ ൌ ݕሺݔሻ，折射率为݊ ൌ ݊ሺݔሻ。利用 Fermat原理，求光线 迹。  12. 泛函的条件极值  (1) 悬链线（自习）   J.Bernoulli,1690. 金 p249, 沈 p220的解法不严格。  不可伸长的柔性链，线密度为ߩ，长度为݈，两端挂在 A、B两个固定点上。求绳子的形状。  方向为ݔ轴，垂直向上为ݕ轴，建立直角坐标系。平衡时， 链的形状ݕ ൌ ݕሺݔሻ使得势能取极小。  ܸሾݕሿ ൌ න ߩ݃ݕ݀ݏ ஻ ஺ ൌ ߩ݃ න ݕඥ1 ൅ ݕᇱଶ 轨 解  AB线段所在的垂直平面内，以水平 ݀ݔ ஻ ஺   绳长不变，得约束条件  0 ൌ ݂ሾݕሿ ൌ න ݀ݏ ஺ െ ݈ ൌ න ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ஻ ݀ݔ ஻ ஺ െ ݈  由于 ሺ 乘子， ߜܸ ൅ ߣߜ݂ ൌ 0  有约束，ߜݕ ݔሻ不独立。引进拉氏 得    11 / 40    ߜܸ ൌ ߩ݃ න ߜ ቀݕඥ1 ൅ ݕᇱଶቁ ݀ݔ ஻ ൌ ߩ݃ න ቊඥ1 ൅ ݕᇱଶ ஺ ߜݕ ൅ ݕݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ߜݕᇱቋ ݀ݔ ஻ ஺ ൌ ߩ݃ න ቊඥ1 ൅ ݕᇱଶߜݕ ൅ ݀ ݀ݔ ቆ ݕݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ߜݕቇ െ ቆ ݀ ݀ݔ ݕݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ቇ ߜݕቋ ݀ݔ ஻ ஺ ൌ ߩ݃ න ቊඥ1 ൅ ݕᇱଶ െ ݀ ݀ݔ ݕݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ቋ ߜݕ݀ݔ ஻ ஺ ൅ ݕݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ߜݕቤ ஺ ஻ ൌ ߩ݃ න ቊඥ1 ൅ ݕᇱଶ െ ݀ ݀ݔ ݕݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ቋ ߜݕ݀ݔ ஻ ஺   ൌ නߜ݂ ߜඥ1 ൅ ݕᇱଶ݀ݔ ൌ න ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ஻ ஺ ݕᇱ ߜݕᇱ݀ݔ ஻ ൌ න ቆെ ݀ ݀ݔ஺ ݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ቇ ߜݕ݀ݔ ஻ ஺   ߜܸ ൅ ߣߜ݂ ൌ 0 ֜ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ െ ݀ ݀ݔ ݕݕᇱ ൅ ߣݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ൌ 0  可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，  ܸ ൅ ߣ݂ ൌ න ሺߩ݃ݕ ൅ ߣሻඥ1 ൅ ݕᇱଶ݀ݔ ஻ ஺ ؝ න ܨሺݕ, ݕᇱሻ݀ݔ ஻ ஺   ݕᇱ ߲ܨ ߲ݕᇱ െ ܨ ൌ ሺߩ݃ݕ ൅ ߣሻ ቊݕᇱ ݕᇱ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ െ ඥ1 ൅ ݕᇱଶቋ ൌ ሺߩ݃ݕ ൅ ߣሻ െ1 ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ൌ ܿ  ֜ ݕᇱ ൌ േඨ൬ ߩ݃ݕ ൅ ߣ ܿ ൰ ଶ െ 1 ֜ ܿᇱ݀ݕ േඥሺݕ ൅ ߣᇱሻଶ െ ܿᇱଶ ൌ ݀ݔ ֜ ܿᇱ ln ቀݕ ൅ ߣᇱ ൅ ඥሺݕ ൅ ߣᇱሻଶ െ ܿᇱଶቁ ൌ ݔ ൅ ݀ ֜ ݕ ൌ ܽ cosh ቀ ݔ െ ݔ଴ ܽ ቁ ൅ ݕ଴  3个待定常数（2个积分常数，1个来自拉氏乘子）由代数方程  ݕሺݔ஺ሻ ൌ ݕ஺, ݕሺݔ஻ሻ ൌ ݕ஻, ݈ ൌ න ඥ1 ൅ ݕᇱଶ݀ݔ ஻ ஺ ൌ න ට1 ൅ sinhଶ ቀ ݔ െ ݔ଴ ܽ ቁ ݀ݔ ஻ ஺ ൌ cosh 2ሺݔ െ ݔ଴ሻ ܽ න ݀ݔ ஻ ஺ ൌ ܽ 2 sinh 2ሺݔ െ ݔ଴ሻ ܽ ቤ ௫ୀ௫ಲ ௫ୀ௫ಳ   确定。  注：将坐标原点平移，总可以把悬链线方程写成ݕ ൌ ܽ cosh ௫ ௔ 。  沈、金教材上由于没有严格地按条件极值来处理，得到的是特解。如果以绳子中心点即最 低点为坐标原点，则绳子的形状为ݕ ൌ ܽ ቀ h ௫ ௔ cos െ 1ቁ 显然没有包含于课本给出的解中。  此问题也可以用牛顿力学来解。设张力为ܶሺݔሻ，水平方向力的平衡：݀ ൬ ଵ ඥଵା௬ᇲమ ， ܶ൰ ൌ 0 ֜ ܶ ൌ ඥ1 ൅ ݕᇱଶߙ ；垂直方向力的平衡：݀ ൬ ௬ᇲ ඥଵା௬ᇲమ ܶ൰ ൌ ߩ݃ඥ1 ൅ ݕᇱଶ݀ݔ。把第一式代入第二式， ݕᇱᇱ ൌ ఘ௚ ఈ ඥ1 ൅ ݕᇱଶ ֜ ݕᇱ ൌ sinhሺܽݔ ൅ ܾሻ , ݕ ൌ ଵ ௔ coshሺܽݔ ൅ ܾሻ ൅ ܿ; ܶ ൌ ఘ௚ ௔ coshሺܽݔ ൅ ܾሻ , ௫ܶ ൌ ఘ௚ ௔ , ௬ܶ ൌ ఘ௚ ௔ ݕᇱ ൌ ఘ௚ ௔ sinhሺܽݔ ൅ ܾሻ.    12 / 40    (2) 水银滴的表面形状   一滴水银静止于水平桌 上，求它的表面形状。  设水银的密度为ߩ，体积为 ଴ܸ；水银与空气之间的表面张力系数为ߪ，水银与桌面间的表面 为ߪଵ，桌面与空气之间的表面张力系数为ߪ଴。  为桌面上 滴的中心点，桌面为ݔ‐ݕ平面， 则水银的表面可以用广义坐标ݎ ൌ ݎሺߠሻ描述，其中ݎ是表面上的点 P到原点的距离，ߠ是 P点与原 点的 得势能最低，同 ଴ ܸሾݎሿ ൌ ම ܴଶܴ݀݀ሺsin ߠሻ݀߮ ൌ 2ߨ න න cos ߠܴଶܴ݀݀ߠ 面 张力系数 由对称性，水银的表面旋转对称。取坐标原点 水银 连线对桌面的夹角，ߠ א ሾ0, ߨ/2ሿ。  按虚功原理，水银的形状应该使 时还必须满足体积为ܸ 的约束条件，  ௥ሺఏሻ ଴ గ ଶ ଴ 2ߨ ൌ 3 න ݎଷ cos ߠ ݀ߠ గ ଶ ଴   ௚ܸሾݎሿ ൌ ׮ ܴ sin ߠ ߩܴ݃ଶܴ݀݀ሺsin ߠሻ݀߮ ൌ 2ߨߩ݃ න න ܴଷ sin ߠ cos ߠ ܴ݀݀ߠ ௥ሺఏሻ ଴ గ ଶ 势能分为重力势能和表面能两部分，ܧ ൌ ௚ܸ ൅ ௦ܸ。