null第二节 独立性、二项分布及其应用第二节 独立性、二项分布及其应用基础梳理1. 条件概率及其性质
（1）条件概率的定义
一般地，若有两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下事件A的 ，记为 .
（2）条件概率的求法
一般地，若P(B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)= .还可以借助古典概型概率公式，即P（A|B）= .条件概率P(A|B)null0≤P(B|A)≤1P(B|A)+P(C|A)P(A)P(B)P(A)P(B)nullp>0伯努利试验AAnull有 种，所以由概率的加法公式可知，n次试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的
概率为 ,
它恰好是 的二项展开式中的第(k+1)项.
若随机变量X的分布列为P(X=k)= ,其中0
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型一 条件概率
【例1】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出1球，问从2号箱取出红球的概率是多少？null分析 从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球，二是当从1号箱取出白球.null学后反思 解此类概率题型时，首先要区分所求概率是不是条件概率，即第一次试验结果是否对第二次试验结果有影响，若有影响，则属于条件概率.然后利用条件概率公式P(B|A)= 求出这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性，得到最终结果.举一反三
1. 有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率.null分析 三人独立破译密码，每人破译是否成功不相互影响，故应利用独立事件求概率的方法求解.null学后反思 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：
（1）用恰当字母表示题中有关事件；
（2）根据题设条件，分析事件间的关系；
（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；
（4）利用乘法公式计算概率.null举一反三
2. 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5,移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.
(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.null题型三 独立重复试验
【例3】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）求至少几人同时上网的概率小于0.3?null分析 由于每个员工上网的概率都是0.5，且相互独立,故6个员工上网即进行6次独立重复试验.nullnull解析： 甲三胜一负即共进行四局比赛，前三局甲二胜一负，第四局甲胜，所求概率为
分析 (1)可看做6次独立重复试验;
（2）X的取值为0,1,2,3,4,5,6;
(3)可通过求对立事件的概率解决.null解 （1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13,且每次试验结果是相互独立的,
故X～B(6 , ),………………………………………………3′
以此为基础求X的分布列.
由X～B(6, ),P（X=k）= ，………………4′
k=0,1,2,3,4,5,6.
所以X的分布列为
………………………………………………………….10′null(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为{X≥1}={X=1或X=2或…或X=6},…………………………………………..12′
所以其概率为
P(X≥1)= P(X=k)
=1-P(X=0)= ………………………14′null条件概率：P（B|A）= ,
独立事件：P（AB）=P(A)·P(B),
n次独立重复试验：
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
①是否为n次独立重复试验;
②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.null（1）求巴西队小组赛结束后得5分的概率；
（2）求小组赛后巴西队得分的分布列及巴西队小组赛出线的概率.nullP（ξ=5）= ; P（ξ=6）= ;
P（ξ=7）= ; P（ξ=9）= .
所以ξ的分布列为
记“巴西队小组赛出线”为事件B.
P(B)=P(ξ≥4)=
故巴西队小组赛出线的概率为 .null易错警示【例】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率.错解 ξ的取值分别为1,2,3,4,
ξ=1,表示李明第一次参加驾照考试就通过,P(ξ=1)=0.6;
ξ=2，表示李明第一次考试未通过，第二次考试通过，
P（ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28;nullξ=3表示李明第一、二次考试未通过,第三次考试通过,
P(ξ=3)=（1-0.6）(1-0.7)×0.8=0.096;
ξ=4表示李明前三次考试未通过，第四次考试通过,
P(ξ=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)×0.9=0.021 6.
故李明实际参加考试次数ξ的分布列为
李明在一年内领到驾照的概率为
P=1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6.错解分析 不会计算ξ=4时的概率，错算为P（ξ=4）=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)×0.9=0.021 6，而使各事件的概率和不为1，而实际上ξ=4的概率计算方法有两种，其一是前三次都未通过就必须参加第4次，而不管第4次结果如何（通过与否），其二是用间接法1-［P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)］也可得出正确结论.null正解 ξ的取值分别为1,2,3,4.
ξ=1，表示李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ=1）=0.6;
ξ=2，表示李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P（ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28;
ξ=3，表示李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096;
ξ=4，表示李明第一、二、三次考试都未通过，故P（ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024.
故李明实际参加考试次数ξ的分布列为null李明在第一年内领到驾照的概率为
1-（1-0.6）(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6.考点演练10. (2009·天津模拟)有1道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是 ,乙能解决的概率为 ,2人试图独立地在半小时内解决它，求2人都未解决的概率和问题得到解决的概率.null11. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ,乙每次击中目标的概率为 .求：
（1）记甲击中目标的次数为X,求X的概率分布列；
（2）求乙至多击中目标2次的概率；
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.null12. 在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.null
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