哈尔滨工业大学 08 结构力学——结构动力学3

null结构力学结构力学null第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房水塔有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进行分析多层房屋、高层建筑不等高厂房排架和块式基础 多自由度体系受迫振动的解是齐次解与特解之和，所以自由振动分析（齐次解）是基础. 自由振动分析的核心是确定体系的动力特性。null多自由度体系无阻尼运动方程刚度法形式：柔度法形式：多自由度体系无阻尼自由振动方程刚度法形式：柔度法形式：第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动null设特解： 按这一形式的振动有以下特点振动过程中两质点间同频率、同相位角； 质点位移在数值上随时间变化，但彼此间比值保持不变。这种结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。 第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null代入刚度法方程（1）1 = 2 = 0 不振动的解（2）1，2 至少有一个不为零 振动的解振型方程第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null非零解的条件：振型方程的系数行列式为零频率方程存在两个特征解1 ，2 ; 其中最小的一个称第一（基本）圆频率，较大的一个称第二圆频率。第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null第二阶主振型第一阶主振型振型方程的解只可得出振幅的相对比值第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null代入柔度法方程设：振型方程第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null非零解的条件：振型方程的系数行列式为零频率方程存在两个特征解1 ，2 ; 其中最大的一个对应第一圆频率1，较小的一个对应第二圆频率2 。第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null第二阶主振型第一阶主振型第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null通解对应1的特解对应2的特解由初始条件确定四个常数第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null重要特性：频率个数等于体系自由度数； 主振型也是体系的固有特性； 多自由度体系振动可看成不同主振动之线性组合，或说体系振动可按主振动分解； 只有在质量的初位移和初速度与某主振型一致时，体系才会按该主振型做简谐振动。第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解null例题：两层刚架，横梁为刚性，立柱的抗弯刚度EI1、EI2,立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1，m2,每层高度h1，h2，求自振频率和振型。第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动2、两自由度体系的频率和振型计算举例刚度法null解：当null 代入频率方程：null第一主振型：第二主振型：22=－0.618null如n = 90时特征方程：当null可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。如：屋顶消防水池 上人屋面设计的楼电梯间 女儿墙 屋顶建筑物等。建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。如n = 90，则null柔度法y1(t)设解为y2(t)null令null主振型主频率null例题：简支梁在三分点处有两各相等的集中质量m，不计梁本身重量，梁的抗弯刚度为EI，求自振频率和振型。nullnull多自由度体系分析 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与两自由度体系分析方法一样1 自振频率2 主振型第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动3、多自由度体系的频率和振型null自振频率与主振型一一对应 振型只表明振动的形状，不能唯一确定其幅值 振型是多自由度特有的概念注意方法2：规定振型{ф} i满足3 振型的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化补充条件，使主振型用确定的幅值表示方法1：规定振型中某元素为1，其它元素就是相对于它的比值。(通常选第一个元素或最大一个元素，令其等于1)第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动3、多自由度体系的频率和振型null某自由振动的解它的线性组合也是自由振动的解任意初始条件下的位移解答均可用全部振型的线性组合表示第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动4、多自由度体系自由振动的通解null矢量代数的两个矢量点积等于0，即称两个矢量垂直矩阵代数的两个n 维向量存在如下关系，即称两个向量正交第六节 多自由度体系振型的正交性1、正交的概念nulln 自由度体系的n 个振型向量中，对应于不同自振频率的振型之间存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性。第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性null正交性证明第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性null 振型关于质量、刚度矩阵正交的进一步推广振型关于矩阵[K][M]-1[K]正交第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性null第 i 阶振型的惯性力第 i 阶振型的惯性力在第 j 阶振型的位移上所作的虚功为零，也即某振型产生的惯性力在其它振型上不作功。第六节 多自由度体系振型的正交性3、振型正交性的物理解释null 可利用振型的正交性验证所求振型的正确性。 利用振型求振型对应的自振频率。第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用第j 阶广义质量第j 阶广义刚度null 位移的分解任意给定位移向量，利用振型的正交性，均可将其分解成 n 个振型的线性组合。第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用null 将多自由度体系变换成多个单自由度求解第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用null 自由振动初值确定第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用记：null例题：检验框架结构振型的正确性第六节 多自由度体系振型的正交性5、多自由度体系振型正交性应用举例null例题：已知三层框架结构前两个振型求频率。