带扰动项的梯度法与混合投影法的收敛性分析

第 � �卷第 �期 � !年 ∀月 数 学 学 报 中文 版 #∃ % ,# &# ∋ ( ) &# ∗ +∃ # ,%− %∃ # . ∃/012 3 2 ,2 ∗ 02 3 45 6. � � , − 5 . � &7∗ . , � ! 文章编号8 � 9 ∀ 一+: ∀ +;� !< � 一 ∀ = +一+ 文献标识码 8 # 带扰动项的梯度法与混合投影法的 收敛性分析 刘 茜 山东师范大学数学科学学院 济南 � � + : )> ? 7 068 6≅ 一≅ 3/ Α += ∀ . 2 5 ? 李梅霞 潍坊学院数学系 潍坊 � = + : + 王长钮 曲阜师范大学运筹与管理学院 曲阜 �Β ∀+ = � 摘 要 对无约束最优化问题提出了带扰动项的梯度法与混合投影法 . 我们在很一般的 条件下, 证明了由算法产生的迭代点列 ΧΔΕ Φ 满足 8 要么 Γ;纵 < Η 一Ι5 , 要么 Γ;Δ 、<收 敛于有限值且 4 Γ;Δ Η < Η . 当 Γ;Δ< 是伪凸函数时, 由带扰动项的混合投影算法产生 的迭代点列 ΧΔ Η Φ 将收敛于问题的一个最优解以及其他一些精细的收敛性质 . 关键词 梯度方法ϑ 混合投影方法 ϑ 扰动项ϑ 收敛性 &Κ ;� <主题分类 ! ∃ ∀ , = �Λ � 中图分类 � � + ·� ∃ 51Μ2 ∗ Ν 2 1Ι 2 # 1 76 Ο303 5 Γ Π2 ∗Θ Ρ∗ Σ 2Τ Υ ∗ 7 Τ0 2 1Θ &2Θ /5 Τ371 Τ %6 ΟΣ ∗0Τ Π ∗5ς 22 ΘΓ5 1 & 2Θ/ 5 Τ3 Ω 071 Ξ%Ψ Ζ 2[ 7代。2 。亡5Γ &7 Θ/ 2 5 7 Θ葱2 3 , ,/ 7 5 Τ 5仰 −5 , 7 6流葱。 2。葱亡夕, 五恤7 5 � � +: , Π . Κ . ∃/ 葱几7尽爪 7葱68 6≅> ≅3 / Α + = ∀ . 25饥 &2 0 ∴ 07 Ξ 6 Ζ 2Π7 代。2 。亡5ς & 7云/ 2 ? 7 Θ葱2 3 , ] 七0ς7 叨 ∃5 66印 2 , ] 2 0ς7 1 Ν � = + : + , Π. Κ . ∃/ 葱。7 ∃ /7 1 Ν ⊥让] # − Υ 介孟习Θ云Θ“亡2 5Γ 5 , 2、Θ云。、 Κ 2 , 2 7代/ , Ω6功‘− 。, 7 6 Ψ九葱。已。云Θ, , Ω6功名 � Β ∀ + = � , Π . Κ . ∃/ 坛1 7 # Σ 3Θ ∗ 7 2 Θ _⎯ ∗ Ρ 1 2 5 13 Θ∗70 1 2 Τ 5 ΠΘ0? 0α 7Θ 05 1 Π∗5 Σ 62? , β2 Π∗ 2321Θ Π2∗Θ Ρ ∗Σ 2 Τ Ν∗ 7Τ 02 1Θ? 2 Θ/5 Τ 3 7 1 Τ /Ο Σ ∗ 0Τ [ ∗ 5ς2 2 Θ05 1 ? 2Θ/5 Τ 3 . Ψ 1 Τ 2∗ Ν 2 1 2 ∗ 76 2 5 1 Τ 0Θ 05 13 , β2 3/5β Θ/7Θ20Θ/ 2 ∗ Γ;Δ 、< Η 一Ι5 5 ∗ Γ;Δ 、< 251Μ2 ∗罗� Θ5 7 Γ0 1 0Θ2 Μ7ς Ρ 2 71 Τ 4 Γ;Δ 、< Η . %Γ Γ;·<+� ≅ Ρ 73 0一Ι Ν1Μ2 Δ , Θ/2 [ 2∗ ΘΨ6 Σ2 Τ [ ∗ 5 ς2 Ι Θ05 1 ? 2Θ/5 Τ 3 Γ5 ∗ Ι 2 Θ /2 32职2 1 Ι 2 5 Γ 0Θ2 ∗7Θ 23 Θ5 735 6Ρ Θ05 1 5 Γ Θ/ 2 Π ∗ 5 Σ 62 ? 71 Τ 3 5 ? 2 2Δ Θ2 1 Τ 2Τ 2 5 1Μ2 ∗Ν2 1 22 ∗23 Ρ 6Θ3 2 7 1 Σ 2 5 Σ Θ70 1 2Τ . Λ 2 Οβ 5 ∗ Τ 3 Ν∗ 7 Τ 02 1Θ ? 2Θ/ 5 Τ ϑ 坷Σ ∗ 0Τ Π∗5 ς2 2Θ05 1 ?2 Θ/ 5 Τ ϑ Π2 ∗ ΘΡ∗ Σ 7 Θ05 1 8 2 51Μ2 ∗ Ν 21 22& Κ ;� < , Ρ Σ ς2 2 Θ ∃ 673 3 0Γ0 2 7Θ 05 1 ! ∃ ∀ , = �Λ � ∃ / 01 2 32 Ξ 0Σ ∗7∗ Ο ∃ 673 3 0Γ0 2 7Θ 05 1 � � + . � 收稿日期 8 � � 一。χ ∀ ϑ接受日期 8 � χ ! 一 += 基金项目8 国家自然科学基金资助项目 ;+ � Β + + = , + Β Β + � � 9 , + Β + : Β , + 9 � = ∀ + < ∀= � 数 学 学 报 中 文 版 �� 卷 + 引言 考虑无约束优化问题 8 ;Π< 而1 ΧΓ;Δ < 8 Δ 〔 Κ 介Φ, ;+ . +< 其中了8 尸 Η Κ 是连续可微函数 . 以 Μ Γ; ·<表示 了的梯度, 以 几. 表示间题 ;Π<的稳定点集, 即 。. δ Χ二 〔砂 ΦΜ Γ;Δ <δ Φ· 我们知道 , 求解问题 ;Π< 的方法有很多. 其中梯度型方法, 特别是最速下降法, 共扼梯度法 ;见文 ε6一∀】<等, 以其计算简单 , 存储量小以及初始点可以任意选取等特点, 使得它成为求解最优 化问题 ;Π<的主要的有效方法之一 混合投影方法 6:φ 也是求解问题 ;Π< 的一种有效算法 . 考虑 到在通常的假设条件下, 一般的梯度型算法不具有整体收敛性 . 混合投影算法借鉴了 ,5 Γ5 Τ 5Μ 与 ,Μ70 Θ2 8 方法 【�一 Β φ 的思想 . 在目标函数梯度一致连续的条件下 , 具有全局收敛性质. 当目标函数 是连续可微的伪凸函数时, 算法产生的迭代序列则具有整体收敛性质. 