习题 三 (A类) 1. 设α1=(1,1,0),α2=(0,1,1),α3=(3,4,0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解:α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2) 2. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α),其中α1=(2,5,1,3),α2=(10,1,5,10),α3=(4,1,-1,1).求α. 解:由3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α) 整理得:α= (3α1+2α2-5α3),即α= (6,12,18,24) =(1,2,3,4) 3.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 4. 判别下列向量组的线性相关性. (1)α1=(2,5), α2=(-1,3); (2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3); (3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2); (4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解:(1)线性无关;(2)线性相关;(3)线性无关;(4)线性相关. 5. 设α1,α2,α3线性无关,证明:α1,α1+α2,α1+α2+α3也线性无关. 证明:设 即 由 线性无关,有 所以 即 线性无关. 6.问a为何值时,向量组 线性相关,并将 用 线性表示. 解: 当a=5时, 7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵. 解:因向量(1,0,0,0)与(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量,因(1,0,0,1)与(1,0,1,0),(1,-1,0,0),(1,0,0,0)线性无关,所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为 . 8. 设 的秩为r且其中每个向量都可经 线性表出.证明: 为 的一个极大线性无关组. 【证明】若 (1) 线性相关,且不妨设 (t
word
word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历
_1714127872279_0所给矩阵秩的性质,n=秩E≤min{秩A,秩B}≤n,所以秩B=n,所以B的列向量的秩为n,即线性无关.