现代控制理论基础_周军_第七章变分法在最优控制中的应用

第二篇 最 优 控 制 第二篇  最 优 控 制 　　　 概    述  最 优控制是现代控制理论的一个重要组成部分。它所研究的问题是：对一个控制系统，在给定的性能指标要求下，如何选择控制规律，使性能指标达到最优（极值）。 在应用经典控制理论时，各种设计方法本质上都是建立在试探的基础上的，在很大程度上依赖于设计人员的实践经验，因此设计结果不可能实现严格的最优。另外， 对于复杂的系统，用经典设计方法往往得不到满意的设计结果。而对于多输入多输出时变系统来讲，经典控制理论已经是无能为力了。应用最优控制理论则对各种控 制系统有可能在严格的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 基础上获得最优控制规律，实现最优控制，例如拦截导弹最短时间控制或最小轨迹控制。 拦截导弹最短时间控制或最小轨迹控制 因此，随着现代科学技术的发展，目前最优控制理论已经引起人们普遍的重视，并取得了很大的发展。下面，我们分别对最优控制问题的提法及性能指标的分类这两个问题作一些解释。 一、最优控制问题的提法 设动态系统的状态方程：                                   (7-1) 初始状态：                                                   (7-2) 目标集：                                                   (7-3) 控制域：                                                (7-4) 性能指标：                                         (7-5) 最优控制的问题就是：从所有可供选择的容许控制中寻找一个最优控制 ，使状态 由 经过一定时间转移到目标集 ，并且沿此轨线转移时，使相应的性能指标达到极值（极大或极小）。 一个最优控制问题通常由式(7-1)至式(7-5)五个方程来描述，下面来分别加以说明。 动态系统（指受控系统）的数学模型，它描述了受控系统的运动规律，一般用向量状态(7-1)表示，式中 为 维状态向量， 为 维控制向量。 性能指标J是 我们事先规定的一个衡量控制过程性能好坏的指标函数。所谓过程“最优”，从数学上讲就是要使这个指标函数达到极值（极大或极小）。性能指标可以是各种各样 的，它取决于我们所要解决的最优问题的主要矛盾。因此，对于不同的控制任务，就有不同的性能指标，我们不能给出适用于一切情况的统一格式。 控制域是指容许控制的集合。求解最优控制问题，最终需要找出最优控制规律 。但它必须在容许的取值范围内，即 之值必须处在一容许控制集 内： 当控制向量之值的变化范围不受限制时， 与整个 维向量空间 重合，这时 是一开集；当此值的变化范围受限制时，则 可能是一有界闭集。 动态系统的初态及终态是指一个动态过程在状态空间中由怎样的状态开始，转移至怎样的状态。所谓最优过程、对于不同的边界条件显然是不同的。一般情况下，初始状态是给定的，而终端状态则可能是固定的、自由的或按一定规律变动的，但总可以用一个目标集 来加以概括： 二、性能指标的分类 性能指标函数又称价值函数、目标函数、性能泛函等，它一般是一个泛函，因此最优控制问题可归结为求泛函的极值问题。按照实际控制性能的要求大致可以分为： ⑴ 最小时间问题。这是最优控制中常遇到的问题之一。最小时间问题的性能指标为： 拦截导弹最短时间控制                                             (7-6) 对照式(7-5)，这里相当于                                           (7-7) 并且不包含终端指标。 ⑵ 最小燃料消耗问题。粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比。因此，最小燃料问题的性能指标可用下式表示： 导弹发射过程中最小燃料消耗问题                                                (7-8) 对照式(7-5)，这里相当于                                           (7-9) 因为燃料消耗与控制量的符号无关，所以取绝对值。 ⑶ 最小能量控制问题。假设 与消耗功率成正比，则这时的性能指标可用下式表示： 航天飞机返回时最小能量控制                                                  (7-10) 相应地                                           (7-11) 式中， 在时间区间 上的积分就是消耗的总能量。 ⑷ 线性调节器问题。给定一个线性系统，其平衡状态为 ，设计的目的是要保持系统处于平衡状态，即系统能从任何初始状态返回平衡状态，这种系统称为线性调节器，它的性能指标可表示成： 导弹最小燃料控制                                   (7-12) 这时，调节过程中的状态变量 的值就代表偏差，由于偏差可正可负，因此在性能指标中取 的平方。特别要提一下以下的指标形式：                                  (7-13) 这里相当于                           (7-14) 它包括两部分，第一部分表示调节过程的平稳性，快速性及精确性的要求，第二部分表示能量消耗的要求。