特别地 , 当 Γ; ·<是伪凸函 数时, 间题 ;Π<的最优解集非空的充分必要条件是算法产生的迭代点列 Χ跳Φ存在聚点. 以上方法的结果 , 是在没有扰动项的情况下得到的. 然而在实际应用过程中, 往往需要研究 带扰动项的最优化方法 . 例如在神经网络 【9 一’‘6 中利用带扰动项的最优化方法可以对增值梯度 方法和反向传播方法进行收敛性分析 . 在 + !Β∀ 年 Π5 6Ο7Ε 与 ∋卿Ε0 16 676 提出了伪梯度算法的思想. +!9Β 年 Π5Γ Ο7Ε 66 ∀】对间题 ;Π< 提出了带扰动项的最优化算法 , 即 Δ 。γ ϑ δ Δ Η γ 帐 ;3 Η γ 。Η <. ;+ . �< 在 帐 , 3 。和 公Η 满足以下条件8 ;0<、 η , Ε δ + , � , ⋯ , 并且 艺褚 ι Ι5 · ;+ . ∀< ;00< 奴 为下降方向并且 2 8 Φ,Μ Γ;Δ 。<,+� 三 一;Μ Γ;Δ Η <, 3、<, ΦΦ3 Η ΦΦ丛 Ι ϕ ΦΦ4 ς; 二、<Χ0, ;+ . :< ;+ . �< 其中 26 , 28 η 5 , 无δ 6 , � , . ⋯ ;+++<对 。。有 ΦΦ。Η Φ】丛帐;。γ [ ΦΦ4 Γ;Δ Η <ΦΦ<, ;+ . =< 其中 [ , ≅ η . 在 了;劝满足 Ξ0 [启Ι /0Θ8 条件以及 Γ;劝有下界时得到 Χ了;Δ 。<Φ 收敛并且 恤萝“Μ了;Δ Η <66 一 。. 近年来 , 带扰动项的最优化算法被应用到神经网络中研究增值梯度方法 ++ : 一‘9+ 和反向传播方法 ;见文 【+于叫<的收敛性 . 其中, 文 【6 φ 在类似于条件 ;+ . ∀<一;+ . = < 以及 了;Δ< 有下界和 εΦΜ Γ;Δ<% Φ 在 Κ 1 上有界的条件下利用带扰动项的最优化方法 ;+ . �<, 得到了 次蕊8Μ Γ;Δ “<κ一 “· ;‘·Β< 然后应用此结果解决了反向传播方法的收敛性 . 文 ε� 」在 了;幻满足 Ξ% Π3 Τ盯Θα 条件, ΦεΜ了;习ΦΦ在 ∗ 上有界以及对步长的一些要求下得到了 ;+ . Β<. 在文 +�� +中, λ 2 ∗Θ 32 / 坦 和 ∋ 30Θ 30Ε6 03 在条件 ;6 . 7< 一;+ . =<和 Γ; 司满足 Ξ% Π3 比0Θ 8 条件下证明了或者 Η6Ξ?Ι5 Γ;Δ “<一Ι5 �期 刘 茜等8 带扰动项的梯度法与混合投影法的收敛性分析 或者 Η6Ξ?55 ++Μ Γ;Δ “<Χ卜 他们的收敛性证明中的一个很重要的特征就是不需要 Γ; Δ< 有下界, Χ4 Γ; Δ< Φ 有界或者 ΧΔ Η Φ 有 界等任何有界性条件. 受上述文献启发 , 本文在梯度算法和混合投影算法的基础上 , 分别给出了带扰动项的梯度算 法和带扰动项的混合投影算法 . 这两种算法均是对搜索方向进行的扰动, 步长用 # ∗? 0ς5 线性搜 索确定. 我们在很一般的假设条件下证明了算法产生的迭代点列 +8 ϑ Φ满足8 要么 Γ;Δ 、< Η 一Ι5 , 要么 Γ;Δ 、<收敛到有限值且 ΜΓ;Δ Η <、 . 且此时 ΧΔ 、Φ将收敛于问题 ;Π<的一个最优解 . 值得提 出本文收敛性分析中的一个重要特点是8 我们不需要假设 Μ Γ; ·<具有 Ξ% Π3 Ι/ 0Θα 连续性或 ( = 6Τ 2∗ 连续性, 也不需要对问题 ;Π< 或算法产生的迭代序列附加任何有界性条件. 这些特点使得我们的 算法有可能应用于实际中出现的更为复杂的最优化模型 . 本文第 � 节中给出了带扰动项的梯度算法 , 并给出了算法的收敛性分析. 第 ∀ 节给出了带扰 动项的混合投影算法 , 同样证明了算法的收敛性定理 . 进一步 , 我们在目标函数伪凸的条件下 , 还 证明了该算法具有整体收敛性质. � 带扰动项的梯度算法 这一部分将主要介绍带扰动项的梯度算法 . 该算法的一般迭代 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 为 Δ Η γ + δ Δ Η γ 入Η ;3Η γ β ϑ <, 这里 , 主方向 , 、和扰动项 叨、分别满足下述条件8 ;# %< Φε3 、++三 2 8 ++4 Γ;Δ Η <++8 ;# ϕ < ;Μ Γ;Δ Η <, 3 、<兰一勿 ++Μ Γ;Δ Η <++� ϑ ;# ∀ < ++二Η ΦΦ丛守、;。γ [ ΦΦΜ Γ;Δ Η <++<, 其中 帐 η 且满足 ) 廷8 健 ι γ Ι5 , 这里 , Ι 8 , Ι ϕ , ≅ , [ η 均为常数. 在本文中, 如无特别声明 , 我们假设 ;# 6<一;# ∀ <成立 . 当扰动项 。Ε δ 时, 该算法即为满足 ;# 6<一;# ϕ <的下降算法 , 它包含了最为常见的最速下降法 , 超记忆梯 度方法等. 并且通过该算法我们可以从理论上说明 , 当满足 ;# 6<, ;# ϕ <的下降算法的搜索方向出 现适当的扰动时 , 它的收敛性质仍然成立 . 而该算法在收敛性质方面 , 不同于以往文献中的带扰 动项的算法 . 它不需要假设 4 Γ; ·<具有 Ξ% Π3 Ι/ 0Θα 连续性或 ( = +Τ 2∗ 连续性 , 也不需要对问题 ;Π< 或算法产生的迭代序列附加任何有界性条件 . 我们下面给出该算法的具体描述 8 算法 � . + 设 − δ Χ+ , � , ⋯ Φ, % δ ΧΕ 任 − %;Μ Γ;Δ Η <, 3、 γ 。ϑ < 全 Φ, κ δ − μ+ . 取参数 拼 , 甲 〔 ; , +<, Δ 8 Ι Κ 几 , 令 无 8δ + . 