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哲学

sanakan
2011-04-11 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《哲学pdf》,可适用于IT/计算机领域

《國立政治大學哲學學報》第二十一期(年月)頁©國立政治大學哲學系哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭蔡行健國立中正大學哲學系摘要哥德爾的不完備性定理是現代邏輯發展過程中所發現的最重要的獨立性結果。在晚近的文獻中常可看到有些學者試圖利用不完備性定理來證明不可能有能夠完整地模擬人類心靈的機器存在持此立場之較有代表性的學者有盧卡斯(Lucas)、潘若斯(Penrose)以及麥扣(McCall)等。這些學者個別的主張雖不盡相同但都認為:對任何機器而言根據不完備性定理都會有一些數學命題是它所無法證明的但人類心靈卻可得知其為真。而持反對立場的學者如弗蘭森(Franzén)、林德斯仲(Lindström)、夏皮洛(Shapiro)及蓋夫曼(Gaifman)等人則分別指出:上述學者的論證不足以保證所宣稱的心靈相對於機器的優勢。在本文中筆者將審視關於這個議題的主要的正反論證並釐清牽涉於論爭的幾個重要概念如「機器」、「證明」以及「一致」等。筆者將指出:限制在不完備性定理的脈絡下心靈是否為機器這個問題不可能有數學上或邏輯上的明確答案然而就哲學的觀點而言機器論者必須承擔較大的舉證責任。國立政治大學哲學學報第二十一期關鍵詞:哥德爾、不完備性、心靈、機器、證明、一致哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭壹、哥德爾的兩個不完備性定理及相關定理簡介一般而言哥德爾的不完備性定理是關於算術理論的後設邏輯定理(metalogicalresultsofnumbertheory)但我們稍後會說明如何將這些結果延伸應用到其他的邏輯理論。考慮一個公理化的第一階邏輯理論T其語言L的意欲的詮釋(intendedinterpretation)是在自然數上。通常該語言會有常數符號“”二元述詞“<”一元函數“s”(successor)二元函數“”、“×”及“E”(exponentiation)。這些符號都是我們所熟悉的而它們在自然數上的詮釋也不言可喻。由於任何一個該語言的句式(formula)都只包含有限多的符號如果我們將語言的符號對應到自然數上(不同的符號當然對應到不同的自然數)則透過某種編碼方式任一個句式也都會對應到一個自然數。同樣地一個由有限多的句式所構成的序列也可以被對應到某個自然數。一般把此類型的編碼稱之為哥德爾編碼這裏的「公理化的理論」指的是「遞迴公理化的理論」(recursivelyaxiomatizedtheory)也就是這些公理的哥德爾碼(見下文)所形成的集合是遞迴的或是可被決定的(decidable)。簡單而言這表示給與任何語句(使用所考慮的理論的語言)我們有一個有效的程序來決定這語句是否為公理之一。國立政治大學哲學學報第二十一期(Gödelnumbering)。此編碼的目的在於讓這語言能夠提及自身所使用的符號及使用這些符號所形成的句式這也使得一些語法上的項目(syntacticitems)能被語言本身所定義。對理論T也有一個基本要求:(i)T最少要能證明所有在自然數為真的不等式m≠n及為真的等式mn=k與m×n=k以及x<n→(x=∨…∨x=n)x<n∨x=n∨n<x(Gaifman,:)。在此m(自然數m的名字)實際上是s(s(…(s()…)其中s出現了m次。例如s()指稱s(s())指稱……依此類推。假設φ(x)這個句式正好只有x這個自由變數(freevariable)。假設G(φ(x))是透過哥德爾編碼之後φ(x)所對應的自然數如果這個自然數是m那麼它的名字為m(如前所述它實際上是s(s(…(s()…)其中s出現了m次)φ(m)也是一個合法的句式一般稱之為φ(x)的對角化(diagonalization)它所對應的哥德爾碼為G(φ(m))。我們可以定義一個在自然數上的函數D使得對所有正好具有一個自由變數的句式φ(x)D(G(φ(x)))=G(φ(m))其中m=G(φ(x))。假如φ(x)可被T證明因為一個證明S是由一些句式所構成的有限序列所以也可經由編碼對應到某個自然數或者T最少須是算術理論的一個可被有限公理化的子理論見Enderton,:。一個證明是由句式構成的有限序列其中的每一個句式如果不是邏輯公理就是T的公理要不然就是由它之前的某兩個句式透過「肯定前項」(modusponens)所得到的。這個定義見Enderton,:。