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高数题库.doc

高数题库

sanlvyd
2011-04-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高数题库doc》,可适用于高等教育领域

高等数学题库吐血推荐:高数题库高等数学题库()函数、​ 填空题:.​ 函数y=arcsin定义域是:设y=(x)的定义域是则复合函数(sinx)的定义域是:.函数的值域是y.函数的反函数是:.函数在区间内是单调增加的在区间内是单调减少.设(x>o),则=.设,则=,=x.函数的反函数y=二.选择题:.​ 在同一直角坐标系中函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是(D)(A)​ 关于y轴对称(B)关于x轴对称(C)重合(D)关于直线y=x对称下列几对函数中与相同的是(C)(A)与(B)与(C)与(D)与.已知的定义域为则的定义域是(C)(A)a,a(B)a,a(C){a}(D){a}.如果那么的表达式是(B)(A)x(B)x(C)(D)都不是三.设函数是线性函数已知求此函数解:设f(x)=axb,则有b=,ab=,解得a=,b=四.证明函数在它的整个定义域内是有界证明:f(x)的定义域为R因为所以:函数在它的整个定义域内是有界五.试讨论函数的奇偶性解:所以偶函数高等数学题库()数列的极限一.判断题:.如果数列{}以A为极限那么在数列{}增加或去掉有限项之后说形成的新数列{}仍以阿A为极限.(T).如果 则有 或(F).如果且存在自然数N当n>N时恒有<0则必有a<0.(F).如果均不存在则有必不存在.(F)二.观察下列数列变化趋势写出它们的极限并加以证明(N说法):1.解:=证明:为了使只要即可所以有=2.解:=证明:要使即可所以有=三.根据数列极限定义证明:==要使只要即可所以有=。四.若证明:证明:即:有而所以对有即高等数学题库()函数的极限无穷大无穷小一.​ 选择题:下列题中其条件对其结论来说是(A)充分但非必要条件 (B)必要但非充分条件(C)充分必要条件:  (D)既非充分又非必要条件1.条件结论                 (A)2.条件和都存在    结论存在          (B) 3.条件和都存在结论 存在          (A) 4.条件f(x)在a的某个邻域内单调有界.结论存在.          (D)二.根据极限定义证明: .证明:=为了使只要所以当x>X时有成立故三.求时的左右极限并说明它们在x时的极限是否存在?解:=所以所以显然故不存在四.根据定义证明:当x时函数是无穷大问x应满足什么条件能使出?证明:设M是任意给定的正数要使>M,只要M()或M()即:〈M或M〈所以取则对于适合的一切x,就有>M,所以有:取M=,由上知x在下列条件下:<x<或<x<有:五.证明:函数 在区间(01]上无界但当x+0时这函数不是无穷大.证明:取时=所以在区间(01]上无界取==即在的任何邻域都不可能有(M>)成立所以当x+0时这函数不是无穷大.高等数学题库()极限的求法一.​ 判断题:下列运算是否正确:    (F)                (F)    (F)二.计算下列极限: 1.解:==2.解:==3.解:设则因为=所以即:4.解:====5.解:因为所以arctgx为有界函数而=由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知=6.解:=====7.解:===三.已知解:====a,存在即:=所以高等数学题库()极限存在准则两个重要极限无穷小的比较、​ 判断题:.​ 因为时tgx~x,sinx~x,所以(F).​ (T).