步 + 若 , Γ; Δ 、<二 , 则停止 , Δ ϑ 即为稳定点 . 否则 , 转步 � . 步 � 令 ΔΕ 十 + δ Δ 、 γ 入、;3 Η γ 。、<, 其中步长 从 由 # ∗? 0ς5 线搜索确定 8 入ϑ δ , ? “ , 。 ϑ 是 满足下面式子的最小非负整数 8 Γ;Δ 、 γ 入、;, ϑ γ 。、<<一 Γ;Δ 、< 8 Χ众澎黔品急 ;4 Γ;Δ Η <, 二Η <φ,十叨 Ε<γ ;’ ;� . +< 步 ∀ 注 + 令 Ε 8δ Ε 十 + , 返回步 + . 算法 � . + 中 , 满足 ;� . +< 式的步长一定存在 . 否则 , 下述情况至少存在其一 数 学 学 报 中 文 版 ��卷 ;0< 存在 − 的无穷子集 &6 , 使得对某 Ε 〔 κ, Γ;Δ Η γ Β Γ1 ;3 、 γ 二。<<Γ;二。< η 守? 科;4 Γ;Δ 、<, 3 Η γ 。Η <, 4 ? 〔&+ ϑ ;00< 存在 − 的无穷子集肠 , 使得对某 Ε 〔乙 Γ;Δ 。 γ , ? ;3Η γ β Η <<Γ;Δ Η <η , ? 6户;4 Γ;Δ Η <, 3。<γ ;4 Γ;Δ Η <, β Η <φ, 4 二 〔&� . 若出现情况 ;0< , 当。 、 Ι5 时, 可推出 ;Μ了;Δ 。<, 3 。 γ β Η < 全 , 这与 Ε 任 κ 矛盾ϑ 若出现情 况 ;++<, 当。 Η Ι5 时 , ;4 Γ;8 、<, 3、<全 , 这与假设 ;# ϕ <矛盾. 下面给出算法 � . + 的收敛性定理的证明. 引理 � . + 假设 3、, β Η 与 帐 分别满足条件 ;# ϕ<, ;# ∀ <, 则当 Ε 任 % 充分大时 , 有 ΦΦ4 ς; 8 Η川三。飞 , 其中 , η 为一常数. 证明 因 Ε 任 % , 故有 一;4 Γ;二、<, 3 Η <三 ;4 Γ;劣Η <, β 、<, 4 Ε 〔 + . ;� . �< 因此据 ;# ϕ <, ;# ∀ <与 ;� . �<可得 2ϕ%6Μ Γ;二Η <++“丛 一;Μ Γ;Δ 。<, , 。<三 ;Μ Γ;Δ 、<, 叨Η <三 %6Μ Γ;二。<++%6β Η ++ 三帐 ΦΦ甲Γ;二 Η <ΦΦ;口γ [ ΦΦ4 Γ;二、<.+<. ;� . ∀< 由;� . ∀ <即得 ;勿 一 飞[川Μ Γ;Δ 、<Φε三飞叮· ;� . :< 由 ;# :<, 飞 Η 5 ;Ε Η Ι5 <, 故存在 7 η , 当 Ε 任 % 充分大时 , 由 ;�. :<即得 ΦΦ4 Γ;Δ 、<ΦΦ兰 7 守、. 引理 �. � 设 Χα 。Φ是由算法 � . + 产生的无穷迭代点列 , 则存在 。 8 η , 使得当 Ε 充分大时序 列 Χς;、<γ 。几Φ单调下降, 其中及 δ )吴Η 亏· 从而序列 仃;二 <Φ 存在极限 ;有限值或 一Ι5 < 证明 当 Ε 〔 % 充分大时 , 由 ;� . +< , ;# ϕ <, ;# ∀ <与引理 � . + 即得 Γ;Δ 、γ +<一 Γ;Δ Η <兰 ν Η ο拼;4 Γ;Δ Η <, 3 、<γ ;4 Γ;二 ϑ <, β 、<φ 三帐 %ΧΧΜ Γ;Δ Η <】】;口γ [ Φ%Μ Γ;Δ 、<++<φ 三 , 褚;。γ 脚、<三 。 8健, 其中 7 8 η 为常数· 令 及 δ 艺翼Η亏, 因此 , 当 Ε 任 % 充分大时从上式即得 Γ;Δ ϑ γ 0<γ 7 0几γ 6 三 Γ;Δ 、<γ , 0∋Ε . ;� . �< 当 无任 κ 时 , 由 ;� . +< 知 ;�. �<式显然成立 . 从而得出序列 仃;热 <十 7+ 爪Φ单调下降. 又据 ;# ∀ < 知 几 Η ;Ε Η 55 <, 故知 仃;二Η <Φ 有极限 ;有限值或 一Ι5 <. 定理 � . + 设 6Δ Η +是由算法 � . + 产生的无穷迭代序列 , Λ Ν − 是一个无穷指标子集 , 存在 开凸集 Ζ 二 +二Η Φ枕Λ , 使得 Μ Γ;Δ< 在 Ζ 上一致连续 , 则有 60 ? Ε 一Ι5 Γ;Δ Η < δ 一Ι5 或者存在子列 Λ Ν Λ , 使得 60? 无〔兀 ,Ε Η Ι5 4 Γ;二、< δ 5 ;� . =< 证明 设 / ? Η Η 55 了;Δ Η <并一Ι5 , 则由引理 � . � 知 +Γ; Δ Η <Φ将收敛于一个有限值 ΓΗ , 即 注岌了;Δ 动 δ ςΗ. ;α. Β< �期 刘 茜等8 带扰动项的梯度法与混合投影法的收敛性分析 下面证明 ;� . = <. 分两种情况 . 情况 + 当 % 门 Λ 为一无穷指标集时, 据引理 � . + 立即得出 脚概π ⎯⎯叫 Δ 、<一 。. 情况 � 当 κ 1 Λ 为一无穷指标集时, 用反证法 , 设存在无穷子集 Λ⎯ Ν κ 门 Λ 及 8 。 η , 使得 ΦεΜ Γ;Δ Η <ΦΦ全 8 。, 4 Ε 〔Λ⎯ . ;� . 9< 利用 ;# ϕ<, ;# ∀ <及 ;� . 9<, 当 Ε 任Λ 时 , 有 一;Μ Γ;Δ ϑ <, , ϑ γ 。Η η全 2 � .εΜ Γ;Δ 、<++“ 一 ++甲Γ;Δ 、川、 ;。γ [ 66Μ Γ;Δ Η <Φ6< δ ;2 8 一 、[ <++Μ Γ;Δ Η <++� 一 帐≅ ΦεΜ Γ;二、<εΦ 全【;2 ϕ 一 飞[ <8 。一 帐 Νφ++4 Γ;Δ Η <++· ;� . !< 利用 ;# 6<, ;# ∀ <及 ;� . 9<, 当 Ε 〔Λ 时 , 有 ++� 、 γ β Η ++三 2川甲Γ;Δ 、<++γ 帐 ;≅ γ [ 664 Γ;Δ 、<++< 三 ;Ι 8 γ 帐[ γ 飞叮θ 8 。<Φ.4 Γ;Δ Ε <++ ;� . + < 由 ;� . +<, ;� . !<得 Γ;Δ Η <一 Γ;Δ Η γ + <七一拼入Η ;4 Γ;Δ 、<, 3 Η γ β 、< 全户ν、++Μ Γ;Δ 、<++ο;2ϕ 一 帐[ <。。一 帐≅ φ. ;� . + +< 令 Ε 任 Λ , Ε Η Ι5 , 于 ;� . 1 <两端取极限 , 据 ;�. Β<, ;�. �< 可得 耗κ 0华Ι5 入Η66 β ;ΔΗ <66 一 “ 、。去牛Ι5 入“ 一 “· ;α. 6α< 据 ;� . +� <与 # ∗ ? 0ς。 搜索规则可知 , 当 叻Η 二 入、θ守, 有 Γ;Δ ϑ <一 Γ;Δ 、 γ 劝、;3 Η γ β 、<< ι 一户叻、;4 Γ;Δ 、<, 3、 γ β 、<, 即得 ;Μ Γ;Δ Η γ 9 Η叻Η ;3 Η γ β Η <<, 3 、 γ β 、< η 拼;4 Γ;α ϑ <, 3 ϑ γ β Η <, ;=、 任 ; , +<<, ;4 Γ;Δ ϑ γ 、叻ϑ ;3 、 γ 。Η <<一 4 Γ;二 ϑ <, 3 、 γ 、Η < η 一;+ 一 科<;4 Γ;Δ Η <, 3 ϑ γ 。Η <, 因此由上式 , ;� . !<与 ;� . + < 得出 曰∗‘、+.、,%. κ‘、 + 一 拼三 ;甲Γ;Δ 、 γ 9、叻、;3 、 γ β 、<<一 4 Γ 、< , 3 、 γ β 、< 一 ;4 Γ;Δ 、<, 3 Η γ 二、 +%4 Γ;Δ 、 γ 9、劝Η ;3、 γ β Η <<一 4 Γ 二 Η <.+++� 、 γ β ϑ ++ 一;Μ Γ;Δ ϑ <, 3 、 γ β 、< +%4 Γ;Δ 、 γ 9ϑ 叻ϑ ;3、 γ β 、<<一 4 Γ;二、<++;2 8 γ 守、[ γ 守、叮θ 8 。< 由 ;� . + <与 ;� . + �<可知 , 当 Ε 〔 Λ , 叻Η ++� 、 γ 二、++兰 ;2 ϕ 一 飞[ <8 。一 帐 Ν Ε Η Ι5 时 , 有 ;� . +∀ < 工Η 、+%Μ , ;α 、<++;2 , γ 帐[ γ 帐。θ 8 。<升 。 Β 因此 据 Μ Γ;Δ< 在 Ζ 上的一致连续性 , 令 Ε 任 Λ , Ε Η Ι5 于 ;� . +∀<式两端取极限 , 即得出 拼 全 6 的矛盾 , 故 ;�. =<得证 . 数 学 学 报 中文 版 � �卷 由定理 � . + 立即可推出算法 � . + 具有聚点收敛性. 推论 �. + 设 ΧΔ Η Φ 是由算法 � . + 产生的无穷迭代点列 , 若 ΔΗ 是 +二、Φ 的一个聚点, 则有 4 6; 扩 <二 , 即 扩 〔 ⎯ 气 ∀ 带扰动项的混合投影算法 混合投影算法是我们在文 %’φ 中提出来的, 其主要特点是 8 当目标函数是伪凸函数时, 它可以 保证迭代点列 6Δ 。Φ具有整体收敛性质. 它的基本思路是 8 通过算法中的一个近似迭代点, 构造出 一个超平面 , 将当前迭代点 α Η 与最优解分离在超平面两侧. 进而将近似迭代点在超平面上的投 影作为算法的真正的迭代点. 从而当 Γ; ·<伪凸时, 可以证明迭代点 α Η 一定收敛于问题的最优解 . 这一部分将在混合投影算法的基础上 , 考虑它的推广算法 8 带扰动项的混合投影算法 . 算法 ∀ . + 设 − δ Χ+ , � , ⋯ Φ, % δ ΧΕ 〔 − %;4 Γ;Δ 。<, 3 。 γ 公、< 全 5Φ, κ δ − μ+ . 取参数 内 , 拼+ , 拼� , , 〔 ; , +<, Δ 6 〔 Κ 介 令 Ε 8δ + . 步 + 若 Μ Γ;介<δ , 则停止 , Δ Η 即为稳定点. 否则 , 转步 �. 步 � 若 Ε 任 % , 则令 Δ 、γ 8 二 Δ 、 γ 、 ;3 Η γ 叨。<, Ε 8 δ Ε γ 6 , 返回步 一 若 Ε 2 κ , 则转步 ∀. 步 ∀ 取 入。 δ Β ? “ , 。、是满足下面两式的最小非负整数8 ;Μ Γ;Δ Η γ 入、;3 ϑ γ β 。<<, 3 。 γ β Η <三拼。;Μ Γ;Δ Η <, 3 Η γ β ϑ <, ;∀ . +< ;Μ Γ;Δ Η γ 入Η ;3Η γ β 。<<, Μ Γ;Δ 、<<全拼+ 66Μ Γ;Δ 、 γ Δ Η ;3 Η γ β ϑ <<Χ%“. ;∀ . �< 步 : 设 、 一 Δ 、 γ 入、;3 Η γ β Η <, 。、 一 Μ , ;, 。<, 几一马瓮秽吐。Η , 介 γ ‘二 ’“ γ 叽ΠΗ, 奸 二尹‘ , 叽 是满足下面式子的最小非负整数8 Γ;Δ 。 γ 7 Η凡<一 Γ;Δ ϑ <三 7 Η拼� ;4 Γ;Δ Ε <, 八 <. ;∀ . ∀< 令 Ε 8δ Ε γ + , 返回步 Ξ 注 � 当 。Η δ 时, 算法 ∀ . + 即为文 ε: , 算法 � . +φ . 算法 ∀ . + 的可行性证明可以参见文 ο’φ 的注解 . 在目标函数梯度一致连续的条件下 , 我们可以证明该算法具有聚点收敛性质. 特别地 , 当目 标函数满足伪凸条件时 , 该算法将具有整体收敛性 . 在我们给出算法 ∀ . + 的收敛性定理之前, 需 要首先给出一个引理 . 引理 ∀ . + 设 +二 ϑ Φ 是由算法 ∀ . + 产生的无穷迭代点列 , 又设存在开凸集 Ζ 二 Χ二、Φ, 使得 4 ς; Δ< 在 Ζ 上一致连续, 则存在 。 