若採取的系統不同則定義可能會有出入但無論如何定義證明仍會是一個有限序列而其中的每一項都能被有效地決定。哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭G(S)。因此我們可以在自然數上定義一個二元關係ProofT使得對所有可被T證明的句式φProofT(G(S)G(φ))其中S是從T所得到的對φ的證明而G(S)是這個證明所對應的哥德爾碼。如果T是一個公理化的理論而且滿足前面所提到的基本要求則我們可以找到兩個句式δ(x,y)與θ(x,y)分別定義D與ProofT使得:()對所有正好有一個自由變數的句式φ(x)T├∀y(δ(m,y)↔y=n)其中m=G(φ(x))n=D(G(φ(x)))()<m,n>∈ProofT則T├θ(m,n)若<m,n>∉ProofT則T├¬θ(m,n)。利用()我們可以證明所謂的「固定點定理」(fixedpointtheorem):對所有正好有一個自由變數的句式φ(x)存在一個語句α使得T├α↔φ(m)其中m=G(α)(底下將直接把m寫成G(α))。直覺上α說「我滿足φ這個性質」。現在考慮¬∃xθ(x,y)直覺上這個句式說y無法從T來證明。利用固定點定理有一個語句αT├α↔¬∃xθ(x,G(α))這個語句一般被稱作T的證明如下:考慮∀y(δ(x,y)→φ(y))這個句式。它說x的所有對角化都會滿足φ這裏的x當然可以是此句式本身的哥德爾碼。這提示我們把這個句式對角化得到∀y(δ(m,y)→φ(y))其中m=G(∀y(δ(x,y)→φ(y)))。而這正是我們所需要的語句α。根據()T├∀y(δ(m,y)→φ(y))↔∀y(y=n→φ(y))其中n=G(∀y(δ(m,y)→φ(y)))。明顯的T├∀y(y=n→φ(y))↔φ(n)。故T├∀y(δ(m,y)→φ(y))↔φ(n)。事實上哥德爾並沒有證明固定點定理而是卡納普(Carnap)分析哥德爾的證明之後所提出的。見Carnap,:。國立政治大學哲學學報第二十一期「哥德爾語句」(Gödelsentence)。如果T├α則T├¬∃xθ(x,G(α))。可是T├α表示有個由句式構成的有限序列S是α的證明因此<G(S)G(α)>∈ProofT根據()T├θ(G(S),G(α))因此T├∃xθ(x,G(α))T會是一個不一致的(inconsistent)理論。若T├¬α則T├∃xθ(x,G(α))如果T是一致的則T不能證明α換句話說對所有的自然數m<m,G(α)>∉ProofT根據()T├¬θ(m,G(α))。所以T是「ω不一致的」(ωinconsistent)。這就是哥德爾的第一個不完備性定理。很明顯的如果T能夠被算術理論的意欲的模型(intendedmodel)亦即自然數的算術結構<ω,,s,<,,×,E>所滿足則T會是ω一致的。而通常我們所考慮的是這類型的理論所以若T是一致的則最少會有一個語句也就是T的哥德爾語句使得T無法證明它也無法證明它的否定。哥德爾的第一個不完備性定理蘊涵以下命題:若T是一致的則T不能證明T的哥德爾語句。哥德爾的第二個不完備性定理則是透過證明這個命題的形式化所得到的。但這裏所考慮的理論T除了必須滿足前面所指出的基本要求外還要滿足以下幾點:(ii)對所有的句式α若T├α則T├∃xθ(x,G(α))。(iii)對所有的句式αT├∃xθ(x,G(α))→∃xθ(x,n)其中n=G(∃xθ(x,G(α)))。也就是T可以證明「若α是可證明的則『α是可證明的』是可證明的」。這是(ii)的形式化。T是ω不一致的若且唯若存在一個語句∃xφ(x)使得T├∃xφ(x)但對所有的自然數nT├¬φ(n)。哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭(iv)對所有的句式α及βT├∃xθ(x,G(α))→(∃xθ(x,G(α→β))→∃xθ(x,G(β)))。這是肯定前項(modusponens)的形式化。「T是一致的」這個語句可被形式化為¬∃xθ(x,G(y≠y))也就是T無法證明y≠y。把這個語句稱之為CONT。而「T不能證明T的哥德爾語句」的形式化是¬∃xθ(x,G(α))也就是α。所以「若T是一致的則T不能證明T的哥德爾語句」的形式化即是“CONT→α”。在此我們可以證明T├CONT→α。因此如果T真的能證明它本身的一致性亦即T├CONT則T├α可是如此一來根據第一個不完備性定理T會是不一致的。換言之T如果是一致的則T不能證明它自身是一致的。這就是哥德爾的第二個不完備性定理。雖然這裏的L是算術理論的語言其詮釋的定義域是自然數的集合。但其他語言的理論也有可能得到不完備性只要該語言的語法上的項目能被形式化且所考慮的理論必須滿足某些要求使證明如下:為簡化起見將∃xθ(x,y)寫為p(y)。我們已知道T├α↔¬p(G(α))。