因此这类指标既反映了对调节过程品质要求，又反映了控制能量消耗的要求。这里的 为相应的权函数，它反映了对不同 成分的不同对待。一般情况下 为正半定或正定矩阵， 为正定矩阵。 ⑸ 状态跟踪器问题。如果在过程中要求状态 跟踪目标轨线 ，则称这类系统为状态跟踪器。如果同时考虑控制能量的消耗，其性能指标经常可取以下形式：                   (7-15) 这里相当于             (7-16) ⑷、⑸两类性能指标统称为二次型性能指标，因为其中每一项都是二次项，这是工程实践中应用最广的一类性能指标。 除了以上提及几种外，还可以有各种不同的形式，这由实际控制性能要求来决定。 性能指标还可以按其数学形式大致分为下列三类： ⑴ 积分型性能指标。它的形式为：                                   (7-17) 这是一种积分型泛函，在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。它要求状态向量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。 ⑵ 终值型性能指标。它的形式为：                                            (7-18) 在变分法中称为迈耶尔问题。它只要求状态在过程终了时满足一定要求，但在整个动态过程中对状态及控制的演变不作要求。 ⑶ 复合型性能指标。它的形式为上面两种的综合，即：                           (7-19) 在变分法中称为波尔札问题。 从变分法可知，通过适当变换，拉格朗日问题与迈耶尔问题可以互相转换。 最优控制问题的求解，最初广泛应用变分法，但是古典变分有很大局限性，它适用于状态向量及控制向量不受限制的情况，而实际工程问题中遇到更多的是这些变量是受限制约束的，因此变分法在工程实践中的应用受到很大限制。直到1956年左右，由庞特里亚金及贝尔曼分别提出了极大值原理及动态规划，为解决有限制约束的变分问题提供了有力的工具，从而大大推动了最优控制理论的发展。本篇中，我们将分别介绍变分法、极大值原理及动态规划法这三种方法在最优控制问题中的应用。   第七章        变分法在最优控制中的应用   本章将分别介绍无约束条件及有约束条件的泛函极值问题及用变分法法解最优控制问题。 第一节    无约束条件的泛函极值问题 在无约束条件下，泛函极值问题一般可以由经典变分法来解决。有关变分法的知识，读者可以参阅专门资料，这里不准备详述，只对以下几个经常用到的定义及定理用一简单介绍。 一、变分法的定义及定理 ⑴ 泛函 设函数 ，有另一个函数J依赖于函数 ，用于 表示，则函数 称为函数 的泛函，而 称为泛函 的宗量。 ⑵ 泛函的变分 宗量 的变分是指两个函数间的差 。此处假定 是在某一函数类中任意改变着的。 如果对于 的微小改变，有泛函 的微小改变跟它对应，就说泛函 是连续的。 设泛函 在 处可微，即存在                                          (7-19) 则称其微分                                                 (7-20) 为泛函 在 处的一阶变分，并表示成：                                        (7-21) 将 在 邻展开成台劳级数                  (7-22)                 (7-23) 可见一阶变分 的意义为泛函增量 的线性主部。同理，可定义泛函 的二阶变分为                                     (7-24)   ⑶ 泛函 在 处达到极小值的必要条件为：（证明略）                                             (7-25) 其充分条件为：（证明略）                                             (7-26) 二、固定边界的泛函极值 我们从最简单的情况开始讨论。设泛函为积分型（拉格朗日问题），                                       (7-27) 假定 为一维变量，在 区间上二次可导，并设起始及终端时刻 均给定，且                                          (7-28) 要求确定使 达极小的 轨线。 图 7-1 最优轨线 显然，泛函 的值将随着选取不同的 而变化。设 为满足以上边界条件并使 达到极小的最优状态轨线，如图7-1所示，则其邻区的状态轨迹 可用下式表示：                                            (7-29) 这里， 是时间函数。且满足                                            (7-30) 即在 的邻区的所有 均应 满足边界条件                                            (7-31)                                            (7-32) 并当 时，则                                                 (7-33) 对 求导得                                             (7-34) 将 及 的表示式代入指标函数 式得                           (7-35) 根据泛函极值的必要条件，应满足                                           (7-27) 为此，我们将 在 处求变分                       (7-36) 积分号内第二项作分部积分后可得：     (7-37) 代入式(7-36)则得：    (7-38) 对于现在讨论的情况，因为 ，因此等式右边第二项等于零。