8 η , 使得序列 Χς; Δ Η <γ 处几 Φ单调下降, 从而序列 Χ了;Δ 、<Φ 存在极限 ;有限值或 一 Ι5 <. 证明 当 Ε 〔 % 充分大时 , 由 ;# 6 <, ;# ∀ <与引理 � . + , 即得 ++�。 γ β 、++三 2 6 ++甲Γ;α Η <++γ 飞;口γ [ 664 Γ;Δ Η <++<三飞 ;2 0。 γ Ν γ 那飞 <. ;∀ . :< 故知 60? Ε ∃ % ,无Η 55 3 、 γ 。Η ++δ ;∀ . � < �期 刘 茜等8 带扰动项的梯度法与混合投影法的收敛性分析 由 ;∀ . : <得 Γ;Δ Η γ 6<一 Γ;Δ Η <δ 、;;4 Γ;Δ Η γ 9 Η、;3 Η γ 二 Η <<一 4 Γ;Δ 、<, 。、 γ 二、ηγ ;4 Γ;Δ Η <, 3Η γ 。、<< 三、 ΦΦ3 Η γ β Η Φ+;ΦΦΜ Γ;Δ ϑ γ Η 守、;3 、 γ 叨、<<一 Μ Γ;Δ 、<εΦγ +%4 Γ;二、<++< 三守是;2 6。 γ 。γ [ 。守、<;ΦΓΜ Γ;Δ 、 γ 、守、;3 、 γ β Η <<一 Μ Γ;Δ 、<++γ 。帐<, 其中 Η 〔 ; , +< . 由 ;∀. �<, 4 Γ;Δ< 在 Ζ 上的一致连续性以及上式可知存在 7 8 η , 当 Ε 〔 % 充分 大时, Γ;Δ Η γ 6 <一 Γ;二、<三 7 ϕ健. 从而 Γ;Δ Η γ 0<γ 处及 γ 6 三 Γ;Δ Η < γ 处几 . ;∀ . =< 当 Ε 任 κ 时, 由 ;∀ . +< 知 ;∀. =< 显然成立 . 从而得出序列 ΧΓ;纵<γ 处几Φ单调下降. 再据 ;# ∀ <, 几 升 ;Ε ” Ι5 <, 故知 ΧΓ;ΔΕ <Φ有极限 ;有限值或 一 Ι5 <. 定理 ∀ . + 设 ΧΔ 、Φ 是由算法 ∀ . + 产生的无穷迭代点列 , 又设存在开凸集 Ζ 卫 ΧΔ 、Φ, 使得 4 ς; Δ< 在 Ζ 上一致连续 , 则有 / ? 、Η Γ; Δ 、<δ 一Ι5 或者 Χς; Δ 、<Φ 收敛于有限值且 Η6Ξ?55 β ;二Η <一 。.证明 根据引理 ∀ . + 可知, 若 60? ΕΗ Ι5 Γ;Δ 。<芳一Ι5 , 则 ΧΓ;Δ Η <Φ将收敛于一个有限值 ΓΗ , 即 之愁 Γ; ΔΕ <一 ΓΗ. ;3. Β< 现在证明 /? 、、 4 Γ; Δ Η < δ . 若不然 , 则 日。。 η 与无穷指标子集 Λ Ν − , 使得对 4 Ε 〔 Λ , 有 +%4 Γ;Δ Η <++全。。. ;∀ . 9< 由引理 � . + 知 , % 门 Λ 必为有限集. 因此不妨假设 Λ ! κ . 据 ;∀ . +<一;χ∀ <以及 ;∀ .�< , 得 Γ;Δ Η <一 Γ;Δ 、γ 6 <全 一拼ϕ 7 、;甲Γ;Δ ϑ <, ΠΕ < ;。、, Δ Η 一 纵< , π , ,δ 拜� 口Ε ρβ2 23 气产23 片两22 ρ 22 气Ψ无, 4 κ 几劣儿<< 乙 拼+拼�口叭Ψ 介, 劣无一 穿无<εεΜ Ε εΦ‘ δ 一拼, 拼ϕ 7 、入、;4 Γ;, 、<, 3 、 γ β 、<全 一拼。拼6科ϕ7 Η 入Η ;甲Γ;Δ 、<, 3 、 γ β 、η 全料。拼+拼ϕ 7 , 入、ο2 ϕ66Μ Γ;二。<++� 一 66Μ Γ;Δ 、<++++。Η 6Χφ 全拼。拼+拜ϕ 7 、入、ο2 ϕ%6Μ Γ;二、<++� 一 帐%6Μ Γ;Δ Η <++;、γ [ 66Μ Γ;α 、<++<φ 全拼。拼+拼� ;2 ϕ 一 、[ 一 帐。θ。。<。、人Η ++甲Γ;Δ Η <.Φ� . ;∀ . !< 由 ;∀ . !<最后一个不等式可知 , 当 Ε 〔 Λ 充分大时, 有 ς; Δ 、<一 Γ;、 γ 6 <全珊。料+趣嵘均Φ甲Γ; Δ Η <Φ%“. 令 Ε 任 Λ , Ε 、 Ι5 于上式两端取极限 , 据 ;∀. Β<可得 Η。之戮Ι5 7 “入Ε %6Μ Γ;‘“<Φ%一 · ;∀ ·‘ < 由 ;∀ . 9<即得 、续戮Ι5 “八 一 “· ;3.6 6< 由 ;∀ . ++< 与 # ∗? 0ς。 搜索规则可知 , 当 “ 〔 Λ 充分大时 , 叭 一 夸与 呱 一 臀将使得不等式 ;∀ . +< 一;∀ . ∀ <的反方不等式中至少有一个成立 , 即下述三个不等式中至少有一个成立 ;4 Γ;二Η γ 叻、;3 Η γ 。Η <<, 3 、 γ 。、< η 拼。;甲Γ;Δ Η <, 3 ϑ γ 。、<, ;甲Γ;Δ ϑ γ 劝Η ;3 、 γ 。、<<, , Γ;二Η << ι 拌8 ++, Γ;Δ 、 γ 劝、;3 Η γ 。 ϑ <<++� , Γ;Δ 、 γ 叻二凡 <一 Γ;Δ ϑ < η 拼�劝孟;4 Γ;Δ 、<, 凡<. 数 学 学 报 中 文 版 � �卷 但是无论上述三个不等式中哪一个成立 , 我们都可以利用 ;∀. �< , ;∀ . + < 与 ;∀ . 1 <, 仿照定理 � . +的 后半部分的类似证明推出相应的 户、全 + ;￡δ , 6 , σ <的矛盾. 从而得出 60 ? Η , 55 甲了;8 Η <δ . 由定理 ∀ . + 立即可推出算法 ∀ . + 具有聚点收敛性 . 推论 ∀ . + 在定理 ∀ . + 的假设条件下 , 由算法 ∀ . + 产生的无穷点列 6Δ Η +的任一聚点 ΔΗ 〔 ⎯ Η . 下面将考虑当目标函数是伪凸函数时, 算法 ∀ . + 的收敛性质. 首先, 我们给出伪凸函数的定义 和一些重要的引理 . 