第三章一维势场中的粒子讲义 2

第三章一维势场中的粒子讲义 2null一维无限深方势阱一维无限深方势阱能量本征方程第*页由边界条件，得到B = 03.2.2 有限深对称方势阱3.2.2 有限深对称方势阱a为阱宽， V0为势阱高度。讨论束缚态情况，（0E）阱外的现象在经典理论中是不可能的。量子力学中，粒子有波动性，有一定概率出现在阱外。第*页惊喜：癞蛤蟆是可以吃着天鹅肉的！3.2.3 束缚态与离散谱3.2.3 束缚态与离散谱束缚能量本征态（E

null一维无限深方势阱一维无限深方势阱能量本征方程第*页由边界条件，得到B = 03.2.2 有限深对称方势阱3.2.2 有限深对称方势阱a为阱宽， V0为势阱高度。讨论束缚态情况，（0 表达式可知，第*页联立以上两式，即可解出能谱。可用图解法求解在ξ—η平面上，以为半径做圆，此圆与曲线的交点就为所求值，之后再定出能量本征值。是多分支曲线，交点可能不止一个。具体多少要看半径大小，即V0a2的大小而定。但无论V0a2多小，由于曲线有一个分支点经过坐标原点，所以它与圆周至少有一个交点(即一个能级)存在。就是说无论方势阱多浅多窄，至少有一个束缚定态存在。nullδ= 0，边界条件为用图解法即可定出相应能谱。由于上方程各分支曲线都不经过原点，这两个条件有无交点要看V0a2的数值而定。第*页时才出现最低的奇宇称能级。null讨论：势阱外波函数为衰减解，不为0，粒子有一定概率能到达阱外。能量为E的粒子能到达（V>E）阱外的现象在经典理论中是不可能的。量子力学中，粒子有波动性，有一定概率出现在阱外。第*页惊喜：癞蛤蟆是可以吃着天鹅肉的！3.2.3 束缚态与离散谱3.2.3 束缚态与离散谱束缚能量本征态（E E，波函数是指数上升或下降的函数， e±kx，无振荡现象，的正负号相同，ψ(x)总是背离x轴方向弯曲。定性讨论能量本征值及波函数节点数定性讨论能量本征值及波函数节点数一维方势阱基态：x<-a/2区域（经典禁区），Ea/2处，粒子又进入经典禁区，曲线上弯。一般情况下， ψ(x)发散。只有当E取某个合适的值时，在。。第*页基态时，波函数无节点null当粒子能量增加时，在|x|>a/2， ψ(x)的曲率减小。|x|V0 ，则粒子将穿过势垒。但从量子力学观点看，考虑到粒子的波动性，此问题与波碰到一层厚度为a的介质相似，有一部分波透过，一部分波被反射回去。因此，按波函数的统计解释，无论粒子能量 EV0，都有一定几率穿透势垒，也有一定几率被反射回去。Ea），经典允许区，两个线性无关解为e±ikx ,根据入射边界条件定解。粒子从左入射，由于势垒存在，在x<0区域中既有入射波eikx ,也有反射波e-ikx,而在x>a的区域中只有透射波存在。所以，可得到，第*页入射粒子流密度，反射系数透射系数null在势垒内部，经典禁区，通解可写为，第*页x=a， ψ,ψ’的连续性条件给出，两式相加减，x=0， ψ,ψ’的连续性条件给出，上两式分别相加减，null消去A,B 得消去R，得第*页透射系数，反射系数null|R|2 表示粒子被反弹回去的概率，|S|2,表示粒子穿过势垒的概率，上式意味着概率守恒。可以看出，即使EV0情形令相应有，k2=ik’，利用 sh(ik’a) = isin(k’a)，则透射系数为第*页EV0, 粒子的反射与透射。方势阱的反射、透射、共振。3.3 δ势3.3 δ势对于有限方势垒显然 V0→∞, a→0, 保持V0a为有限值.就得到一个无限高而又无限窄的势垒，即δ势垒，记为 V(x) = γδ(x) γ>0 当且仅当x=0,时, V(x)才不为0. 第*页设有质量为m的粒子（能量E>0）从左入射，碰到δ势垒，定态薛定谔方程为（3.3-1）3.3.1 δ势的穿透nullx=0是方程的奇点，该点ψ”不存在，表现为ψ’不连续。积分上式，第*页在x=0， ψ’一般是不连续的。在x≠0处，方程 (3.3-1) 变为它的两个线性独立的解的形式为e±ikx,考虑到从左入射的假定，与方势垒的穿透相似，本题的解仍可表示为根据x=0点ψ连续及ψ’的跃变条件，有null透射系数反射系数讨论： (a)δ势垒换为δ 势阱(γ→-γ)，透射及反射系数的值不变 . (b) δ势的特征长度为，特征能量为，透射波的振幅S只依赖于，即入射波波长和δ势的特征长度之比。透射系数依赖于特征能量与入射粒子能量之比。当，高能极限下粒子将完全穿透势垒。第*页null由于尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。第*页可见：从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项，尽管Ψ′不连续，但两项相减后就抵消了。δ势阱中的束缚态δ势阱中的束缚态考虑粒子在δ势阱 V(x) = -γδ(x) (γ>0) 中运动。 E>0为游离态，E可以取一切实数值，是连续变化的，E<0时则可能存在束缚定态，E只能取分立值，以下讨论 E<0 情况。第*页能量本征方程为积分， ,得到Ψ′的跃变条件在x≠0处，null方程的解具有形式e±βx,。由于V(-x) = V(x)，则束缚能量本征态具有确定宇称。 A. 偶宇称态考虑到束缚态条件，偶宇称波函数应表为: 按Ψ′跃变条件，可得粒子能量本征值为第*页为特征长度。归一化的波函数表示为利用归一化条件|x|>L区域中找到粒子的几率为 B. 奇宇称态波函数应表为 B. 奇宇称态波函数应表为由波函数的连续条件(x=0点)，可得C=0,所以不可能存在奇宇称束缚定态。从物理上考虑，奇宇称波函数在x=0点必为零，而δ势又恰好只在x=0点起作用，所以δ势阱对奇宇称态没有影响，因而不可能形成束缚态。第*页3.3.3 δ势与方势的关系，Ψ′跃变条件δ势常作为一种理想的短程作用来讨论问题。δ势可以看成方势的一种极限情况。事实上，所有涉及δ势的问题，原则上均可以从方势情况下的解取极限而得以解决。但直接采用δ势来求解，往往要简捷的多。