nullnull第七节 正弦定理和余弦定理基础梳理1. 设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是△ABC的外接圆半径.
（1）正弦定理
三角形的 各边和它所对角的正弦的比相等，即
(2)正弦定理的三种形式
①a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,c= 2Rsin C(边到角的转换);
② (角到边的转换);null2011届高考迎考复习更多资源请点击：http://www.gzjxw.cn高中教学网null③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.2. 三角形常用面积公式
(1) (h表示三角形长为a的边上的高）.
(2)
(3) (r为三角形的内切圆半径）.3. 余弦定理
三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 ,即
a2= b2+c2-2bccos A , b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C.null余弦定理也可以写成如下形式：4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况
在余弦定理表达式中,分别令A、B、C为90°,则上述关系式分别化为：a2=b2+c2 , b2=a2+c2 , c2=a2+b2.典例分析题型一正弦定理和余弦定理的应用
【例1】
在△ABC中，已知 ,B=45°，求A、C和c.null分析
已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.解
方法一:∵B=45°<90°,且b
反思
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对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，则对边进行分类讨论.null举一反三
1. 已知在△ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值.
解析: ∵a>c>b,∴角A为最大角.
由余弦定理,得 ,∴A=120°
∴sin A= ,再根据正弦定理，得
∴题型二 三角形的面积问题【例2】(2008·辽宁)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c，已知c=2,C= .若△ABC的面积等于3,求a,b.null分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程，然后解方程组得a,b.解 由余弦定理及已知条件得 -ab=4.
∵△ABC的面积等于3,
∴ absin C= ,∴ab=4.
联立方程组 -ab=4,
ab=4, 解得 a=2,
b=2.学后反思 在解决三角形问题中，面积公式S= absin C= bcsin A= acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.null举一反三2. (2010·江阳模拟）在△ABC中，a=4,A=30°,b= ,则S△ABC= .解析： 根据 -2bccos A得c=4或c=8.
∵S= bcsin A,∴S△ABC=8 或4 .
答案
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： 8 或4 题型三 判断三角形的形状【例3】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos A·sin B=sin C,试确定△ABC的形状.分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.null解 ∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
∴ =ab,
∴cos C= ,
∵0＜C＜π,
∴C= .
又∵A+B+C=π,
∴A+B= .
∵2cos Asin B=sin C,
∴2cos Asin B=sin(π-A-B),
∴2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin(A-B)=0,
∴A=B= ,
∴A=B=C= .
∴三角形ABC为等边三角形.学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.
（2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C .null举一反三
3. 在△ABC中，a2tan B=b2tan A,则三角形的形状是____.
解析：
由正弦定理,得sin2Atan B=sin2Btan A,即sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.∵A,B∈(0,π),∴A=B或A+B=90°.
答案： 等腰三角形或直角三角形题型四 正、余弦定理的综合应用
例4. (14分)
(2008·哈尔滨模拟）△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.
(1)求角A的大小；
(2)若a=3,求bc的最大值；
(3)求 的值.null分析
（1）由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A,进而求出A的值.
（2）由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值.
(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.解
(1)∵
∴A=120°…………………………………………………………………2′
(2)由a= ,得b2+c2=3-bc,………………………………………………..3′
∵b2+c2≥2bc(当且仅当c=b时取等号）,
∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号），………………………………4′
即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1…………………………………6′null（3）由正弦定理，得 ,…………………7′学后反思
(1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，π）上的单调性求角.
(2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视.………… 11′
………… 14′ null举一反三4.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求A和tan B的值.解析：由已知条件，应用余弦定理得cos A=
,故A=60°.
在△ABC中，C=180°-A-B=120°-B.
由已知条件，应用正弦定理得
,解得cot B=2,从而tan B= .易错警示【例】(2009·济南高三统考改编)在锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B,则 的取值范围是 .null错解 由正弦定理易得 =2cos B,由于三角形为锐角三角形，故0°＜C=2B＜90°,得B∈(0°,45°).
故 =2cos B∈(2,2).错解分析 思维不严密导致错误.显然0°＜C=2B＜90°是三角形为锐角三角形的必要不充分条件,还应有B+C＞90°.正解 =2cos B.由锐角三角形ABC，C=2B两个条件可得 ＜B＜ , ＜cos B＜ ,2 ＜2cos B＜ .
即ABAC的取值范围是( , ).考点演练10. 在△ABC中，sin A+cos A= ,AC=2,AB=3,求△ABC的面积.null解析: ∵sin A+cos A= cos(A-45°)= ,
∴cos(A-45°)= .
又∵0°
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