​ (F)二、计算下列极限​ 解:===​ 解:====​ 解:====​ 解:===​ 解:===​ 解:=====、​ 证明:当x时下列各对无穷小量是等价的证明:设A=arctgx,则x=tgA,当时==cosx~证明:====四、证明:用两边夹法则:(解法一)设F(n)=>则设 g(n)=,h(n)=,则g(n)=<F(n)<h(n)显然由极限存在准则I知:证毕(解法二):设F(n)=>因为(n为自然数)所以有F(n)<=设 g(n)=,h(n)=,则g(n)=<F(n)<h(n)显然由极限存在准则I知:证毕另解:设F(n)=(<F(n)<)则F(n)=有F(n)<F(n)所以F(n)为单调有界数列由极限存在准则II知F(n)有极限设则有==A=A,A=即证毕五、设证明数列的极限存在并求其极限证明:=因为所以因为所以>即:所以为单调有界数列由极限存在准则II知有极限则有A=A解得:A=或A=(舍去因为为递增数列且)所以高等数学题库()函数的连续性.​ 判断题.(T)设在点连续则(T).如果函数在上有定义在上连续且则在内至少存在一点使得=(T).若连续则必连续(T).若函数在上连续且恒为正则在上必连续(T).若,且则在的某一邻域内恒有(F).是函数的振荡间断点(F).​ 填空题:.()()()是的第(二)类间断点.​ 求解:=.​ 求函数在内的间断点并判断其类型解:在内的间断点有:因为不存在所以是的第一类(可去)间断点是的第二类间断点.​ 设()求()当连续时求的值解:()()连续高等数学题库()连续函数的性质一.计算下列极限:.解:原式===.解:原式===.解:原式==.解:原式===.解:原式===.解:令得当原式====二.证明方程至少有一个不超过的正根(其中)证明:设则在上连续又若则结论成立若则由零点定理三.设在上连续且证明:至少存在一点使得证明:设则在上连续又,若则结论成立若则由零点定理四.设在上连续且又存在使证明在上有最大值证明:取,当时,即当时,当时,即当时若,为最大值若,在上连续,必有最大值,在上取得最大值高等数学题库()导数的概念.​ 选择题:.​ 设f′(x)存在a为常数则等于(C)(A)f′(x)(B)(C)(D)在抛物线上与抛物线上横坐标和的两点连线平行的切线方程是(B)(A)xy=(B)xy=(C)xx=(D)xy=将一个物体铅直上抛设经过时间t秒后物体上升的高度为则物体在秒时的瞬时速度为(B)(A)(B)g(C)(D)若函数在x=处(B)(A)连续且可导(B)连续不可导(C)不连续(D)都不是二.设函数在处x=可导求a和b解:在x=处可导在x=处连续可得即()又在x=处可导,可得即()由(),()得,三.设求解:,由幂函数的导数公式可得四.已知求(提示:分段点x=处的导数用导数的定义求)解:当x=时,令,所以五.设f(x)在上有连续导函数证明f(x)为偶函数的充要条件是:为奇函数(充分性的证明用到不定积分的概念只证必要性)证明:对于则有依题意令有为偶函数高等数学题库()求导法与复合函数求导.​ 填空题:.​ 曲线与x轴交点的切线方程是.​ 曲线在横坐标x=点处的切线方程是,法线方程是.​ 设则.​ 设则.​ 设则.​ 求下列函数的导数​ 解:​ 解:​ 解:​ 解:​ 解:三求导数:​ ,求解:​ ,求解:​ ,求解:四已知,,求解:令,则高等数学题库()复合函数求导(二)高阶导数​ 求下列函数的导数:​ 解:.解:.解:.解:.解:​ 求下列函数的二阶导数:​ 解:,​ 解:,​ 解:,​ 求函数的n阶导数解:一般地可得​ 设,其中在点a的邻域内连续,求解:在点a的邻域内连续高等数学题库()隐函数求导法​ 求由下列方程所确定的隐函数y的导数​ 解:,即其中y是由方程所确定的隐函数​ 解:,即其中y是由方程所确定的隐函数​ 解:,即其中y是由方程所确定的隐函数​ 用对数函数求导法求下列函数的导数:​ 解:先两边取对数(假定)得则当时,用同样的方法可得与上面相同的结果​ 解:先两边取对数(假定)得对上式两边对求导得即当时,用同样的方法可得与上面相同的结果​ 求下列函数的二阶导数​ 解:,​ 已知这里存在且不为零解:存在且不为零,​ 设,证明y=y(x)在t=时存在,并求其值证明:原方程可化为当时,高等数学题库()微分​ 选择题:​ 已知,则dy等于(C)(A)tgxdx(B)(C)(D).