根据式(7-25)有：                        (7-39) 由于 可以任取，故为使上式成立，必须满足：                                (7-40) 这就是著名的欧拉-拉格朗日方程，简称欧拉方程。解此方程就可求得状态的最优轨线 。欧拉方程是一个二阶微分方程，求解过程中要确定两个积分常数，因此要用到两个边界条件，这里可以用 及 来求解。 对于不同形式的被积函数F，相应的欧拉方程式亦将不同，我们可以用相似的方法求得，现将结果列于表7-1。 表7-1  不同被积函数F对应的欧拉方程 F的 形 式 欧拉-拉格朗日方程                                                                   例7-1 设泛函形式为： 边界条件为：                                                             求 达到极值时的最优轨线 。 解  已知被积函数为： 可求得： 代入欧拉方程得： 其解为： 根据边界条件可求得： ，最后可得最优轨线为： 7.2      有约束条件的泛函极值问题 　　　        在实际问题中，对应泛函极值的最优轨线 通常不可以任意选取，而受着各种约束。如动态系统的状态变化规律便受系统本身动态特性（状态方程）的约束。下面，我们讨论有约束条件的泛函极值问题。仍设指标泛函形式为积分型 并设边界时刻 、 及边界状态 均给定，但最优轨线受以下不同约束： ⑴ 代数方程约束，约束方程为：                                                 (7-57) ⑵ 微分方程约束，约束方程为：                                           (7-58) ⑶ 等周长（积分方程）约束，约束方程为：                                         (7-59) 下面分别讨论在以上约束下的泛函极值问题。 1． 代数方程约束 设约束方程为：                                       (7-60) 这里有 个约束方程，如 为 维变量，则 只有 维是独立的。 设 维的向量时间函数                                             (7-61) 为拉格朗日乘子，将它分别与约束方程的左边各分量相乘，然后与 相加组成增广泛函                     (7-62) 现在即可按无约束条件来求泛函 的极值。根据泛函极值的必要条件可得           (7-63) 经过同前节中相似的处理，并考虑 ，则得：                  (7-64) 这里， 及 互相独立，因此为使上式成立，应同时满足：                                    (7-65)                                                  (7-66) 上式即为约束方程。 定义                                                  (7-67) 则式(7-65)经整理可表示成：                                           (7-68) 上式为对应于增广泛函的欧拉方程。解此方程，就可得最优轨线 。这里要指出的是 中包含有未知的 维秘量函数 ，因此。在求解欧拉方程时除了已有边界条件外，还需要 个条件，这恰好由 个约束方程来补足。显然，所求得的极值满足约束方程。它就是约束条件下的极值问题的解。 2． 微分方程约束 设约束方程为：                                  (7-69) 经过类似步骤的推导可得：为使指标泛函在微公方程约束下达到极值，应同时满足                                         (7-70) 我们得到了与代数约束完全相同的结果，这里同样定义 。                                           (7-71) 3． 等周长（积分方程）约束 设约束方程为：                    (7-72) 一般情况下，我们可将积分方程约束转化为微分方程约束，即 设：                                           (7-73) 并设其边界条件为：                                         (7-74) 则                     (7-75) 原约束方程满足。因此我们可以将约束方程变换成：                      (7-76) 这样就变成了附加有变量 的微分方程约束了，我们可以直接利用微分方程约束情况所得的结果，为使指标泛函在积分方程约束下达到极值，应同时满足                                      (7-77)                               (7-78) 这里式(7-77)为对应增广泛函的欧拉方程，式(7-78)为约束方程。