定义 设可微函数 了定义在开凸集 ∃ 上 , 若任意 Δ , , 〔 ∃ , 了;Δ< ι Γ;功 意味着 ;Δ 一 功∋ Μ ς; 功 η , 则称了是 ∃ 上的伪凸函数 . 下面的引理推广了文 ε� , 引理 ∀ . +φ . 引理 ∀ ·� 设 Δ , Δ · , , , 。 。 Κ 1 , 7 。 ; , ‘φ, ￡一 Δ 一 7 ‘粉之。 · 若 ;。 , Δ 一 。Φ η , 则有 分一 Δ ‘ ΦΦ� 三】ΧΔ 一 Δ , θ 二 ρ 二、� 八 . ρ . , 、 一+ � π � μΨ , 山 一 日6 。 π μ“ , 山 一 Ο 6 α π . π π Η 、ΦΦ 一 Θ之 > > > 气于气二下丁> > > 一 ‘ Θ里> > 气气一气忿护 ,一 、Ψ . Ψ 一 沂 <口二 ,6 甘苗 】+. ,6 , ‘ 、 护 ,ε+Ψ 66 ε%Ψ %ε 证明 由 7 2 ; , 6φ 与 ;Μ , Δ 一 功 η 可推得 %%χ 一 ΔΗ “� δ 6%Δ 一 ΔΗ ++� γ ”亩一 Δ66 ϕ γ �;分一 Δ , Δ 一 ΔΗ < 二 Φ】Δ 一 ΔΗ ΦΦ“ 一 ++� 一 Δ66 ϕ γ �;玄一 Δ , 宝一 ΔΗ < 67 . ρ 二、� +. . ρ . 、一 +6Δ 一 二’ ++� 一 7 ϕ兴彩二 一 ϕ7 竺 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 扁卫乙ε;。 , ‘一 ϑ <γ ;。 , 。一 Δ ’ <φΦε ‘ εε ++Ψ ++ Δ 一 ΔΗ6 Φ� 一 护糯群 一 护垫帚竺 。 ;。 , Δ 一 , <一 ‘口一> , 厅> , 厅8 尸> >++ . ,6 6沁ε%Ψ εε ε;6 一 7 <;。 , 二 一 , <γ ;Μ , , 一 Δ Η <」 引ΦΔ 一 ΔΗ% Φ“ 。 ;Μ , Δ 一 , < , Η 、一 ‘口 > > > 代> > 片二尸> > 气Ψ . Ψ 一 ∴ < 。++, , ++名 毛 Γ 梦++Ψ ++ 引理 ∀ .∀ 设 ΧΔ Η +是由算法 ∀ . + 产生的无穷点列 , 则当 Ε 〔 % 充分大时 , 存在 心 η , 使得 对 4 Δ 〔 Κ ” , 有 ΦΦΔ Η γ 8 一 Δ Φε γ 心几γ 8 三 ΦΦΔ Η 一 Δ ΦΦγ 。∀几 . 证明 设 Δ 〔砂 , 当 Ε 任 % 时 , 注意到算法中的步 � , 利用 ;3. :<式即得 ++二。γ + 一 Δ +.三 %6Δ 。一 二%Φγ 飞 ++� Η γ 。、++兰 %6Δ Η 一 Δ 66γ 褚;2 0。 γ 脚、 γ 。<. 从而当 Ε 〔 % 充分大时, 由上式即知 , 存在 。 8 η , 使得 ΦΦ纵十 + 一 Δ%% γ 7∀ 及十6 三 ΦΦΔ Η 一 Δ66 γ 内几 . 下面 , 我们设 几二 ΧΔ 任砂 Φ;。、, 梦、一 Δ< 全。, 4 Ε 〔乃 . 引理 ∀ .: 设 Χ纵+ 是由算法 ∀ . + 产生的无穷迭代点列 , 若 几 笋 ⎯, 则对 4 云 〔 几, 序列 +ΧΧΔ 。 一训Φ 收敛于一个有限值 。;幻. 若 恋 任几是 6Δ ϑ Φ 的一个聚点 , 则 7 ;幻二 , 即 之悠 ‘“ 一 云 · 证明 任取 厉 〔 几, 由引理 ∀ .∀ , 当 Ε 〔 % 充分大时 , 有 ΦΦ纵 γ ϑ 一训 γ 7∀ 几十 8 三 ΧΦΔ 、一刘 γ 内几 . ;∀. +� < 当 Ε 任 κ 时 , 由 ;∀ . + <与 至 任 几可知 ;。、, Δ Η 一 , Η < η 5 与 ;。、, , Η 一 云< 全 , 从而由引理 ∀ . � 知 ;∀ . +� <显然成立 . 因此当 Ε 充分大时 , 序列 ΧΦΦΔ 、 一 训 γ 内及Φ 将单调下降, 从而有有限的极限. 又因及 Η ;Ε Η Ι5 <, 故序列 ΧΦΦΔ Η 一到Φ 收敛于一个有限值 。;劝. 设 无 〔 几是 Χ二Η + 的一个聚 点, 则有无穷指标集 Λ Ν − , 使得 60 ? 、。Λ , 、, 55 Δ 、 δ 云. 从而得 7;0 <一概恤 一 ’“一 、。少恶Ι5 66ΔΗ 一 ’”一 ”· �期 刘 茜等8 带扰动项的梯度法与混合投影法的收敛性分析 定理 Ζ ϕ ΧΔ 、Φ, ∀. � 设 Γ; Δ< 是伪凸函数, ΧΔ Η Φ 是由算法 ∀ . + 产生的无穷迭代点列 , 又设存在开凸集 使得 Μ Γ; Δ< 在 Ζ 上一致连续 , 则 几Η 务⎯当且仅当 ΧΔ Η Φ存在聚点 ΔΗ , 此时有 60?Ε弓。∃ Δ 无 δ Δ Η 证明 充分性. 设 Χ二 Η Φ存在聚点 ΔΗ , 由推论 ∀ . + 知 ΔΗ 〔印 , 故 印 务 . 又因了;Δ< 伪凸 , 故 印 互几, 所以 几尹 . 从而由引理 ∀. : , 即得 /? Ε 叶55 ΔΕ δ ΔΗ · 必要性 . 设 印 务 . 因 印 Ν 几, 所以 几尹 . 由引理 ∀. : 对 4 扩 任 几 , , 点列 +ΦΦΔ 、 一 扩 ΦΦΦ都 存在有限的极限 , 从而 ΧΔ 、Φ有界 , 即 ΧΔ 、Φ有聚点 ΔΗ . 再据推论 ∀ . + 即得 / ? 、弓55 二、 二 ΔΗ · : 数值试验 这一部分通过几个例子 , 利用 &7Θ 67Σ 编程比较了梯度型算法 ;简记为 ∋ Ζ <, 算法 � . + ;简记 为 Π∋ Ζ < 和算法 ∀ . + ;简记为 (Π∋ Ζ < 的数值效果 . 我们取主方向 , ϑ 为负梯度方向, 即 , 、 δ 一4 ς; Δ 、<. 