​ 一元函数连续是可导的(A)一元函数可导是可微的(C)(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分条件又非必要条件​ 函数不可微点的个数是(B)(A)(B)(C)(D)二.填空题:.​ 已知函数在点x处的自变量的增量对应的函数增量的线性主部是那末自变量的始值为.​ 则.​ 利用微分求近似值:解:这里较小应用(p)()式,得.​ 已知测量球的直径D时有的相对误差问用公式计算球的体积时相对误差有多少?解:我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量那么利用公式来计算V时所产生的误差就是函数V的对应增量当很小时可以利用微分近似地代替增量即其相对误差.​ 求由方程所确定的隐函数s在t=处的微分解:对方程两边关于t求导得当t=时,得又对原方程,当t=时,得即s=高等数学题库()中值定理一.选择题:.下列函数中满足罗尔定理条件的是(B)(A)(B)(C)(D)对于函数在区间上满足拉格朗日中值定理的点是(A)(A)(B)(C)(D)二应用导数证明恒等式:(注意:对处的讨论)证:令当时(C为常数)特别地取,则求得当时当时当时三设证明:证:设在上利用拉格朗日中值定理有:四证明:不论b取何值方程在区间上至多有一个实根证:反证法设且在区间上有两个以上实根其中两个分别记为不妨设则由罗尔定理在内至少有一点使而在内恒小于矛盾命题成立五构造辅助函数证明不等式证:设则在区间上根据拉格朗日中值定理在内至少存在一点使即又即六设函数和在上存在二阶导数且证明()​ 在(a,b)内()​ 在(a,b)内至少存在一点使证:()反证法设(a,b)内存在一点使则在上有g(a)=g(x)=,由罗尔定理知在(a,x)内至少存在一点ξ使(ξ)=同理在(x,b)内也至少存在一点ξ使(ξ)=∵(ξ)=(ξ)=∴由罗尔定理在(ξ,ξ)内至少存在一点使,这与矛盾故在内()​ 令由题设条件可知F(x)在a,b上连续在(a,b)内可导且F(a)=F(b)=,由罗尔定理可知存在使得即由于故高等数学题库()罗必塔法则泰勒公式一求下列极限:解:原式=解:原式===.解:原式==.解:令则∴y=e=.解:原式=二.求函数f(x)=xex的n阶麦克劳林公式解:f()=,f’(x)=(x)ex,f’’(x)=(x)ex,…,f(n)(x)=(xn)ex∴三.利用泰勒公式求极限并指出下列做法的错误之处解:当时利用等价无穷小代换有:原式=更正:上述解法的错误在于:分母为三阶无穷小量而分子只保留了一阶无穷小量sinx、tgx分别在x=处的三阶泰勒公式为:四.应用三阶泰勒公式求的近似值解:在处的三阶泰勒公式为:五.证明:当时证:将tgx在x=处展开三阶泰勒公式得:而∴命题得证六.设在上二次可微且对任意有又=证明:证:对分别将在处展开一阶泰勒公式:两式相减得:=当时∴当时因此高等数学题库()函数的单调性一.填空题:.函数y=(x)(x)在区间内单调减少在区间内单调增加.函数(a>)在区间内单调增加在区间内单调减少.函数在区间内单调增加在区间()内单调减少函数在区间()内单调增加在区间内单调减少二证明下列不等式:当时证:令则显然当时在区间内单调增加又在区间内恒大于零又在区间内大于零即当时即当时证:令显然当时在内单调增加又=在内大于零在内单调增加而=在内恒大于零即当时即当时证:令则令则在此区间内单调减少在此区间内也单调减少而在内小于在内单调减少∴在区间的两端取得极大极小值即三证明方程sinx=x只有一个根证:令则在内单调减少∴f(x)=sinx=至多有一个根而f()=,有且只有一个根即方程sinx=x只有一个根高等数学题库()函数的极值一填空题:函数在处取得极小值已知函数当或时y=为极小值当x=时y=为极大值.