故T├α→¬p((G(α))。根據(ii)T├p(G(α→¬p(G(α))))再根據(iv)T├p(G(α))→p(G(¬p(G(α))))。根據(iii)T├p(G(α))→p(G(p(G(α))))因此(*)T├p(G(α))→(p(G(¬p(G(α))))∧p(G(p(G(α))))。但T├(p(G(α))∧¬p(G(α)))))→y≠y故根據(ii)再根據(iv)T├(p(G(¬p(G(α))))∧p(G(p(G(α))))→p(G(y≠y))亦即T├(p(G(¬p(G(α))))∧p(G(p(G(α))))→¬CONT根據前面的(*)得到T├p(G(α))→¬CONT反轉即得T├CONT→¬p(G(α))亦即T├CONT→α。此外我們很容易看出T├¬CONT→¬α因為T├y≠y→α接著根據(ii)T├p(G(y≠y→α))然後再根據(iv)T├p(G(y≠y))→p(G(α))。因此T├α↔CONT。國立政治大學哲學學報第二十一期得上述的(i)~(iv)(或它們在所考慮的語言上的等價陳述)成立則這理論也會有不完備性的結果。根據這樣的觀察第二個不完備性定理有很廣泛的應用現今已成為後設邏輯研究的一個重要的基本工具:一個理論只要滿足某些要求就不能證明自己的一致性否則它就會是不一致的。重要的例子如皮亞諾算術(Peanoarithmetic以下簡稱PA)或一些集合論系統如ZF或ZFC(下文中所提到的集合論若沒有特別註明都是指ZFC)。讓我們考慮任何一個形式化的邏輯理論若某個在該理論的語言上的語句及其否定都不能被它證明則我們稱該語句獨立於此理論之外。當一個語句可被證明是獨立於某個理論之外我們說這是一個關於此理論的「獨立性結果」(independenceresult)。哥德爾的第一個不完備性定理就是關於算術理論的獨立性結果但如同前面所提到的它也是關於任何滿足某些條件的理論的獨立性結果。一個重要的觀察是:證明一個語句獨立於某個一致的理論之外可以保證加入該語句到此理論之後可以得到一個更強的一致的理論。所以若以PA為出發點我們可以構築一系列強度嚴格遞增的公理化的理論後一個理論即是由前一個理論加上其哥德爾語句所構成。由於討論的需要接下來要介紹塔斯基的不可定義性定理(Tarski’sUndefinabilityTheorem)這是一個與哥德爾不完備性定理有密切關聯的重要定理。前文已提到我們通常會把自然數的算術結構記為<ω,,s,<,,×,E>而在這個結構為真的語句所形成的集合是一個邏輯理論(我們將它稱為N)也就是所有自然數算術的真理所形成的理論。讓#N代表N的每一個語句的哥德爾碼所形成的集合塔斯基的定理指出:#N不能被定義在自然數的算術結構上。#N當然是自然數的子集合。而一個自然數的子集合S能被定義在自然數的算術結構上若且唯若有一個帶有一個自由變數的哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭句式α(x)使得對任何的自然數nn∈S若且唯若α(n)在<ω,,s,<,,×,E>為真(亦即α(n)是一個自然數算術的真理)。利用固定點定理可以簡單地證明塔斯基的定理如下:假設#N被某個α(x)所定義。根據固定點定理存在某個語句δ使得δ↔¬α(G(δ))是一個自然數算術的真理。如果δ是一個自然數算術的真理¬α(G(δ))也會是一個自然數算術的真理如此一來α不可能定義#N若δ是一個假的語句則¬α(G(δ))也是一個假的語句因此α(G(δ))是一個自然數算術的真理但這表示δ必須是一個自然數算術的真理所以我們又得到了矛盾。由於任何可被公理化的N的子理論其所有語句的哥德爾碼所形成的集合都可被定義在自然數的算術結構上所以N不可能被公理化。貳、數學的不可窮盡性與哥德爾的選言命題哥德爾自己曾說他的第二個不完備性定理指出了數學的不可窮盡性(incompletabilityorinexhaustibility):因為它使得任何人都不可能設立一個由公理及法則所構成的明確定義系統並同時能一致地做出下列關於此系統任何一個公理化的理論其所有語句的哥德爾碼所成的集合必然是遞迴可枚舉的(recursivelyenumerable)而任何遞迴可枚舉的自然數的子集合必然可被一個∃句式所定義。這個定理在大部分的數學邏輯教本都可找到。可參Enderton,:。國立政治大學哲學學報第二十一期的宣稱:我知道(以數學的確信度)所有這些公理及法則都是正確的除此之外我也知道它們涵蓋了所有的數學。如果某人做出這樣的陳述他就自相矛盾。因為若他知道這些被考慮的公理是正確的他也知道(以同樣的確信度)它們是一致的。因此他有一個數學的洞見是這些公理所無法證明的。然而為了要淸楚地理解剛剛說的事我們必須要小心。這表示沒有任何由正確的公理所構成的明確定義系統可以涵蓋整個數學本身(mathematicsproper)嗎?