第10讲 因式分解及其应用

第10讲 因式分解及其应用（一） 第10讲 因式分解的应用 如果你不能解决这个提出的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，环视一下四周，找一个适宜的有关的问题。辅助问题可能提供方法论的帮助。它可能提示解的方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作等等。                           ——波利亚  知识方法扫描 因式分解是一种重要的恒等变形。利用恒等变形，我们可以解决许多数学问题。如求代数式的值；证明不等式；处理与整数有关的一些问题：分解质因数、判断数的整除性、求方程的整数解等。 经典例题解析 例1．（2005年东清市初中数学竞赛试题）已知正实数a,b,c满足方程组 求a+b+c的值。 解 三式相加，得： ∵ a,b,c都是正实数， 例2 （1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若a为正整数，则a4-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明。 解 a4-3a2+9= a4+6a2+9-9a2=( a2+3)2-(3a)2=( a2+3a+3)( a2-3a+3) =( a2+3a+3)[( a-1)(a-2)+1] 当a=1时，a4-3a2+9=7是质数； 当a=2时，a4-3a2+9=13是质数； 当a>2时, a2+3a+3>1, ( a-1)(a-2)+1>1,故a4-3a2+9是合数。 例3．(第17届江苏省初二数学竞赛试题)多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解为两个一次因式(x+b)，(x+c)的乘积, 则a的值应为多少？ 解 因x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x2+(b+c)x+bc，故有 b+c=-a-5, bc=5a-1 消去a, 变形得 （b+5）(c+5)=-1 因 b，c是整数，故有b=-4,c=-6 或b=-6,c=-4。于是a=5 例4．设n是大于1的正整数，求证 n4+4是合数． 证明.n4 +4=n4 +4n2+4-4n2= (n2 +2)2-4n2 = (n2-2n+2) (n2+ 2n+ 2), ∵ n2+2n+2> n2-2n+2 =(n-1)2+1>1,∴ .n4+4是合数. 例5．(第9届华罗庚金杯数学邀请赛初二决赛试题)计算： 例6．（1985年北京市初二数学竞赛试题）若a是正整数，则 。 证明 = 当a的个位数字分别为0，1，2，…，9时，上式右端总含有因子2和5．这样, 例7．（上海市初中数学竞赛试题）设正数x、y、z满足不等式： 求证：以z、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形． 证明 将已知不等式变形为： 不妨设 因x、y、z为正数，对于不等式①，只能有如下两种情况：1．左边的三个因式都大于0； 2．左边的因式为二负一正．只要我们能推出第一种情况成立，则原命题成立，但直接证比较困难，现假设不等式①左边三个因式为二负一正，则有： 或 或 这与所设z≥y≥z矛盾，于是可知不等式①左边三个因式不能为二负一正，故只能是不等式①左边三个因式都为正，即有：y+z>z，z+x>y，x+y>z成立，所以原命题得证，即以x、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形， 例8．（第37届国际数学奥林匹克备选题）在一个圆周上标记了4个整数，规定一个方向，使每个整数都有相邻的下一个数，每一步操作是指对每一个数，同时用该数与下一个数之差来替换，即对于a、b、c、d依次用a-b、b-c、c-d、d-a来替换，问经过1996步这样的替换之后，是否可以得到4个数a、b、c、d，使得|bc一ad|、|ac- bd|、|ab-cd|都是质数？ 解 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是否定的，下面证明， 设经过n次操作后得到的数依次是 记n= 1996，则 于是， , 不可能为质数。 同步训练 一 选择题 1．（2005·杭州市“思维数学”夏令营）请你估计一下 的值应该最接近于（ ） (A) 1 (B) (C) (D) 2．(第1届“希望杯”全国初中数学邀请赛题)已知数x＝ , 则( ) (A) x是完全平方数 (B)（x－50）是完全平方数 (C) （x－25）是完全平方数 (D)（x＋50）是完全平方数 3．（2002年江苏省初中数学竞赛试题）a、b、c是正整数, a＞b, 且a2－ab－ac＋bc＝7, 则a－c等于（ ） （A）－1 （B）－1或－7 （C） 1 （D） 1或7 4．已知：a,b,c是△ ABC的三边长，那么代数式（a2+b2-c2）2-4a2b2的值（ ）。 （A）一定是正数（B）一定是负数（C）一定不是正数（D）一定不是负数 5．(1990年“缙云杯”数学竞赛试题)在1到100之间若存在整数n，使x2+x-n能分解为两个整系数一次式之积，这样的n有（ ）个. （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 9 二 填空题 6．若a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27是一个质数，则这个质数是__________. 7．（2001年上海市初中数学竞赛试题）方程 的整数解（x, y）＝ __________. 8．（上海市初中数学竞赛试题）满足方程x2－2y2＝1的所有质数解（即x、y都是质数的解）是 . 9．(1996年上海市初中数学竞赛试题)设一菱形的边长是一个两位数，对调这个两位数的个位数码和十位数码，得到的新数恰为该菱形一条对角线长度的一半，若该菱形另一条对角线长度也是整数，则该菱形的边长为 。 10．（第4届创新杯数学邀请赛试题）一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行了12个单位长度后，向左爬行了22个单位长度，再向右爬行了32个单位长度后，向左爬行了42个单位长度。