重力势能为  ଴ ൌ 1 4 ߨߩ݃ න ݎସ sinሺ2ߠሻ݀ߠ ஠ ଶ ଴   固表面积ܵ 的表面能之和  ௦ܸሾݎሿ ൌ ߪ ଵܵ ൅ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻܵଶ ඥሺ ሻ ሺ ሻ 总表面能为液气表面积ܵ 和液ଵ ଶ ൌ ߪ න 2ߨݎ cos ߠ ݀ݎ ଶ ൅ ݎ݀ߠ ଶ ൅ ଶ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻߨ൫ݎሺ0ሻ൯ ൌ 2ߨߪ න ݎඥݎᇱଶ ൅ ݎଶ cos ߠ ݀ߠ గ ଶ ଴ ൅ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻߨ൫ݎሺ0ሻ൯   约束条件下的极值条件 ൅ ܸ ଶ 为δ൛ ௚ܸሾ௥ሿ ௦ሾ௥ሿ ൅ ߣሺܸሾݎሿ െ ଴ܸሻൟ ൌ 0，其中ߣ是 Lagrange 乘子，为待 定常数。  ߜܸሾݎሿ ൌ 2ߨ න cos ߠ ݎଶߜݎ݀ߠ ଶ గ ଴   ߜܸ ሾݎሿ ൌ ߨߩ݃ න sinሺ2ߠሻ ݎଷߜݎ݀ߠ గ ଶ ௚ ଴   ߜ ௦ܸሾݎሿ ൌ 2ߨߪ න ߜ ቀݎඥݎᇱଶ ൅ ݎଶቁ cos ߠ ݀ߠ గ ଶ ଴ 2ߨሺߪଵ െ ߪ଴ሻݎሺ0ሻߜݎሺ0ሻ ൌ 2ߨߪ න ൜ඥݎᇱଶ ൅ ݎଶ ൅ ߜݎ ൅ ݎ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ሺݎᇱߜݎ ൅ ݎߜݎሻൠ cos ߠ ݀ߠ గ ଶ ᇱ ଴ ߨሺߪଵ െ ߪ଴ሻݎሺ0ሻߜݎሺ0ሻ ൌ 2ߨߪ න ቊඥݎᇱଶ ൅ ݎଶ ൅ 2 cos ߠ ߜݎ ൅ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ݎଶ cos ߠ ߜݎ െ ቆ ᇱ cos ߠ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ݎݎ ቇ ᇱ ߜݎቋ ݀ߠ గ ଶ ଴ ൅ 2ߨߪ ݎݎᇱ cos ߠ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ߜݎฬ ଴ గ ଶ ൅ 2ߨሺߪଵ െ ߪ଴ሻݎሺ0ሻߜݎሺ0ሻ  又    13 / 40    ቆ ݎݎᇱ cos ߠ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ቇ ᇱ ൌ ൥ ݎᇱᇱݎ ൅ ݎᇱଶ √ݎᇱଶ ݎଶ൅ ൅ ݎᇱݎ ൬െ 1 2 ൰ 2ݎᇱݎᇱᇱ ൅ 2ݎᇱ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ ݎ ൩ cos ߠ െ ݎݎᇱ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ sin ߠ ൌ ൥ ݎᇱᇱݎ ൅ ݎᇱଶ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ െ ݎᇱଶݎᇱᇱݎ ൅ ݎᇱଶݎଶ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ ൩ cos ߠ െ ݎݎᇱ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ sin ߠ ൌ ݎᇱᇱݎଷ ൅ ݎᇱସ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ cos ߠ െ ݎݎᇱ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ sin ߠ  得  ߜ ௦ܸሾݎሿ ൌ 2ߨߪ න ൝ cos ߠ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ ሾሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻଶ ൅ ݎଶሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ െ ሺݎᇱᇱݎଷ ൅ ݎᇱସሻሿ ൅ sin ߠ ݎݎᇱ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ൡ ߜݎ݀ߠ గ ଶ ଴ ൅ 2ߨ ቊെߪ ݎᇱሺ0ሻ ඥݎ ሺ0ሻ ൅ ݎଶሺ0ሻᇱଶ ൅ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻቋ ݎሺ0ሻߜݎሺ0ሻ ൌ 2ߨߪ න ൝ cos ߠ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ ሾ2ݎସ ൅ 3ݎᇱଶݎଶ െ ݎᇱᇱݎଷሿ ൅ sin ߠ ݎݎᇱ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ൡ ߜݎ݀ߠ గ ଶ ଴ ൅ 2ߨ ቊെߪ ݎᇱሺ0ሻ ඥݎᇱଶሺ0ሻ ൅ ݎଶሺ0ሻ ൅ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻቋ ݎሺ0ሻ ሺ0ሻ  极值条件为  0 ൌ ߜ൛ ௚ܸሾ௥ሿ ൅ ߣሺܸሾݎሿ െ ଴ܸሻ ൅ ௦ܸሾݎሿൟ ൌ න ൝ߩ݃ sinሺ2ߠሻ ݎଶ ൅ 2ߣ cos ߠ ݎ ൅ 2ߪ cos ߠ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ ߜݎ ሾ2ݎଶ ൅ 3ݎᇱଶ െ ݎᇱᇱݎሿݎ ൅ 2ߪ ݎᇱ sin √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ߠ ൡ ߨݎߜݎ݀ߠ గ ଶ ଴ ൅ 2ߨ ቊെߪ ݎᇱሺ0ሻ ඥݎᇱଶሺ0ሻ ൅ ݎଶሺ0ሻ ൅ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻቋ ݎሺ0ሻߜݎሺ0ሻ  于是得微分方程  ൝ߩ݃ sinሺ2ߠሻ ݎଶ ൅ 2ߣ cos ߠ ݎ ൅ 2ߪ cos ߠ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ ሾ2ݎଶ ൅ 3ݎᇱଶ െ ݎᇱᇱݎሿݎ ൅ 2ߪ ᇱ sin ߠ ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ݎ √ ൡ ߨݎ ൌ 0  和边界条件  ቊെߪ ݎᇱሺ0ሻ ඥݎᇱଶሺ0ሻ ൅ ݎଶሺ0ሻ ൅ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻቋ ݎሺ0ሻ ൌ 0  微分方程成立的一个可能是ݎሺߠሻ ൌ 0，但这不是物理解（ݎሺߠሻ ൌ 0给出的是泛函ܸሾݎሿ的极值。）。 以能量最低状态满足下面的微分方程  ߩ݃ sinሺ2ߠሻ ݎଶ ൅ 2ߣ cos ߠ ݎ ൅ 2ߪ cos ߠ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ 所 ሾ2ݎଶ ൅ 3ݎᇱଶ െ ݎᇱᇱݎሿݎ ൅ 2ߪ ݎᇱ sin ߠ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ൌ 0,  以及边界条件1                                                                    界条件不对应能量极小，此时液滴和桌面接触只有一个点，压强无穷大。 ௥ᇲሺ଴ሻ ඥ௥ᇲమሺ଴ሻା௥మሺ଴ሻ 1 ݎሺ0ሻ ൌ 0的边 的物理 意义是cosሺπ െ φሻ，φ为浸润角。在 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 力学中，我们得到的边界条件被称为 Young氏方程式，是通过分析 三相边界点处，表面张力的平衡条件得到的（T. Young, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1805,95,65）。   14 / 40    െߪ ݎᇱሺ0ሻ ݎᇱଶሺ0ሻ ൅ ݎଶሺ0ሻඥ ൅ ሺߪଵ െ ߪ଴ሻ ൌ 0  在微分方程中令ߠ ൌ ߨ/2，得隐藏的另外一个边界条件，  ݎᇱ ቀߨ2ቁ ටݎᇱଶ ቀߨ2 ൌ 0 ֜ ݎᇱ ቀ ߨ 2 ቁ ൅ ݎଶ ቀߨ2ቁ ቁ ൌ 0  其几何意义是，上表面正中间的点切面和水平面夹角为 0。  求解微分方程后，代入约束条件ܸሾݎሿ ൌ ଶగ ଷ ׬ ݎଷ cos ߠ ݀ߠ ഏ మ ଴ ൌ ଴ܸ，可确定参数λ 。    用数值 数解法：  由于水银与玻璃的接触角为ߨ，即 ௥ᇲሺ଴ሻ ඥ௥ᇲమሺ଴ሻା௥మሺ଴ሻ 图 1 用 RUNGE‐KUTA法做数值计算，求出的水银滴在水平玻璃上的形状。计算中取࣋ ൌ ૚૜. ૟ ൈ ૚૙ , ࢍ ൌ ૢ. ૡ, ࣌ ൌ ૙. ૝ૢ， 水银与玻璃的接触角为૚ૡ૙ל，水银的质量为 0.1 克。左图中横轴ࣂ的单位是度，竖轴࢘ሺࣂሻ的单位是毫米；右图是水银滴 的形状，单位是毫米。  ૜ 这个微分方程可以 解法，结果见上图。