是的如果數學本身被了解為所有真的數學命題所構成的系統但答案會是否定的如果數學本身是指所有能被證明的數學命題所形成的系統。我將區分這兩種意義的數學為客觀意義的數學(mathematicsintheobjectivesense)與主觀意義的數學(mathematicsinthesubjectivesense)。很明顯的沒有任何由正確的公理所構成的明確定義系統可以構成整個客觀數學(筆者按:即客觀意義的數學而下文的主觀數學即主觀意義的數學)因為有某個為真的命題它陳述此系統是一致的但卻是該系統無法證明的。不過對主觀數學而言我們不能排除可能有某個有限的法則產生它所有的明顯的公理。然而若這法則存在我們以人類的理解能力永遠不可能知道它是這樣的法則亦即我們永遠無法以數學的確信度來知道它所產生的所有命題都是正確的。……然而根據足夠數量的例子或是其他的歸納推論我們頂多能以經驗的確信度(empiricalcertainty)來認知「這些命題都是真的」這樣的斷言。若果真如此(筆者按:應指上述的有限法則確實存在)這表示人類心靈(在純粹的數學領域中)等價於一個有限的機器而這機器無法完整地理解它自身如何運作……因此底下的選言結論是無法避免的:……人類心靈(甚至僅限制在純粹數學的領域)無窮地超越任何有限機器的能力或存在一些絶對無解的特定形態的迪奧番哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭庭問題(absolutelyunsolvableDiophantineproblemsofthetypespecified)(Gödel:)。在此須解釋一下在引文中哥德爾所要表達的意思。第二個不完備性定理指出了沒有任何一致的公理化系統可以定義出整個數學因為該系統的哥德爾語句(或該系統的一致性因二者是等價的)是一個為真的數學命題而該系統卻無法予以證明。這顯示了客觀的數學不能被任何一致的公理化系統所窮盡。但主觀數學是吾人心靈透過證明所能得到的數學它有可能被某個有限公理化系統所窮盡但我們就算面對這個公理化系統也不可能以數學的確信度知道它窮盡了主觀數學否則我們就能以數學的確信度知道它是這裏所稱的不可窮盡性是原文的“incompletability”而弗蘭森做“inexhaustibility”見Franzén,:。筆者認為後者比較不會與“incompleteness”混淆但在此都列出來。又在引文最後哥德爾所說的特定形態的迪奧番庭問題是指:如果P(x,…,xn,y,…,ym)是一個整數係數多項式(apolynomialwithintegralcoefficients)則對任意m個整數a,…,amP(x,…,xn,a,…,am)=都有整數解或者存在某m個整數a,…,am使得P(x,…,xn,a,…,am)=沒有整數解(Gödel,:)?哥德爾自己也指出:任何滿足一定條件的公理化系統其哥德爾語句會等價於某個以下形態的語句:∀y∀ym∃x…∃xnP(x,…,xn,y,…,ym)=其中P(x,…,xn,y,…,ym)是一個整數係數多項式(Davis,:)。假設人類心靈是一部有限機器則我們可以將之視為一個公理化系統(見本文第四節對「機器」的說明)。而這系統會滿足哥德爾所提到的條件(他本人顯然認為如此)因此根據第二個不完備性定理這系統不能證明其自身的哥德爾語句亦即對某個整數係數多項式P(x,…,xn,y,…,ym)這系統無法有效決定∀y∀ym∃x…∃xnP(x,…,xn,y,…,ym)=是否成立所以會有絶對無解的迪奧番庭問題存在。國立政治大學哲學學報第二十一期一致的可是這件事是該系統所無法得知的如此一來它就不算是窮盡整個主觀數學。如果這樣一個有限公理化系統確實存在則人類的數學能力可被一部有限機器完整模擬但人類永遠無法完全知道(哥德爾指的是具備數學確信度的知)這機器的運作方式因為哥德爾認為對其運作方式完全了解就蘊涵了知道它是一致的。哥德爾的選言結論是從「任何有限機器都不可能完整模擬人類心靈或有一部有限機器可以完整模擬人類心靈」所得到的其中的第二個選言項蘊涵了「有一些關於自然數的數學問題是人類心靈所絶對無法解決的」。布洛斯(Boolos)指出哥德爾這裏的推論有個跳躍:我們無法從「對任何有限機器都有一些關於自然數的數學問題是它無法證明的」得到「如果有一部有限機器可以完整模擬人類心靈有一些關於自然數的數學問題是人類心靈所絶對無法解決的」這是因為「人的心靈可以被一部有限機器完整模擬」或「人的心靈是一部有限機器」這些命題的意義並不清楚而機器如何模擬或代表(represents)心靈尚待解釋。但布洛斯承認如果「某一」心靈(amind)能證明的數學命題正好是某一機器能證明的則根據不完備性定理會有某個數學命題是該心靈所無法證明的(Gödel,:)。