要指出的是在式(7-77)中 因此，式(7-77)可以分解成：                                        (7-79)                                        (7-80) 由于：                  最后可得欧拉方程为：                                         (7-81)                                                   (7-82) 以上讨论中，我们可以看出，对于有约束条件的泛函极值问题，只需用拉格朗日乘子法将有约束条件问题转化为无约束条件问题来解决。 同样，对于不同边界情况，欧拉方程不变，只是边界条件及横截条件不同。 第三节 变分法解最优控制问题 　　　   设系统状态方程为：                                           (7-1) 性能指标为：                                 (7-5) 并设：初始及终端时刻 、 给定 ，终端不受约束。求使 达到极值时的最优控制规律 及最优状态轨线 。 同前面比较可知，这里同样是求有等式约束条件的泛函极值问题，因此，应首先用拉格朗日乘子法约束条件问题化成无约束条件问题，即求泛函   (7-83) 的极值问题。定义哈密尔顿函数如下：                       (7-84) 则                       (7-85) 其变分为：  (7-86) 由于：                 (7-87) 代入上式，并根据泛函极值条件，令 ，则得：  (7-88) 由于 互相独立，因此，为使上式成立，应同时满足                                     (7-89)                                   (7-90)                                       (7-91)                                     (7-92) 这里，式(7-89)、式(7-90)、式(7-91)即为欧拉方程，式(7-92)为横截条件。在解最优控制问题中，称式(7-90)为伴随方程（或协态方程），式(7-89)、式(7-90)合称为哈密尔顿正则方程（或规范方程），式(7-91)为控制方程。正则方程为两组一阶微分方程，联立求解正同方程及控制方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制规律 及最优状态轨线 和协态轨线 。在求解正则方程时，需要有 个边界条件，在本例情况下，可取一组为状态初值 ，另一组为满足横截条件的协态终值 。显然这两组边界条件仍是分处在两个端点，因此仍然是两点边值问题。 对于其他不同边界情况以及考虑存在终端等式约束条件的情况，可用同样的方法进行推导，所得正则方程及控制方程的形式都是相同的，终端指标及终端等式约束只 出现在横截条件中。因此，在求解正则方程时，需要正确选用不同的边界条件及横截条件。下面，把对各种情况下的边界条件及横截条件归纳于表7-2。这里，假设初始时刻 及初始状态 都是给定的。 表7-2  不同边界情况下的边界条件及横截条件 终端情况 边 界 条 件 及 横 截 条 件 需求积分常数及 给定 给定 个 个 积分常数2 个 给定 自由 个 个 积分常数2 个 自由 给定 个 个 1个 积分常数2 个      1个 自由 自由 个 个 1个 积分常数2 个      1个      自由  可变但满足    个 个 1个 积分常数2 个      1个   例7-3  设系统状态方程为： 给定边界条件为： ， 求最优控制 ，使下列性能指标 为极小。 解  列写哈密尔顿函数 伴随方程及控制方程为： 由此可得正则方程为： 联立求解正则方程为： 已知边界条件x(0)=1, ,可得： 最后可得   例7-4  设一阶系统状态方程为； 给定边界条件为： ， 终端时刻 自由，求最优控制 ，使下列性能指标 为极小。 解  由性能指标可知，这里 ，列写哈密尔顿函数 伴随方程及控制方程为： 由此可得正则方程为： 由横截条件          可得：                  因为 代入得 解得：                        又因                  最后得最优控制 代入状态方程可解得：          根据边界条件 ，可得 ，则最优状态轨线为： 将终端状态条件 代入上式，可得终端时刻 。 　    ***课后习题*** 1、设状态的初值及终值分别为： 性能指标为： 求使 达极值时的极值轨线。 答案： 2、设系统状态方程为： 边界条件为：      性能指标为： 求使 达极值的最优控制 及最优轨线 。 答案： 3、设系统状态方程为： 设状态的初值及终值分别为： 性能指标为： 求使 达极值的最优控制 及最优轨线 。 答案： 4、设开环系统如图 性能指标为： 求使 达极小的最优控制 。 答案： 5、设系统状态方程为： 性能指标为： 式中，常数 ， 和 给定， 自由。 求使 达极小的最优控制 以及相应的性能指标 。 答案： 6、设系统状态方程为： 设状态的初值及终值分别为： 性能指标为： 求使 达极值的最优控制 及最优轨线 。 答案：