复变函数与积分变换(2000年(上) 第一部分(共40分) 一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1、设z=1-√3i,则() π π A、|z|=2,arg z=- --- B、|z|=1,arg z=--- 3 3 π π C、|z|=4,argz=- --- D、|z|=2,argz=--- 3 3 2、下列复数
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达式中正确的是() π A、-1=eiπ B、-1=-e-iπ C、-1=-eiπ D、-1=e-2i (1+i) (2-i) 3、-------------=() I 2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i 4、函数f(z)=|z|2在复面上() A、处处不连续 B、处处连续,处处不可导 C、处处连续,仅在z=0点可导 D、处处连续,在z=0点解析 5、在复数域内,下列数中为实数的是() A、(1-i)3 B、ii C、1ni D、√-8 6、解析函数的实部u(x,y),和虚部v(x,y)所满足的柯西-黎曼条件为() u υ u υ u υ u υ A、---=---,---=--- B、---=---,---=- --- x y y x x y y x u υ u υ u υ u υ C、---=---,---=--- D、---=- ---,---=--- x x y x x y y x 7、2sini=() A、(e-1-e)i B、(e+e-1)i C、(e-e-1)i D、e-e-1 8、设f(z)=u(x,y)+iυ(z,y)是一个解析函数。若u=y,则f′(z)=() A、i B、1 C、1 D、-i 9、设C是从z=0到z=1+i的直线段,则积分∫zdz=() c A、0 B、2 C、1 D、1+i 10、设C为正向圆周|z|=1,则积分∮ezdz=() c A、1 B、2π C、0 D、2πi i 11、积分∫ zsinzdz=() -i A、2πi B、0 C、1 D、-2e-1i 12、设C1为正向圆周|z|=1,C2为正向圆周|z-2|1,则积分 1 cosz 1 sinz ----∮ ----dz+----∮ ---dz=() 2πi c1 z-2 2πi c2z-2 A、sin2 B、cos2 C、0 D、2πi z5 13、设C是围绕z0点的正向简单闭曲线,则积分∮ ---------dz=() c (z-x0)3 A、0 B、2πi C、2πz50i D、20πz30i 14、 复数列an=e-in,n=0,1,2,…则liman() n→∞ A、等于0 B、不存在,也不是∞ C、等于1 D、等于∞ 15、在z=0的领域内1n(1+z)= ∞ (-1)n-1 ∞ zn A、 ∑ --------zn B、∑--- n=1 n n=1 n ∞ 1+(-1)n ∞ C、 ∑ --------zn D、∑ (-1)n-1zn n=1 n n=1 ∞ 1+(-1)n 16、幂级数 ∑ ----------zn 的收敛半径为() n=0 3n 1 A、9 B、3 C、--- D、+∞ 3 ∞ (-1)n 17、罗朗级数∑--------- 的收敛圆环域为() n=0(z-2)n+2 A、1<|z-2|<2 B、1<|z-2|<+∞ C、0<|z-2|<1 D、2<|z-2|<+∞ 1 1 18、z=1是函数-------cos------的() (z-1)5 (z-1)5 A、本性奇点 B、可去奇点 C、5阶极点 D、10阶极点 19、设z0是函数f(z)的m阶极点,则Res[f(z),z0]=() 1 dm A、---lim ---[(z-z0)mf(z)] m!z→z0dzm 1 dm-1 B、------ lim -----[(z-z0)m-1f(z)] (m-1)!z→z0dzm-1 1 dm-1 C、------ lim -----[(z-z0)mf(z)] (m-1)!z→z0dzm-1 D、lim(z-z0)mf(z) z→z0 20、保角映射w=ez将Z-平面上的带形区域0
0射成为W-平面上割去正实轴的复平面,并将点z=-1,1,i分别映射成w=∞,0,1。 37、积分变换 (1)设F(ω)=F[f(t)]。试证明F[F(-t)]=2f(ω)。(5分) (1)利用拉氏变换解微分积分方程: t y′(t)-∫ cosτ·y(t-τ)dτ=a,t>0 { 0 y(0)=0 (其中为常数) 一. 计算(32分,每题8分) 1. 求 . 2. 计算积分 ,其中曲线 , 从 变到 。 3. 计算积分 ,曲线正向. 4. 利用留数理论计算定积分 . 二.(8分)利用留数理论证明 三.(10分)设函数 是全平面的解析函数,应用柯西一黎曼方程(1)求 ,m,n的值;(2)求 . 四.(10分)把函数 在环域:(1) ;(2) 中展开成罗朗级数;并指出 的值. 五.(15分)(1)证明拉氏变换的时移性质,即证明:若 ,则对于 ,有 . (2)应用时移性质求函数 ( 实数)的拉氏变换. (3)求函数 (a实数)的拉普拉氏变换。 六. (15分) 1、 映射 变区域 为什么区域?说明理由. 2、 求将区域 保角地映射为W平面上区域 的任意一个映射. 七. (10分)设 在单连通区域D内除点z0外解析,在z0点近旁有 ,这里常数 ,证明:对于D内包含z0的任何简单闭曲线C,有