確實如同布洛斯所說的所謂的機器能「模擬」或「代表」人類心靈的說法並不清楚。很明顯的這裏所考慮的不是某個人的心靈也不是受到記憶力、時間所限制的心靈而是「理想化」的心靈。如果我們不認為論及這樣的心靈是有意義的則就不必認真考慮整個由哥德爾不完備性定理所引發的論爭。另外什麼是「機器」仍有待釐清在下文會再討論這個問題。哥德爾自己認為前述的選言結論的第二個選言項不能成立。根據王浩所載哥德爾認為理性若問一些無法回答的問題但又斷言只有理性能夠回答這些問題則理性會是非理性的(…byaskingunanswerablequestionswhileassertingthatonlyreasoncananswerthemreasonwouldbeirrational)(Wang,:)。依布洛斯的哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭見解這是從康德而來(Gödel,:)。哥德爾也提供其他的論證來支持第一個選言項這出自他對圖靈(Turing)的批評。圖靈預設計算(computation)只運用有限的原始符號(singlesymbols指的是不由其它符號所組成的符號)其理由有二:首先如果我們使用無限多的原始符號則會有一些原始符號它們之間的差異會無限地縮小(arbitrarilysmall)而難以辨視再者運用有限的原始符號仍可構成無限多的符號這是因為一個由既予的原始符號所構成的序列可視為一個複合的符號。基於類似的理由圖靈預設心靈在從事運算時的狀態(mindstates)也是有限的否則有些狀態將任意地逼近(arbitrarilyclose)以致於會引起混淆(Davis,:)。但如果心靈在運算時所用的符號及狀態都是有限的其能力就不會超越機器。哥德爾指出圖靈的論證犯了一個「哲學上的錯誤」亦即他忽略了一個關於心靈的事實:心靈在使用時並非靜態的而是持續不停地在發展因此就算在每一個發展階段我們能使用的抽象詞語是有限的但就整個發展而言它會趨近於無限(Gödel,:)。哥德爾似乎假設了:精確分辨無限多的抽象詞語需要無限多的心靈狀態。可是這裏看不出來哥德爾所謂的心靈狀態與圖靈所指的是否相同。能確定的是兩者各訴諸不同的直覺來論證而哥德爾不見得有優勢因為一個僅具備有限狀態的機器也有可能學習及發展(如果答案如此簡單就是否定的也不會有這麼多人投入人工圖靈所謂的「心靈狀態」應該是對應於「圖靈機器狀態」(statesofaTuringmachine)的概念因為他說:「一部電腦在任何一刻的行為是由他所觀察到的符號及他在當時的『心靈狀態』所決定的」(Davis,:)。他在這裏已經直接把人的心靈用機器來模擬分析。關於圖靈機器的定義在大多數的數學邏輯教本都可找到可參Monk,:或Soare,:。國立政治大學哲學學報第二十一期智慧的研究了)。但無論如何在相關概念缺乏清楚定義的情況下很難評估哥德爾的批評有何效用。參、利用不完備性定理來「證明」心靈不是機器˘ăᎊΙ೻۞ኢᙋͽ̈́࠹ᙯ۞аᑕ!訴諸哥德爾的第二個不完備性定理盧卡斯(Lucas)在年提出的主要論證的結構相當簡單:不論多麼複雜的機器只要它是一致的就無法證明自身之哥德爾語句但我們人類卻知道該語句為真。一些學者如弗蘭森(Franzén)認為盧卡斯主張人類心靈比任何機器都優越。實際上盧卡斯並沒有做出這麼強的結論他承認有些(一致的)機器在許多方面其證明數學真理的能力遠優於人類的心靈但一部一致的機器不論再如何複雜它至少有一個盲點也就是它的哥德爾語句可是人類心靈卻知道這語句為真因而沒有任何機器能完整地模擬人類的心靈(Lucas,:)。但如同弗蘭森所指出的哥德爾的第二個不完備性定理僅告訴我們:如果我們知道某個機器是一致的則我們也會知道它的哥德爾語句為真不過並沒有保證我們一定可以得知一部一致的機器是一致的因此我們也不見得知道它的哥德爾語句為真(Franzén,:)。既然哥德爾的第二個不完備性定理並不蘊涵「不論什麼機器只要它是一致的我們都可知道它的哥德爾語句為真」這件事它也不能保證盧卡斯的結論。而且機器也知道「如果我知道我是一致的則我也知道我的哥德爾語句為真」。所以與其哥德這裏的機器要滿足在介紹哥德爾的不完備性定理時所提到的條件(i)~(iv)而機哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭爾語句有關的事機器也不會知道得比較少。可以支持盧卡斯的論證的一個例子是:PA不能證明它本身是一致的但我們卻知道它是一致的因此也知道PA的哥德爾語句為真。但這裏所要面對的不僅是PA而已而是所有的滿足第一節所提到的(i)到(iv)的系統就算所考慮的系統是一致的也不保證我們能知道它是一致的。不完備性定理並未告訴我們如何得知一個一致的系統是一致的。事實上就算我們能夠知道某個一致的系統是一致的這通常必須訴諸不完備性定理之外的數學事實。