扰动方向 。Η 是在满足 ;# ∀<和 ;# : <条件下任意选取的. 特别指出, 对下面的每一个问题 , %∋ 的值表示迭代次数, ∋ 的值表示运行时间 , Γ;幻表示目 标函数 Γ 在 全处的值 . 参数的具体取值为 拼。 δ 拼+ δ 拼� δ . + , 入二 . + , Π δ + , ≅ 二 . Ξ 例 + Γ; Δ< 二 例 � Γ; Δ< δ + ;Δ圣一 Δ ϕ<� γ ;6 一 Δ 6<� γ ! ;Δ : 一 Δ聋<� γ ;+ 一 二∀ <� γ 一 . +;;二 8 一 +<� γ ;Δ ϑ 一 +<� <γ +! . � ;二 8 一 6<;Δ ϑ 一 +<. − θ �艺ο;Δ ϕ‘一 Δ置‘一 6<’ γ ;‘一 Δ ϕ‘一 + <’φ· 例 ∀ , ;Δ <一艺ο;Δ :‘一 6 γ ‘ 二 : ‘一 � <� γ � ;Δ :‘一 8 一 Δ :‘<’ γ ;Δ :‘一8 一 � Δ :卜 +<� γ + ;Δ : ‘一 ∀ 一 Δ :‘<:+. 取 ;一 ∀ , 一+ , 一∀ , 一 +<∋ , ;一 + . � , 6 , ⋯ , 一 + . � , +<∋ 和 ;∀ , 一 6, 5 , ∀ , ⋯ , 3, 一 + , 5 , ∀ <∋ 分别为例 +书 的初始点 . 所得到的数值结果分别记录在表 +书 中 . 对每一种方法 , 分别令 ΦΦΜ Γ;幻ΦΦ兰 . + , . + , . + . 另外 , � . +�∀; 一 :<表示 � . +�∀ Δ + 一 : . 数值 结果如表 +一∀ 所示 . 从数值结果可以看出带扰动项的梯度类方法和带扰动项的混合投影方法都是有效的 . 从数值 试验上看 , 这两种方法与梯度类方法很难比较哪种方法更有优势. 这主要是因为扰动项是随机选 取的 , 特别地 , 在当扰动项取零时这两类方法就是一般的梯度类方法和混合投影方法 . 我们需要 指出 , 这个试验同时说明的是 , 对一般的梯度类方法和混合投影方法 , 当它的搜索方向出现适当 扰动时 , 其收敛性质仍然成立 . 表 + 例 + 的数值结果 &&&2 Θ/5 ΤΤΤ %∋∋∋ ∋∋∋ Γ;幻幻∋∋∋ ΖΖΖ ∀ +: , � � = , Β ! +++ . + � �� , . � + !� , . ∀ : : ��� � . + � ∀;一:<, : · ;一=<, ∀ ·9 +� ;一9 <<< 尸尸∋ ΖΖΖ +� , Β Β , + 9 ∀∀∀ . : Β� , . + !� , . � ∀ ��� Β ·∀ 9 ;一�<, : . = Β= ;一=<, = . ∀ � Β ;一9 <<<((( 尸∋ ΖΖΖ ! , � = , = = ��� . + �= � , . ∀ =Β� , . � !:��� ∀ ·∀ 9 =;一:<, � . ∀! ! ;一=<, � . 9 9 = ;一9 < ∀ Β 数 学 学 报 中 文 版 ��卷 表 � 例 � 的数值结果 − δ +� &&& 2Θ/ 5 ΤΤΤ %∋∋∋ ∋∋∋ ς;幻幻 ∋∋∋ ΖΖΖ += + , ∀ : , : =!!! . = ! � , + . : Β � , + . = � Β��� � · ∀ +∀ ;一�<, � . ! : =;一:<, � . ∀ ! ;一=<<< 尸尸∋ ΖΖΖ +� , ∀ 9 , +� ��� . � 9 � � , . : ∀9� , + . : � � ��� Β . :: ;一�<, � . = ∀ �;一∀<, : . 9 � +;一=<<< ((( 尸∋ 刀刀 + � , � � , : === . + � � � , . +Β � � , . � ∀:��� � . ∀ �;一+<, � . ∀: �;一∀<, + . : ∀∀;一�<<< 表 ∀ 例 ∀ 的数值结果 − δ = &&&2Θ /5 ΤΤΤ %∋∋∋ ∋∋∋ Γ; 幻幻 ∋∋∋ ΖΖΖ :;< = , ! � , � !Β=== + . + !� , � . :9 :� , 9 . + � ���� � . ! � 9 ;一�<, + . �! +;一∀<, = . ! +;一�<<< 厂厂叹, 刀刀 : ! , + ∀ + , : +� 999 + . : � +� , � . Β! Β� , ! . � ∀ +��� � . � = +;一∀<, + . +! �;一:<, = . ! ! �;一=<<< ((( Π ∋ ΖΖΖ :Β , + � � , ∀ ∀∀∀ + . �Β9� , ∀ . : Β� , ! . 9 � 9��� ! . += +;一�<, � . � = 9;一∀<, + . = !;一:<<< 参 考 文 献 【++ Ζ 70 ⊥ . ( . , ⊥Ρ 71 ⊥ . , # 1 76 Ο以如 5Γ ?5 1 5 Θ5 12 Ν∗ 7Τ 62 1Θ ?2 Θ/ 5 Τ3 , κ5 ρ 76 5Γ 加Τ翻沉‘ 二Τ &7 几7 Ν 2 Γ1 。亡如“>爪如7 抓5 1 , �;∴< � , + 8 +9 +一 + ! � .【�+ Ζ 70 ⊥ . ( . , ⊥Ρ 71 ⊥ . , # 1 2 ΓΓ0 2 02 1Θ 妙Σ ∗0Τ Ι5 闪吃7Θ 2 盯7Τ 62 1Θ ? 2 Θ/ 5 Τ Γ5 ∗ Ρ1 Ι5 时∗70 12 Τ 5 [ Θ0? 诊7Θ 05 1 , # 。。山 5Γ口[ 2? 红。彻 Κ 2727∗2 / , �;∴< + , + ∀ 8 ∀∀ > : Β .