已知在x=处有极值则a=,b=,y=f(x)的极大值为极小值为二求下列函数的极值:解:令得三驻点:当时当时处为非极值点当时取得极大值其值为当时取得极小值其值为解:令得驻点(k为整数)∴当时x在该处取得极大值其值为当时x在该处取得极小值其值为三试问a为何值时函数在处取得极值?它是极大值还是极小值?并求出此极值解:令则即时取得极值在处取得极大值其值为四设为实数且()求函数的极值()求方程有三个实根的条件解:()令得而处取得极小值其值为处取得极大值其值为()由上述的讨论我们可以看出仅有三个单调区间由介值定理及区间单调性知:方程要有三个实根必须满足在这三个单调区间上各有一个实根也就是说极小值应小于或等于同时极大值应大于或等于(等于时含重根)即即当时方程有三个实根五一个无盖的圆柱形大桶已规定体积为V,要使其表面积为最小问圆柱的底半径及高应是多少?解:设圆柱的底半径为R,高为h则,则六设在上二阶可微且证明存在使得证:将在x取得极大值处展开一阶泰勒公式(设此时)两式相加得:令则高等数学题库()最大值最小值凹凸性拐点一、求下列函数的最大值和最小值:函数在所给区间内可导因此可令解得而所以函数在区间上的最大值、最小值分别为和函数在所给区间内可导因此可令解得而所以函数在区间上的最大值、最小值分别为和二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋现有存砖只够砌米长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?解:设宽为米则长为米因此面积为显然当时面积取最大值三、求数项中的最大项解:令则解得唯一驻点并且在区间上单调递增在区间上单调递减而所以数项中的最大项为四、求下列函数的凹凸区间与拐点:解:函数在定义域内阶导数存在并且因此当时曲线为凸的当时曲线为凹的点是曲线的拐点解:函数在定义域内阶导数存在并且因此当时曲线为凸的当时曲线为凹的当时曲线为凸的点是曲线的拐点五、证明有三个拐点位于同一直线上证明:用Mathematic画图(命令为)函数在定义域内二阶导数存在并且令解得因此当时曲线为凸的当时曲线为凹的当时曲线为凸的当时曲线为凹的所以曲线有三个拐点并且所以三个拐点在同一条直线上高等数学题库()函数图形的描绘曲率一、作下列函数的图形(要求列表之后再画图):解:函数在定义域内二阶导数存在并且令解得图形↘拐点极大拐点↗极小↘拐点解:函数在定义域内二阶导数存在并且令解得图形极小拐点↗拐点不是极值点二、求抛物线在顶点处的曲率和曲率半径解:顶点处,所以三、求一条抛物线使之与曲线在处相切且在切点处有相同的曲率和凹向解:设抛物线的方程为则函数和在处有相同的函数值、一阶和二阶导数因此即抛物线的方程为四、求曲线的一条切线使该曲线与切线及直线所围成的平面图形的面积最小解:设切点的坐标为则切线的斜率为所以切线方程为当时当时所以三角形的面积为令解得即当时三角形的面积最小从而该曲线与切线及直线所围成的平面图形的面积最小此时切线方程为:高等数学题库()不定积分一是非题:.(F)(F)已知则(F)是同一个函数的原函数(T)二填空:设则已知曲线通过点(e,),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数则曲线方程为三求下列不定积分解:解:解:.解:.解:.四.已知且f()=求f(x)解:又由于在x=可导,则f(x)在x=连续所以f()=f()=f()=得:高等数学题库()换元积分一填空:二计算不定积分:解:解:.解:解:解:高等数学题库()分部积分法一填空题:.设则..若的原函数为则二.求下列不定积分:.解:==所以原式=.解:=.解:===.解:====.解:===.解:===高等数学题库()几种特殊类型函数的积分一.​ 求下列有理函数的不定积分:.解:==.