在δ势情况下，粒子波函数的导数是不连续的，尽管粒子流密度仍然是连续的。下面仅就ψ’的跃变条件作简单讨论。null考虑粒子对方势垒 : 的散射。考虑粒子能量E 标准条件。即：① 当ξ有限时，H(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。带入待解方程，有 null带入方程第*页得到递推公式由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：b0 ≠ 0, b1=0. → He (ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Ho (ξ).只含偶次幂项只含奇次幂项nullH(ξ)是一个幂级数，故应考虑它的收敛性。 ξ→±∞时，第*页则通解可记为： H = co Ho + ce He ψ= (co Ho + ce He) exp[-ξ2/2]相继两项之比所以总波函数有如下发散行为：null结论：基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。第*页为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n 项）起以后各项的系数均为零，即bn ≠ 0,bn+2 = 0. 厄密多项式厄密多项式有限性条件得到了 H(ξ)的一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波函数可表示为：其中Nn为归一化系数。第*页Hn(ξ) 的最高次项系数为bn=2n, 根据递推公式 null厄密多项式的生成函数为因此有第*页N次求导后，多项式的最高次项为厄密多项式的正交性公式厄密多项式的正交性公式相乘得，第*页证明：两边乘上并积分null与右边比较，得到第*页一维谐振子一维谐振子第*页定态薛定谔方程无量纲化无穷远处渐进行为厄密方程束缚态要求厄密多项式正交性公式厄密多项式递推关系厄密多项式递推关系证明：两边对s求导，左边= 右边= 比较左右两边s同幂项系数，得到第*页对z求导，左边=右边=则有例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2谐振子本征函数谐振子本征函数求归一化系数，第*页归一化后的波函数为对应能级为null讨论A. Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项；当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。B. ψn具有确定宇称上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定宇称。C.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}ħω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。第*页nullD. 波函数:然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = = N02 exp[-ξ2] 分析上式可知：一方面表明在ξ= 0处找到粒子的几率最大；另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零，与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能V(x)=(1/ 2)μω2 x2 = {1/2} ħω= E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。第*页null分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。E. 几率分布大量子数情况下，量子论将逐渐趋于经典理论。第*页null第*页3.实例基于厄密多项式的递推关系导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系（习题2.7,2.8,2.9）null证明：第*页null证明：第*页null第*页null谐振子处于ψn 态下，计算第*页null解：（1）三维谐振子 Hamilton 量例2. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况第*页null（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值为：则波函数三方向的分量分别满足如下三个方程：因此，设能量本征方程的解为：第*页null（3）简并度当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定了。故对给定N，{n1 , n2, n3 }可能组合数即简并度为：第*页null解：薛定谔方程为（1）解题思路势V(x)是在谐振子势上叠加上-q  x项，该项是x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。例3. 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场  的作用，其势场为：求能量本征值和本征函数。第*页null（2）改写 V(x)第*页null（3）Hamilton量进行坐标变换：则 Hamilton 量变为：第*页null（4）Schrodinger方程该式是一新坐标下一维线性谐振子Schrodinger 方程，于是可以利用已有结果得：新坐标下薛定谔方程改写为：本征能量本征函数第*页

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