null1、首先求第三振型null2、求广义质量3、求广义刚度null4、求各阶圆频率null5、若有一位移向量，如何用前述振型进行分解null第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null 共振分析如果就会出现共振。 在n个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在n个共振点。 共振使体系产生较大变形，使用寿命受到影响；但也可以通过共振测量体系的固有频率，又可以利用共振曲线，用功率谱法可以测定体系的阻尼比。第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null 特例分析在简谐激振力作用下的稳态振动，两质点都做简谐振动。代入方程，消去共同因子并整理 第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null1、  0时，方程趋于静力方程，相当于静载。2、   时，质点位移趋于零，相当于静止。3、  1或   2时，位移变得很大，系统将产生共振。对应两个频率有两个共振点。第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null5、当将激振力幅值和惯性力幅值同时加在结构上时，位移和内力幅值的计算可按静力法进行。4、质点的惯性力 说明在不计阻尼时，位移和惯性力同步. 第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null考虑仅在1点作用激振力如果 吸振原理则有第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null吸振原理表明： 为减少单自由度主体结构的振动，可适当地附加质量－弹簧子系统，只要合理设计就可以消除主体结构的振动。 该原理已被应用于工程的调频质量阻尼系统和调频液体阻尼系统等结构控制技术中。第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动null1 正则坐标（广义坐标） 此前讨论的是在几何坐标系下，讨论质点位移。问题是方程出现耦联，需联立求解方程，自由度较多时求解工作很繁重。 通过变换，可将几何坐标换成同样数目的其它坐标。希望在新坐标系下联立方程组将变成每个方程只含一个未知量的解耦方程组。线性变换保证单值关系（线性无关）第七节 多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动null取几何意义表明体系中每个质点的位移由两个固有振型线性叠加而成，故称振型叠加法；又可理解为任意位移可按振型分解，故又称振型分解法。v1,v2，… ,vn 称正则坐标。则第七节 多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动null 正则方程的推导 每个方程只含一个正则坐标，相当于单自由度体系运动方程。 第七节 多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动null  正则方程的解 第七节 多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动null1 形成[M]，[K](或[])；利用频率方程计算频率。2 由3 依次计算5 求几何坐标下的动位移6 求出几何坐标下的动位移后，可求其它动反应。2 振型叠加法计算动力反应的步骤 第七节 多自由度体系受迫振动2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动null例题：已知解(1)确定自振频率和主振型 null(2)建立座标变换关系 null(3)求广义质量 (4)求广义荷载 null(5)求广义座标null(6)求质点位移 注：在一般激振荷载作用下，任一时刻的位移主要由前几阶振型分量组成，高阶振型影响较小，在保持精度条件下，可忽略高阶振型的影响。null任意时刻的位移幅值是否为两个振型幅值的叠加？null(8)讨论  第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响小得多；  第一主振型分量和第二主振型分量并不同时达到最大值，因此在求位移或弯矩的最大值时，不能简单地把两个分量的最大值相加；  主振型叠加法可以将多自由度体系的动力反应问题变为一系列按主振型分量振动的单自由度体系的动力反应问题。高阶振型的影响相对很小，故只计算前2-3振型影响即可得到满意的结果。null无阻尼结构在动荷载作用下产生振动时，结构中的内力将由动荷载和惯性力共同作用产生。第七节 多自由度体系受迫振动3、无阻尼结构动内力计算null 当结构受简谐荷载作用产生无阻尼振动时，由振动产生的惯性力随时间的变化与外荷载同步。因此，在计算结构最大内力时可将由荷载幅值产生的内力与惯性力幅值产生的内力直接相加。 惯性力幅值可通过上式直接计算而不必先求位移再作计算。但是，对于任意荷载作用引起的振动，必须先计算位移向量，再计算惯性力。第七节 多自由度体系受迫振动3、无阻尼结构动内力计算null例题：求动弯矩 质点受力分析 nullnull例题：图示两层刚架，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度EI=6.0106N·m2 ，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1= m2=5000kg，每层的高度5m。求动弯矩。 nullnull设 通常阻尼矩阵对振型不正交，也即则式(a)将是联立的微分方程组，求解将是很困难的。(a)第七节 多自由度体系受迫振动4、有阻尼结构受迫振动null引入阻尼假设第j 阶振型的广义阻尼系数第j 阶振型的广义阻尼比第七节 多自由度体系受迫振动4、有阻尼结构受迫振动null第七节 多自由度体系受迫振动4、有阻尼结构受迫振动null 运动方程中引入了阻尼矩阵[C]，其元素cij的物理意义为：第j 个位移方向有单位速度(其他质量位移方向的速度为零)所引起的第i 个位移方向的阻尼力，称为阻尼影响系数(damplng influence coefficient)。然而，在处理实际问题时，要直接确定阻尼影响系数是十分困难的。 在振型叠加法对运动方程进行处理时，为了使方程解耦，假设体系的阻尼矩阵对振型满足正交性条件,并引入了广义阻尼系数。虽然如此，但如何确定阻尼影响系数仍是一个尚未解决的问题。第七节 多自由度体系受迫振动5、有关阻尼矩阵的补充说明null下面介绍[C]的一种构成方法:引入Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比， 与 可用振型正交性由阻尼比i，j 和频率i，j 确定。第七节 多自由度体系受迫振动5、有关阻尼矩阵的补充说明null 振型关于质量、刚度矩阵正交的进一步推广振型方程所以有因为 称为振型关于矩阵[K][M]-1[K]正交第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性null同理第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性null按此思路继续，可证明类似地:式中n是正整数。第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性