这样一直爬下去，最后向右爬行了92个单位长度后，向左爬行了102个单位长度，到达A点。则A点 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的数是 。 三 解答题 11. (1985年全国部分省市通讯赛试题) 计算： 12.（第24届全苏数学奥林匹克试题）n为怎样的自然数时，数32n+1－22n+1－6n是合数？ 13．（第11届国际数学奥林匹克试题）证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数． 14．(1986年江苏省初中数学竞赛试题)若p、q均为大于5的任意质数，证明p4-q4总能被240整除 15．（2008年浙江省湖州市初二数学竞赛试题）已知四个实数 ，且 .若四个关系式： ， 同时成立， （1）求 的值； （2）分别求 的值. 同步训练题参考答案 1．B 原式= 2． C =102n＋4＋10n+3＋50=(102n＋4＋2·10n+2·5＋25)+25=(10n+2+5)2+25 3．D 因为a (a－b)－c(a－b)＝7, 所以(a－b) (a－c)＝7，而a－b＞0, 所以a－c＞0. 因此a－c＝1或7 4．B （a2+b2-c2）2-4a2b2=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab) =[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0 5．D. 设x2+x-n=(x-a)(x+b)= x2-(a-b)x-ab, 故a-b=-1,ab=n.于是n为两个连续整数之积，在1到100之间，有2，6，12，20，30，42，56，72，90共9个。 6．11. a4-4a3+15a2-30a+27=（a2-3a+3）（a2-a+9）.由于a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27是一个质数，且a2-3a+3< a2-a+9, 故a2-3a+3=1，解得a=1或a=2。 当a=1时，a2-a+9=9，不是质数； 当a=2时，a2-a+9=11，即a4-4a3+15a2-30a+27=11。 7．（3, 2） 原方程可化为4y2＋4xy－4＝3xy2， 即y (3xy－4y－4x)＝－4. 所以y＝-4, -2, -1, 1, 2, 4.对应的3xy-4y-4x＝1, 2, 4, －4, －2, －1. 解得： 由于xy≠0, 所以原方程整数解为（3, 2） 8．x＝3, y＝2. 将已知方程化为：2y2＝x2－1, 因x、y都是质数, 故知2y2为偶数, 因而x2－1为偶数, x2为奇数, 所以x为奇数. 由 ：y2＝ , ∵x＋1和x－1均为偶数, 其积为4的倍数, ∴y2为偶数, 故y为偶数. ∵在偶数中只有2为质数, ∴y＝2。 把y＝2代入x2－2y2＝1中, 得x＝±3. ∵x为质数, ∴x＝3, 9．65 设菱形边长为10x+y,则一条对角线长为2(10y+x), 另一条对角线长为2z(x,y是一位整数，2z是正整数)。则(10y+x)2+z2= (10x+y)2， z2=(10x+y)2-(10y+x)2=11 (x+y)(x-y) ×9。 设(x+y)(x-y)=11k2,(k是正整数) 当k=1时，(x+y)(x-y)=11×1，因x+y>x-y, 有x+y=11，x-y=1，解得 x=6,y=5; 当k=2时, (x+y)(x-y)=44=44×1=22×2，因x+y>x-y, 且x+y与x-y有相同的奇偶性, 有x+y=22，x-y=2，解得 x=12,y=10舍去； 当k≥3时，均无一位整数解。 故此菱形的边长为65 10．45 12-22+32-42+52-62+72-82+92 = 1+(32-22)+(52-42)+(72-62)+(92-82) =1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+(7+6)(7-6)+(9+8)(9-8) =1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 11. 将分子分母中的每一个因式都乘以16， 原式= 因为 16x4+4=(4x2+2)2-16x2=(4x2-4x+2) (4x2+4x+2)=[(2x-1)2+1] [(2x+1)2+1]， 所以 原式= = = 11． 12． 32n+1－22n+1－6n＝（3n－2n）（3n+1＋2n+1） 当 n＞l时，3n－2n＞1，3n+1＋2n+1＞1，所以原数是合数．当 n＝1时，原数是质数13． 13．n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2） 而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2≥m2＞1 故 n4＋4m4不是素数．取 a＝4·24，4·34，…就得到无限多个符合要求的 a． 14．因p、q均为大于5的质数, 所以p,q都是奇数。按被6除的余数分类，在是奇数的三类6n+1, 6n+3, 6n+5中，6n+3不是质数，故p、q是6n+1, 6n+5这两类的数，它们可以写成6n±1的形式。 设p=6n±1,q=6m±1, 则有 p4-q4=（p2-q2）(p2+q2)=[(6n±1)2-(6m±1)2][ ( 6n±1)2+( 6m±1)2] p2-q2 =(6n±1)2-(6m±1)2= (36n2±12n+1)- (36m2±12m+1)=12[3(n-m) ±(n-m)] =12(3±1)(n-m) 是24的倍数； p2+q2是偶数。 p4-q4=（p2-q2）(p2+q2)能被48整除。 另一方面，由于p，q>5，故质数p，q的个位数字只能是1、3、7、9，这祥p4，q4个位数字为l，即p4-q4个位数字为0．故p4-q4是5的倍数．’ 从而p4-q4是48×5=240的倍数． 15．（1）由 + =4+8=12，得 ，∴ . （2）由 =4－4=0， =8－8=0 得 ， ∵ ， , ∴ , . ∴ . 又 － =4－8=－4，得， . 当 时， ，解得 ， ， . 当 ， ，解得 ， .