也可以用级 ൌ 1 ֜ ݎᇱሺ0ሻ ൌ ൅∞，有奇异性，不能简单地展 开为 Taylor级数，  ݎሺߠሻ ് ݎሺ0ሻ ൅ ݎᇱሺ0ሻߠ ൅ ڮ  为了分析ݎሺߠሻ在ߠ ൎ 0附近地渐近行为，将微分方程  ߩ݃ sinሺ2ߠሻ ݎଶ ൅ 2ߣ cos ߠ ݎ ൅ 2ߪ cos ߠ ሺݎᇱଶ ൅ ݎଶሻ ଷ ଶ ሾ2ݎଶ ൅ 3ݎᇱଶ െ ݎᇱᇱݎሿݎ ൅ 2ߪ ݎ sin ߠ √ݎᇱଶ ൅ ݎଶ ᇱ ൌ 0  的左边只保留到领头项（leading term），  左边 ൌ ݋ሺ1ሻ ൅ 2ߣݎ ൅ 2ߪ 1 ݎᇱଷ ሾ3ݎᇱଶ െ ݎᇱᇱݎሿݎ ൅ ݋ሺ1ሻ ൌ 2ݎ ൜ߣ ൅ ߪ 1 ݎᇱଷ ሾെݎᇱᇱݎሿൠ ൌ右边 ൌ 0  设ߠ ൎ 0时，  ݎሺߠሻ ൎ ܿ଴ ൅ ܿଵߠఈ ൅ ݋ሺߠఈሻ, ߙ א ሾ0,1ሻ  ݎᇱሺߠሻ ൎ ܿଵߙߠఈିଵ, ݎᇱᇱሺߠሻ ൎ ܿଵߙሺߙ െ 1ሻߠఈିଶ    15 / 40    代入上式得  ቊߣ െ ߪܿ଴ܿଵߙሺߙ െ 1ሻߠఈିଶ ܿଵ ଷߙଷߠଷఈିଷ ቋ ൌ ቊߣ െ ߪܿ଴ሺߙ െ 1ሻߠିଶఈାଵ ܿଵ ଶߙଶ ቋ ൌ 0  ֜ ߙ ൌ 1 2 , ߣ ൌ െ 2ߪܿ଴ ܿଵ ଶ ൏ 0.  考虑到左右对称，令  ݎሺߠሻ ൌ ܿ଴ ൅ ܿଵඥߠሺߨ െ ߠሻ ൅ 1 2! ܿଶߠሺߨ െ ߠሻ ൅ 1 3! ܿଷሾߠሺߨ െ ߠሻሿଷ ଶ⁄ ൅ 1 4! ܿସሾߠሺߨ െ ߠሻሿଶ ൅ ڮ  代入微分方程，并将微分方程左边按ඥߠሺߨ െ ߠሻ的级数展开，得  2ߪܿ଴ߣ ՜ െ ߨܿଵ ଶ , ܿଶ ՜ ܿଵଶ 3ܿ଴ 4 , ܿଷ ՜ ݃ߩܿଵଷ 4ߪ ൅ 23ܿଵଷ 12ܿ଴ ଶ ൅ 3ܿଵ ߨଶ െ 3ܿ଴ଶ ߨଶܿଵ , ܿସ ՜ 13݃ߩܿଵସ 5ߪܿ଴ ൅ 103ܿଵସ 45ܿ଴ ଷ ൅ 16ܿଵଶ ߨଶܿ଴ െ 48ܿ଴ 5ߨଶ , ڮ 保留到ܿଽ项，再由    ݎᇱᇱ ቀ ߨ 2 ቁ ߨ ൌ ݃ߩݎଷ ቀ2ቁ 2ߪ ൅ ߣݎଶ ቀߨ2ቁ 2ߪ ൅ ݎ ቀ ߨ 2 ቁ , 2ߨ 3 ߩ න ݎଷ cos ߠ ݀ߠ గ ଶ ଴ ൌ 0.0001  解出ܿ଴, ܿଵ，得  ݎሺߠሻ ൌ 0.562551 ൅ 0.422487ඥሺπ െ θሻθ ൅ 0.211530ሺπ െ θሻθ ൅ 0.0604328൫ሺπ െ θሻθ൯ ଷ ଶ⁄ ൅0.0173699ሺπ െ θሻଶθଶ െ 0.00202953൫ሺπ െ θሻθ൯ ହ ଶ⁄ െ 0.000561428ሺπ െ θሻଷθଷ െ0.00164894൫ሺπ െ θሻθ൯ ଻ ଶ⁄ ൅ 0.000268766ሺπ െ θሻସθସ െ 0.000320324൫ሺπ െ θ θ൯ ଽ ଶ⁄ ሺ毫米ሻ  保留更多项，可以得到更准确的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。      (3) 等周问题   求泛函极值  Φሾ݂ሿ ൌ න ܨሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ௫మ ௫భ   ሻ 与精确结果比较，误差<0.06%。将级数 图  2 级数解与精确解的比较。横轴单位是度；竖轴为级数解法࢘ሺࣂሻ的相对误差，单位为 1%。 左图是保留到ࢉ૞的相对误差，右图是保留到ࢉૢ的相对误差。    