例如我們之所以知道PA是一致的是因為我們知道PA的任何公理都在自然數的算術結構上為真(在底下的章節將再討論這一點)。盧卡斯()晚近對上述的批評做出底下的回應。他認為主張機器可完整模擬人類心靈的人(即盧卡斯所謂的「機器論者」)除了應該要描述這類型的機器的構造之外也要先確認它是一致的否則這主張就不值得認真對待。但若持這項主張者保證機器是一致的則我們就知道這機器是一致的可是此機器本身不可能知道(即證明)這件事。在這情況下「機器的一致性並非由心靈的數學能力所建立而是依靠機器論者的證詞而得到的」(Lucas,:)。弗蘭森及夏皮洛指出(Franzén,:)(Shapiro,:器「知道」某個語句表示機器能證明該語句。稱我們所考慮的機器為T。在證明哥德爾的第二個不完備性定理時我們證明了T├CONT→αα是T的哥德爾語句。根據(ii)及(iv)T├p(CONT)→p(α)p的定義見註解。又我們把機器視為邏輯理論是因為每一機器都可用相對應的程式來表示而每一個程式又可被視為一個邏輯理論。關於這一點在第四節中會再說明。國立政治大學哲學學報第二十一期):我們可以接受盧卡斯對機器論者的要求但依靠他人的證詞而知道某機器是一致的談不上是「證明」該機器是一致的也不能夠以「數學的確信度」(mathematicalcertainty)來接受這個命題。但是筆者認為盧卡斯的回應仍有值得玩味之處:先不管我們是否能依靠他人的證詞來確立某機器的一致性如果機器論者聲稱他知道該機器是一致的他本身就會成為機器可完整模擬人類心靈的反例因為機器不可能知道這件事可是他也不能說自己也不知道該機器是否為一致否則我們就不會認真考慮他的主張。這個兩難的困境似乎是機器論者所難以避免的。值得注意的是盧卡斯與機器論者之間仍容得下第三種主張也就是機器「可能」模擬人類心靈。盧卡斯認為機器「一定不可能」完整模擬人類心靈(起碼文獻中是這樣解讀他的主張)而機器論者認為有機器可以完整模擬人類心靈這不僅是指出可能性而已而是主張實際上可以如此。筆者在上文中已指出盧卡斯的回應是機器論者難以應對的但這並不表示盧卡斯本身的主張成立因為機器完整模擬人類心靈的可能性並未消除:我們可以想像有個機器確實能完整模擬人類的心靈但人類不可能知道這件事。˟ăምࡶ೻۞ኢᙋͽ̈́࠹ᙯ۞аᑕ!潘若斯(Penrose)在年的著作《國王的新心靈》(TheEmperor’sNewMind)中從許多不同的觀點來論證機器不可能完整模擬人類的心靈並預測未來的物理學特別是量子物理可以用來處理所謂的「意識的科學」(scienceofconsciousness)幫助我們了解人類的心靈如何作用。潘若斯的論證牽扯廣泛但確實也訴諸哥德爾的不完備性定理。他知道盧卡斯的論證而且顯然是持贊同的態度他自己也提出一個所謂的利用不完備性定理的「歸謬論證」來說明人類的數學思惟不可能被任何演算法所模擬這當然也意謂哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭著機器不可能完整模擬人類的心靈。他先假設數學家在做數學判斷時所用的方法是某種演算法。由於建立數學真理時所用的論證是可傳達的(communicable)故應存在著一個普遍的演算法(universalalgorithm)吾人可據以判斷數學真理但我們將永遠無法知道這即是吾人據以判斷數學真理的演算法否則我們將能建構它的哥德爾語句同時也知道這語句是一項數學真理但根據哥德爾的第一個不完備性定理這是不可能的。可是這牴觸了一個關於數學的傳承與訓練的事實:數學真理是建立於一些簡單、明顯而且是所有的人都能接受的要素而不是某個沒有人能知道的演算法(Penrose,:)。潘若斯前半段的論證大致上類似前述哥德爾對「主觀數學」的看法亦即即使有個有限公理化系統能窮盡主觀數學我們也不可能知道它是這樣的一個系統。但我們實在很難看出此論證的後半段會和「有某個我們永遠無法知道的演算法存在」有何矛盾縱使「我們看到的以及所理解的」數學真理都是建立在「我們所清楚認知」的一些簡單明顯的要素上但我們之所以會如此也許是因為不自覺地遵循某個我們永遠無法知道的演算法或換句話說我們可能是某種機器被設定成能夠清楚認知並接受某些數學原則但卻無法認知自身的設定。潘若斯在年的《心靈的陰影》(ShadowsofMind)中又提出另外一個論證(Penrose,:Chapter)。他的論證相當長而且牽扯相當多但在年他又提出了其論證的摘要。我們試著假設人類在原則上所能使用的所有的(無懈可擊的)數學推論的方法其整體能被包含在某個(但不一定須是計算理論的)健全的形式系統F。當一個數學家面對F的時候可能會做出底下的論證(要記住「我是F」僅是「F正好包含了所有的人類能使用的數學證明的方法」的縮寫):國立政治大學哲學學報第二十一期(A)雖然我不知道我一定是F我得到的結論是如果我是的話則F這個系統就必須是健全的(sound)。