ο∀』Ζ ‘ ⊥ . ( . , ⊥Ρ 71 ⊥ . , # 12 β , 7Τ 0日1Θ ?2 Θ/5 Τ β 0Θ/ 71 5 ΠΘ 0? 70 3Θ2详映 [ ∗ 5钾八Ο < ∃5 仰。Θ7 亡云。”川 ⎯Π “。二“5 。叭Τ #即“Ι7 “。”, �《洲沁 , ∀ ∀ 8 Β ∀一歇ο:φ Ξ0Ρ Ω . , 叭厄 1 Ν ∃ . ⊥ . , 恤1 Ν ∴ . & . , ⎯ 1 Θ/ 2 Ι5 1Μ2 ∗ Ν2 1Ι2 5 Γ 7 1 2β 娜Σ ∗0Τ [ ∗5ς 2ΙΘ 05 1 7】Ν 5 ∗0Θ/ ? , κ5 。, 7 6 5Γ 匆7￡2、, 2‘2 1 Ι2 7耐 ∃5 ? , 6峨勺, � ;< = , + ! 8 : � ∀> : ∀ .ο�+ , 5 65 Τ 5 Μ & . Μ . , ,耐Θ2∗ λ . _ . , # /Ο Σ ∗0Τ [∗5ς 2ΙΘ 051> [ ∗ 5粗? 目 卯01Θ 7 6Ν 5 ∗0Θ/? , α . Ι5 。。。 # 。以. , + ! ! ! , = 8 �于Β + .ο=』,5 65 Τ 5 Μ & . 4 . , ,明‘Θ2 ∗ λ . _ . , # 1 2 β [ ∗ 5 ς2Ι Θ5 1 ?2 Θ /5 Τ Γ5 ∗ Μ7∗ 07Θ 05 1 76 01 2≅ Ρ 760 ΘΟ [ ∗5 Σ 62∗13 , ,从材 κ. ∃5 。如6⎯ [ Θ坛爪 . , + ! ! ! , ∀ Β 8 Β= �>> Β Β = .οΒ】,5 65Τ 5Μ & . 4 . , ,俪Θ2 ∗ λ . _ . , # Θ∗Ρ6 Ο Ν 65 Σ766 Ο 2 51Μ2 ∗Ν 2 1Θ 12 βΘ 5 1 . ΘΟΠ 2 ? 2 Θ/ 5 Τ Γ5 ∗ Θ/2 ? 5 1 5 Θ5 12 15 ∗060 12 7∗Ι5 ? [ 62 ? 21Θ 7 ∗Ο [ ∗5 Σ62 ? , ,朋& κ . ⎯ [ 红Γ1 . , � ; 扣 , + 8 = �七� �.+9+ Υ ∗0[卯 Ξ . , # 2 6. 5 Γ Ρ1 25 13 Θ ∗成1 2Τ ? 01 0? 03 7Θ 05 1 ? 2Θ /5 Τ3 Γ5 ∗ 1 2Ρ∗ 76 1 2 Θβ 5 ∗Ε Θ∗ 70 10 略 , ⎯Π 云‘。 . &2 Θ/ 5 Τ ,,叻叨。陀 , + !! : , ‘8 +∀卜 +� .ο!』ΞΡ 5 � . Ω . , 5 1 Θ/2 Ι5 1Μ2 ∗32 1 Ι2 5 Γ Θ/ 2 Ξ& , 76 , ∗ 0Θ/ ? β 0Θ / 7Τ 7 [ Θ0Μ2 62 7∗ 1 0昭 ∗7Θ 2 Γ5 ∗ 6012 7∗ 众阳Τ Γ5 ∗β 7∗ Τ1 2 Θβ 5 ∗ Ε, , − 七”们。+∃5 ? [ “亡. , +! ! + , ∀ 8 � �=>> � : � .【+ 』&7 1 Ν73 7∗ 071 . Ξ . , , 5 65 Τ5Μ & . 4 . , λ鱿ΕΠ ∗5 [鳍7 Θ05 1 Ι5 1Μ2 ∗罗1 Ι2 Μ0 7 Τ2 Θ2 ∗而1 拍Θ 02 15 1 ? 5 1 5 Θ5 12 Π2 ∗Θ Ρ∗ Σ2Τ? 010 ? 加7Θ 05 1 , 01 8 Υ 尸+粉7 Ρ∗ 5 , κ. Ζ . ∃5 β 7 1 , κ. #坛侧2∃ Θ5 ∗ ;)目9 . <, # ΤΜ71 Ι23 01 − 2Ρ∗ 70 %1 Γ5 ∗ ? 7Θ 05 1 Πρ 01Ν,Ο3Θ 2皿 = , &5 ∗Ν 71 Λ 7 Ρ =力71 1 , ,71 Κ 71Ι ρ , ∃ # , + ! ! : , ∀ 9∀ 23 ∀ ! .【+ +】叭厄 1 Ν κ . Ξ . , ,/ 2呢 λ . ( . , α /5 Ρ � . Π . , 5 1 7 [[ ∗丽? 7Θ 05 1 妙 1 5 1> [ 2 ∗05 Τ 0Ι 12 Ρ∗ 76 71 Τ Θ ∗713 67Θ 05 1 1 2Θ β5 ∗ Ε3 01Ξ。 ρ [ 3 [7∃ 2 , # Ι Θ7 &7 Θ/ 2爪7 Θ‘∃7 从。‘Ι7 , ‘人讯22 2 32 八2 , , � ∀ , := ;+<8 = Β>> Β = .【+�』[ 5 6Ο7Ε λ . ∋ . , ∋ 3即Ε 01 ⊥ . � . , [ 32 Ρ Τ 5盯压Τ 02 1 Θ 7Τ 即Θ7Θ 05 1 71 Τ Θ∗ 7 01 01 Ν 70 , ∗ 0Θ/ 6∗ 山 , # 5 Θ5。。‘. 瓜。5 ‘2 ∃5 。如‘+! Β ∀ , + � 8 9∀刁: .【+∀』Π5 6Ο7Ε λ . ∋ . , %1Θ ∗ 5 Τ Ρ ΙΘ 05 1 Θ5 5 [ Θ 0? 03 7Θ Γ5 1 , − 2 β ⊥5 ∗Ε 8 ⎯ ΠΘ 加汤7Θ 05 1 ,5 ΓΘβ7∗ 2 %1 2 . , + ! � Β .++: 」,5 Γ5 Τ5Μ & . 4 . , ∃ρ ∗Ν2 1Ι 2 71 脚� +� 5Γ Π2 ∗Θ Ρ∗ Σ 2 Τ Γ2 73 0Σ 62 Τρ 1Θ ?2 Θ/ 5 Τ3 , κ . 伽亡如 . ∋/ 25 , #”+. , + !! Β,! ∀ 8 ∀ ∀ Β一 ∀ � ∀ . 【+ �+ ,5 Γ5 Τ5Μ & . 4 . , %1 2 ∗2 ? 21Θ 7 6 盯7Τ 021Θ 7 6Ν 5 ∗ 0Θ /? 3 β 0Θ/ 3Θ 2训ρ Σ5 Ρ 1 Τ 2 Τ 7 β 7Ο Γ∗ 5 ? α2 ∗5 , ∃5 ? 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