16 / 40    以及约束 Ψሾ݂ሿ ൌ න ܩሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ൌ ܽ ௫మ ௫భ   乘子，化为无条件极值问题，  ߜሼΦ ൅ ߣሺΨ െ ܽሻሽ ൌ 0  记ܪ ൌ ܨ ൅ ߣܩ，得 Euler方程  ߲ܪ ߲݂ 满足边界条件݂ሺݔଵሻ ൌ ݕଵ, ݂ሺݔଶሻ ൌ ݕଶ， 条件  引进 Lagrange െ ݀ ݀ݔ ൬ ߲ܪ ߲݂ᇱ ൰ ൌ 0  这是一个二阶微分方程，两个积分常数和ߣ可以由边界条件以及约束条件确定。  注意：这里 Euler方程不仅给出了Φሾ݂ሿ的极值点，还给出了Ψሾ݂ሿ的极值点，必须予以剔 。上面 的例子就是这样。  (4) Φሾ݂, ݃ሿ ൌ න ܨሺݔ, ݂, ݃, ݂ᇱ, ݃ᇱሻ݀ݔ ௫మ ௫భ   而且有ܩ൫ݔ, ݂ሺݔሻ, ݃ሺݔሻ൯ ൌ 0。  引入 Lagrange乘子ܪ ൌ ܨ ൅ ߣሺݔሻܩ成为无条件极值问题，得 Euler方程  ߲ܪ ߲݂ 除 不独立自变量的泛函极值   െ ݀ ݀ݔ ൬ ߲ܪ ߲݂ᇱ ൰ ൌ 0, ߲ܪ ߲݃ െ ݀ ݀ݔ ൬ ߲ܪ ߲݃ᇱ ൰ ൌ 0  或者  ߲݂ ߲ܨ ൅ ߣሺ ሻ ߲ܩ ݔ ߲݂ െ ݀ ݀ݔ ൬ ߲ܨ ᇱ߲݂ ൰ ൌ 0, ߲ܨ ߲݃ ൅ ߣሺݔሻ ߲ܩ ߲݃ െ ݀ݔ ݀ ൬ ߲݃ᇱ ߲ܨ ൰ ൌ 0  ൫ݔ, ݂ሺݔሻ, ݃ሺݔሻ൯ ൌ 0可以求解。    补充作业：  ，求管中水面 和边界条件。  ②曲线围面ݔ‐轴上有两点 A、B，连接 AB两点的曲线为ݕ ൌ ݂ሺݔሻ。如果曲线的长度固定为݈଴，欲 使曲线和ݔ‐轴所包围的面积最大，求曲线方程。  ③IBM 称的“8”字形，线圈必须放在装有液氮的管 中保持低温。为节省运行费用，必须用最短的管子围出最大的面积。请 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 “8”字形管的具体 形状。  关于拉氏乘子的补充 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书   高等数学中已经学过用 Lagrange待定乘子求条件极值。  再结合约束条件ܩ ①玻璃管垂直插在水里 的形状满足的方程 改进的探测磁单极子的超导线圈，形状为对 (5)   17 / 40    例 求ݖ ൌ ݂ሺݔ, ݕሻ在曲线݃ሺݔ, ݕሻ ൌ 0上的极值。  极值点满足  0 ൌ ݀ݖ ൌ ߲݂ ߲ݔ ݀ݔ ൅ ߲݂ ߲ݕ ݀ݕ    ߲݃ ߲ݔ 但现在这里݀ݔ与݀ݕ不独立， ݀ݔ ൅ ߲݃ ߲ݕ ݀ݕ ൌ 0  所以不能简单的认为డ௙ డ௫ ൌ డ௙ డ௬ ൌ 0，而应该把约束条件代入，消去݀ݔ，然后令݀ݕ前面的系数＝0 。  定系数ߣ，调 ߲݂ ߲ݔ 得极值点 另一个办法是引入待 节ߣ，必可得到  ݀ݔ ൅ ߲݂ ߲ݕ ݀ݕ ൅ ߣ ൬ ߲݃ ߲ݔ ݀ݔ ൅ ߲݃ ߲ݕ ݀ݕ൰ ؠ 0  ݔ和݀ݕ的系数为 0。      这实际上和线性空间中的零矢量类似，  ݔԦ ൌ ݔଵ Ԧ݁ଵ ൅ ݔଶ Ԧ݁ଶ ൅ ڮ ൅ ݔ௡ Ԧ݁௡ ൌ 0ሬ 左边݀ Ԧ  的基矢都独立，则ݔଵ ൌ ݔଶ ൌ ڮ ൌ ݔ௡ ൌ 0。  