而且更進一步F′也必須是健全的在此F′是F加上「我是F」這個斷言。我了解從「我是F」這個假設可以得到F′的哥德爾語句G(F′)必須是真的而且更進一步它不是F′的邏輯結果。但是我剛說我了解「如果我碰巧是F則G(F′)會是真的」而且這種類型的了解正是我們假設F′能夠做到的。因為我能了解超出F′能力所及的某些事(筆者按:即F′無法了解「如果我碰巧是F則G(F′)會是真的」)我推得以下的結論:我不可能是F。此外本論證適用於任何其他的(可哥德爾化的(Gödelizable))系統。(Penrose,:)縱使是簡要的版本批評潘若斯的學者對這論證的詮釋眾說紛紜。底下將介紹弗蘭森林德斯仲(Lindström)夏皮洛(Shapiro)與恰爾莫斯(Chalmers)等四位學者的解讀與批評。最後兩者的說法頗為相似將放在一起介紹。τᜋ഑۞Բෞ!首先讓我們將「我是F」寫為IAMF。我們知道一個系統是健全的若且唯若它是一致的。如果IAMF為真F完整地捕捉了潘若斯所謂的soundness是指Πsoundness。見Penrose,:。一個理論T是Πsound若且唯若任何T能證明的Π語句都是真的(在T的所有模型中為真)。這裏的Π語句是指∀xR(x)這種形式的語句其中R(x)在T之下是可被決定的亦即對所有的自然數nT├R(n)或T├¬R(n)。而T是Πsound若且唯若T是一致的這是因為根據史卡倫(Skolem)的定理任何的理論T都有哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭我們的數學證明方法所以必然是健全的因此也是一致的而F加上IAMF當然也是一致的。而我們才剛做了上述的推論所以我們可以得到底下兩項前提:若IAMF則FIAMF是一致的。我能證明:若IAMF則FIAMF是一致的。因為IAMF表示F完整地捕捉了我們的數學證明方法所以對任何數學命題A如果我們能證明AF也能證明A。故我們又有第三項前提:若IAMF則對任何數學命題A如果我能證明AF也能證明A。利用這三項前提我們可以得到底下的歸謬證明。假設IAMF根據及F├IAMF→CON(FIAMF)。可是很明顯的根據單調性(monotonicity)FIAMF├IAMF而且FIAMF├IAMF→CON(FIAMF)再根據肯定前項(ModusPonens)FIAMF├CON(FIAMF)也就是FIAMF能證明它本身是一致的這違背了哥德爾的第二個不完備性定理所以IAMF不可能為真。一個開放的保守延伸(openconservativeextension)亦即一個T的保守延伸的理論其公理都是開放語句。關於這個定理及相關的定義及定理可參Shoenfield,:。按潘若斯的原文我們能證明:若IAMF則G(F′)為真。但CON(FIAMF)及G(F′)兩者是等價的(見註解)。故弗蘭森用「FIAMF是一致的」來取代「G(F′)為真」。國立政治大學哲學學報第二十一期乍見之下潘若斯的論證不但是有效的而且還是健全的但弗蘭森指出了一個問題那就是我們必須要能找到一個語句IAMF使得我們有理由宣稱「如果F確實完整地捕捉了人類心靈所能使用的數學證明的方法則IAMF為真」弗蘭森認為如果潘若斯不能找到上述這樣的一個語句則其論證仍不能有什麼作用。潘若斯也意識到類似的問題他擔心的是如果有人提出某個F並且宣稱它完整地捕捉了人類心靈的數學證明方式則要如何保證「我是F」這項陳述能夠被形式化因為若它不能形式化則我們不能得到FIAMF├CON(FIAMF)也因此不能利用第二個不完備性定理來得到矛盾。潘若斯沒有正面回答這個問題但他似乎認為他在第二本著作中已經解決這個問題(Penrose,:)。筆者在此要指出:潘若斯的論證實際上證明了任何的形式化的IAMF都會為假可是這並不蘊涵心靈不可能是機器(即某個F)而只蘊涵了「心靈是機器」這個語句不可能被形式化。換句話說心靈可能是某個F而任何被視為形式化IAMF的語句都會被F證明為假。這也表示我們的心靈可能是某個F但我們卻無從得知「我是F」這件事(機器之「知」即「證明」)。再一次的這裏的論點又回到關於哥德爾所謂的主觀數學的可能性亦即有可能有個有限公理化的系統涵蓋了主觀數學但人類不可能知道這件事。ڒᇇ೻Ѕ۞Բෞ!接下來將簡要地介紹林德斯仲的解讀及批評。他把潘若斯的論證重構如下:以上的論證重構及批評見Franzén(:)。在文中筆者加入了一些補充說明。哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭若Sd(F)則Sd(F)。若Sd(F)則G(F)。若Sd(F)則F不能證明G(F)。若Sd(F)則G(F)。若Sd(F)則F不能證明G(F)。若HC(F)則F證明Sd(F)→G(F)。