解:,比较系数得:====二求下列三角有理式的不定积分:.解:令则==.解:====.解:======所以==即:=三求下列无理函数的不定积分:.解:=令则于是=故===.解:令则:==四计算积分解法一:=====解法二:=====注:解法二中积分亦可用万能代换法(令:求取五.计算积分解:=====或:==所以:=高等数学题库()定积分.​ 判断题:.​ 若在上可积则在上必连续(F).​ 若在连续则必定存在(F).​ 若包含于则必有≥(F)二.填空:(用≥号或≤号)≥.≤.≤.≤三.估计下列定积分的值:.解:≤≤≤≤.解:设显然在单调减≤≤因此≤≤四.利用定积分的几何意义及其性质求定积分的值(要说明理由)解:上述定积分表示曲线两直线与轴所围曲边梯形的面积,而曲边梯形的以原点为圆心半径为的圆在第一象限的部分其面积故定积分的值等于五.已知求解:≤≤由于同理六.已知在上连续且求解:设由条件知存在所以原式高等数学题库()广义积分.​ 填空题:....已知>则....​ 计算题:.​ 求解:原式.​ 设求解:.​ 求解:时≥≤≤≤≤由于故注:利用介值定理或定积分中值定理也可求得结果.​ 设在上连续且单调增加证明≥证:令由于单调增当<<时>>在单调增故>即≥高等数学题库()定积分的换元法一.下列定积分所使用的变量代换是否正确?.(no).(no).(yes)二.下列等式是否正确?.(yes).(yes).(yes)三.计算下列定积分:.解:原式=()令.解:令则且当时当时于是..解:设且当时当时于是四.证明:设是以为周期的连续函数则的值与无关五.设)连续求高等数学题库()定积分的分部积分法一.填空题:.设则.已知则二.计算下列定积分:.解:设则由分部积分公式得.解:设则由分部积分公式得.解:设则由分部积分公式得.解:原式=三.设在上连续且对一切有求解:由题设:则又高等数学题库()运用定积分求体积及平面曲线的弧长一、用定积分表示下列各题中的体积:.​ 把抛物线及直线所围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积V=.​ 由所围成图形a)​ 绕x轴旋转所得旋转体的体积b)​ 绕y轴旋转所得旋转体的体积.​ 把星形线绕X轴旋转所得旋转体的体积二、用定积分表示下列各题中的弧长:.​ 曲线上相应与的一段弧长s=.​ 曲线自至的一段弧长s=三、求曲线所围成的图形绕轴旋转所生成的旋转题的体积解:四、求心形线的全长解:五、计算底面时半径为的圆而垂直与底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积解:设直径在X轴上有高等数学题库()定积分在物理、力学上的应用一、填空(用定积分表示下列各题中的量):.由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F(单位:公斤)与伸长量S(单位:厘米)成正比即F=kS(k为比例常数)如果把弹簧由原长拉伸厘米所作的功W=把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功W=(R为地球半径,k为引力常数,M为地球质量).一物体以速度(米秒)作直线运动它在t=o到t=秒一段时间内的平均速度二、直径为厘米高为厘米的圆柱体内充满了压强为公斤平方厘米的蒸汽设温度保持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功?解:由W=(公斤厘米)在内任取x,dx因为所以(焦耳)三、设一锥形贮水池深米口径米盛满水今以唧筒将水吸尽问要作多少功?解:如图…又:则(千焦)四、一底为厘米高为厘米的等腰三角形片铅直地沉没在水中顶在上底在下且与水面平行而顶面离水面厘米试求它每面所受的压力解:在上任取压强为又

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