但若基矢不独立，  ܿଵ Ԧ݁ଵ ൅ ܿଶ Ԧ݁ଶ ൅ ڮ ൅ ܿ௡ Ԧ݁௡ ൌ 0ሬ 如果所有 Ԧ  不妨设 ് 0，可以取 ，  ሬ ܿଵ λ ൌ ݔଵ/ܿଵ 0Ԧ ൌ ݔԦ െ ߣ ܿଵ Ԧ݁ଵ ൅ ڮ ൅ ܿ௡ Ԧ݁௡ ൌ 0 Ԧ݁ଵ ൅ ݔଶ െ ߣܿଶ Ԧ݁ଶ ൅ ڮ ൅ ݔ௡ െ ߣܿ௡ Ԧ݁௡ 上式中右边我们已经利用约束条件消去一个基矢 Ԧ݁ଵ，所以剩下的所有系数都独立，是零矢量的条 件是前面 ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ   的系数都为零。多个约束条件的情况可同样理解。  ݔ和݀ݕ就相当于这里线性空间的基矢，故同样存在拉氏乘子 函极值问 ߜ݂ሺݔሻหݔ א 于ሼ Ԧ݁ଵ, ڮ , Ԧ݁௡ሽ。  13. 函驻值  (1) 问题   两个圆环挂在一个竖直 面内，固定不动。把一根绳子的两端分别拴在两个圆环上，并可 足的微分方程和方程的边界条件。（补充作业）    上面的函数条件极值问题中，݀ 使前面的系数为 0。    泛 题中，൛ 定义域ൟ相当 可动边界泛 平 以自由滑动。求绳子形状所满   18 / 40    (2) 可动边界泛函的驻值   求泛函  ௫మ భ 其中端点满足݂ሺݔଵሻ ൌ ߮ଵሺݔଵሻ, ݂ሺݔଶሻ ൌ ߮ଶሺݔଶሻ。    考虑端点ݔଵ，它是代数方程݂ሺݔଵሻ ൌ ߮ଵሺݔଵሻ的解，所以ݔଵ ൌ ݔଵሾ݂ሿ。  对 ሺ ଵሻ ሺ ሻ   ሺ݂ ൅ ߜ݂ሻሺݔଵ ൅ ߜݔଵሻ ൌ ߮ଵሺݔଵ ൅ ߜݔଵሻ  ߮ଵᇱ ሺݔଵሻߜݔଵ ൬ߜݔଵ ൌ ߜݔଵ ߜ݂ Φሾ݂ሿ ൌ න ܨሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ௫   的驻值条件， ݂ ݔ ൌ ߮ଵ ݔଵ 变分， ݂ሺݔଵሻ ൅ ݂ᇱሺݔଵሻߜݔଵ ൅ ߜ݂ሺݔଵሻ ൌ ߮ଵሺݔଵሻ ൅ ߜ݂,舍去ߜ݂的高次项൰  ߜ݂ሺݔଵሻ ൌ ሼ߮ଵᇱ ሺݔଵሻ െ ݂ᇱሺݔଵሻሽߜݔଵ  ଶሻሽߜݔଶ。    ߜΦ ൌ ߜ න ܨሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ௫మ ௫భ ൌ න ܨሺݔ, ݂ ൅ ߜ݂, ݂ᇱ ൅ ߜ݂ᇱሻ݀ݔ ௫మାఋ௫మ ௫భାఋ௫భ െ න ܨሺݔ, ݂, ݂ᇱሻ݀ݔ ௫మ ௫భ ൌ ܨ ᇱሺݔଶሻ൯ߜ ൫ݔଵ, ݂ሺݔଵሻ, ݂ᇱሺݔଵሻ൯ߜݔଵ ൅ න ൜ ߲ܨ ߲݂ ֜ 同样ߜ݂ሺݔଶሻ ൌ ሼ߮ଶᇱ ሺݔଶሻ െ ݂ᇱሺݔ 现在对泛函变分，  ൫ݔଶ, ݂ሺݔଶሻ, ݂ ݔଶ െ ܨ െ ݀ ݀ݔ ൬ ߲ܨ ߲݂ᇱ ൰ൠ ߜ݂ሺݔሻ݀ݔ ௫మ ௫భ ൅ ߲ܨ ߲݂ᇱ ߜ݂ሺݔሻฬ ௫ୀ௫భ ௫ୀ௫మ   ߲ܨ 将边界点的变分关系代入，得泛函取驻值时满足  ߲݂ െ ݀ ݀ݔ ൬ ߲ܨ ߲݂ᇱ ൰ ൌ 0ሺEuler方程ሻ  ܨ ൅ ሺ߮ଵᇱ െ ݂ᇱሻ ߲ܨ ߲݂ᇱ ฬ ,௫మ ൌ 0ሺ横截条件ሻ  ᇱ, ݂ᇱᇱሻ），或者边界条件为隐函数的情形可类似推导。    补充 (3) Δ‐变分   考虑可动边界的变分问题。积分