Sd(F)與HC(F)不能同時為真。“IamF”為假。其中Sd(F)表示F是健全的(sound)HC(F)表示F最少包含了人類心靈所使用的所有的數學證明的方法而F=FSd(F)G(F)是F的哥德爾語句。上述的論證其實有三項前提即。林德斯仲承認從這三項前提確實可以得到這個結論因為從很明顯的可得到從可得到從可得到(是人類可證明的所以如果HC(F)真的成立則F也能證明)從可得到而從可得到(這是因為如果“IamF”是真的HC(F)及Sd(F)也會為真)。前提及沒有什麼問題因為一個系統是健全的若且唯若它是一致的而且一個系統的哥德爾語句與表達它的一致性的形式化的語句是等價的(見註解及基於此底下我們會把「健全的」(sound)用「一致的」(consistent)來替代)因此哥德爾的不完備性定理確實蘊涵及。可想而知林德斯仲打算攻擊前提他指出應該對所有的F的延伸理論E為真因為任何這樣的E一定也包含了人類心靈所使用的所有的數學證明的方法。但林德斯仲很快地舉出了一個反例:F¬CON(F)CON(F¬CON(F))是不一致的。首先F¬CON(F)是國立政治大學哲學學報第二十一期F的一個一致的延伸(consistentextension)(如果F¬CON(F)是不一致的F就會證明CON(F)這會違反第二個不完備性定理)但CON(F¬CON(F))蘊涵CON(F)因此F¬CON(F)CON(F¬CON(F))是不一致的也就是說若讓F¬CON(F)=E則CON(E)為真但CON(E)為假(Lindström,:)。假設F正好包含了人類心靈所能使用的所有的數學證明方法。夏皮洛指出一個可能的回應是:潘若斯僅須要求前提對F的某些延伸理論而言必須成立(Shapiro,:)。其實潘若斯只須確認前提對F成立即可毋須要求它對其他的理論也成立。林德斯仲確實指出:潘若斯並未給出任何理由來解釋前提何以對F會成立並認為很難替潘若斯找出什麼理由(Lindström,:)。筆者卻可以想見一個直覺上難以反對的理由:如果F正好包含了人類心靈所能使用的所有的數學證明方法我們確實會認為「F是一致的」是一個數學上的事實(因為這裏的心靈是「理想化」的所以不可能犯錯)因此原來的F加上這個事實還是一致的。!ޫႬం೻ᄃआϩࠃ۞Բෞ!恰爾莫斯認為潘若斯的論證的最大弱點在於預設了心靈能毫無疑問地知道(因而相信)它自身是一致的(見先前潘若斯的論證的引文)。恰爾莫斯用├A來表示心靈毫無疑問地斷言A├B(A)表示心靈毫無疑問地斷言它自己毫無疑問地相信A。恰爾莫斯認為林德斯仲也考慮了其他對潘若斯所謂的「健全性」的可能的詮釋並指出在這些詮釋下前提仍不能成立。註解已經提到過關於潘若斯的「健全性」的較合理的解讀故筆者省略了林德斯仲的其他解讀方式。哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭底下的命題應該都成立()若├A則├B(A)()├(B(A)∧B(A→A))→B(A)()├B(A)→B(B(A))()├¬B(false)其中的()表示心靈毫無疑問地相信自己是一致的。但這四個命題放在一起會導致矛盾:根據固定點定理我們可找到一個句子C使得├C↔¬B(C)根據()及()├B(C)→B(¬B(C))但根據()├B(C)→B(B(C))根據這兩個命題及()├B(C)→B(false)(因為├¬C↔(C→false))可是├B(false)→B(C)(因為├false→C再利用()及())因此├B(false)↔C所以├C↔¬B(false)得到矛盾。因為()到()並無不妥()必須負責任(Chalmers,:Section)。林德斯仲指出恰爾莫斯的證明有個問題就是我們雖然利用固定點定理得到├C↔¬B(C)¬B(C)不見得是有意義的因為它表達了「我不相信現在所說的這句話(筆者按:即引號內的句子)是真的」我們很難說這句話到底是什麼意思(但一個系統的哥德爾語句卻明顯是有意義的它表達了「我不能被該系統證明」而我們知道這是什麼意思因為「證明」這個概念有很明確合理的詮釋見註解)。因此就算上述的形式化系統得到矛盾我們只能說在此系統內「信念」的詮釋是不合理的但這與心靈能不能毫無疑問地知道本身是一致的並沒有關聯(Lindström,:在此A表示A的哥德爾碼的名字也就是說如果A的哥德爾碼是m則A是s(s(…(s()…)其中s出現了m次。而恰爾莫斯其實是用B(A)做為B(`A´)的簡寫其中`A´是A的哥德爾碼。但他犯了一個技術上的小錯誤亦即`A´應該是A的哥德爾碼的名字才對。筆者為了與之前的符號一致起見故用底線來取代單引號。國立政治大學哲學學報第二十一期)。在介紹夏皮洛的批評之前先做以下的一些設定。假設K是

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