对偶四元数及其在刚体定位中的应用

第9卷第4期 199 3年1 2月 ‘ 黄 淮 学 刊 HUANGHUAI JOURNAL VoI．9 No．4 De c． 1993 对偶四元数及其在刚体定位中的应用 c} 张劲夫 蔡泰信 ， — — 一 一 摘 要 拳文首次将平移四元数与转动四元数融为一体，定叉出7对偶四元数， 并给出了其运算法则．刺用对偶四元数 的乘法运算可以很方便地确定不同坐标系之 间的相对位势(即位置与姿态)，最后拳文刺用对偶四元数 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 具体计算7机械手 上两个DenaVit—Hartenher g坐标 系之间的相对位姿 ，并得到 了同文献【5)一致 的结果． 关键词 对偶四元数 机械手 Denavit—Hartenbetg坐标 最 ． 中圈分类 s¨-s I 体 -学， 定位 众所周知，寻求一种方便简捷的刚体定位 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 具有重要的意义：本文所给出的对偶四元 数定位参数相对于其它定位参数 (如方向余弦矩阵法，欧拉角法、齐次变换矩悻祛 )来说具 有以下优点 1)对 偶 四元数方法可以很方便的同时确定刷体的位置与姿态；2)对 偶 四元 数的表达形式简明，计算简捷，其方程的线性化程度高．因此，对偶四元数方法在刚体动力 学中具有较大的应用前景． 1 对偶四元数及其运算法则 设有任意两个直角坐标系OXYZ与O X Y Z ，如图 l，则坐标系0 X Y Z 相对坐 标 系OXYZ的平移四元数与转动四元数分别为” ： R=0+Y (1) 一 A= o+ (2) 这里Y表示点O 在坐标系OXYZ中的位置(x，y，z)，对应的四元数映象为R；转动四 元散 A的四个元取为洛蒂克～啥密顿参数． z 收辅 日期 l9 93—04— 28 Y 图 1 、 维普资讯 http://www.cqvip.com 28 黄准学科(自然科学艘 J l9 年 定义坐标0 X Y Z 相对于坐标系OXYZ的对偶四元数为 P=A+R8 这里6称为对偶算符． 下面给出对偶四元数的运算法则．设有两个对偶四元数P与P ，其中 P=A+ R5 P =A + R 6 1)相等 rA=A P=P { LR=R 2)相加 P+P =(A+A 1+tR+R )6 3)同标量相乘 设任意标量K．则 KP=KA+KR6 4)相乘 ～ PP =‘V+R6)‘A +R 6)=AA +(R-t-AR A)6 ～ 这里A表示A的共轭四元数． 2 坐标系之间相对位姿的对偶四元数算法 设有任意三个坐标系OlX$YlZ$，OjXjYjZI与OtXtYlZ-． X Z 二 3 {． 一 — — ， Y 如 图 2． Z k Xk． ／ 、：、 (3) (4) (5) (6) (7) (8) t 9) Xj 图 2 设坐标系OjX‘YjZj相对坐标系OIX-YiZI的对偶四元数为 PlJ=Alj+Rl】6 (10) 坐标系OlXtYlZt相对坐标系OIX JYjZ J的对偶四元数为 PjI=Ajt+Rn6 (11) P¨确定了坐标系O JX JYjZj相对坐标系OlXlYIZl的位姿．Pjl确定了坐标系O kX kY-Zt柜 对坐标系OjXIY JZj的位姿． 坐标系OIX-Y z-相对坐标系0tx YtZI的转动四元数和平移四元数分别为 ¨ ， ／ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 期 张劲夫等。对鹤四元教蔑其在刚律定位中的应用 A lt=AllA ll ～ Plt= R lJ+A IJR IlA IJ 这样由定义(3)可知坐标系OlXlY Zl相对坐标系O。X Y Z 的对偶四元数为 ～ Pl k= AI k+Rf kS=A{IAil+(R¨+AIjRl Af1)6 Pll确定了坐标系OlXlYlZl相对于坐标系O·X·Y Zl的位姿． (12) (13) (14) 现在我们来看PtI与Pjt的对偶四元数乘积，由定以 (9)可得 ～ PIjPjl=【AIl+R j^6)(Ajl+Rll6)=AIIAll+(RII+AlJRllAIJ16 (15) 比较 (14)与(15)，可得 Pl k=PlIPjt (16) 由此我们可以看出 利用对偶四元数的乘法运算可以很方便地确定不同坐标系之间的相对位 姿． 3 算 例 Denavit—Hattenberg为了研究机械手的运动，提出了一套 特 璩 坐 标 系，就 称 为 Denavit—Hartenberg坐标系 “，这套坐标系分别固连于机架，各手臂和手爪 上，它 I 的建立满足下述条件：Zl轴与连接构件i和i+l(i=0，1，⋯，I1一1)的关节轴相重合，如图3， Xt轴是Zt和Zt—t轴的公垂线，Yt轴均按右手规则确定． ◎ 图 3 下面我们利 用对偶四元数方法来确定图 3中坐标系OlX；YlZl相对于坐标 系 O 一JX ．1 Yl—IZl—J的位姿． 从图 3可看出坐标系Ot—JXl—IYl—IZ；一J可通过如下的四次相继运动，而 最终达到 同坐 标 系OlX。YlZl相重合． 1)坐标系O1．1Xl—lY 一IZl—J绕Zl—J轴旋转el角，使Xi—l轴平行于Xl轴： 2)坐标系Ol—lXl—lYf—IZl—J沿Zl—J轴平移dl，使Xf—I轴重合于Xl轴； 3)坐标系OI—lXj—lYl-JZj—l沿XI轴平移ai，使点Oi—l重合于点Ol， 4)坐标系Ot—JX；一lYl iZl—l梧Xl轴旋转al角 ，使两坐标系完全重合． 维普资讯 http://www.cqvip.com 舳 黄难学刊 (自然科学版 ) 1993兰 以上四次相继运动所对应的对偶四元数分别为 P =A，+R 5=cos譬+sin ． +。6 P 2=A 2+ Ri6= 1+ dIZI ． 1 6 P3一A 3+ R。6= 1+ 0lX；6 P．=A．+R‘6；cos }+ sin"- y‘- l06 X- ． 、 Y-． 、Z-．一． X-分别表示沿X ．，，Y。一，，Z；． 、X。轴正向的单位矢 量． 系O‘XIYIZi相对于坐标系OI．1X1．IYi．IZ1．I的对偶四元数为 P(i．1 J I=P-P2PsP‘ (1 7) (18) (19) (20 J 于 是坐标 =(c。s粤+sin警 ． +。6)(1+d ． 6)(1+a 6)(c。s争+sin誓 +n6) ⋯s孚c。s譬 n导c。s -l+sin争sin -l+cos争 ． +(ai~OS0。 一 +a，sin0 一 + d 一Z ；． )6 P{【．I】l确定了坐标系O．XiYiZi相对于坐标系Oi．IXI．IY【．1Z。． 的位姿． 设P{i．I'I=Afi．I'I+R‘I．I】【6，则又根据 (21)显然有 (21) At一． ，-=c。s 土c。s +s n ÷c。s警 -．，+s n孚sin 一， +cos孚sin ． (zz) R{￡一1)I=aI cos0i X1 ． 1+aisin0iYi一【+ di Zi．1 (23) 将 (22)，(23)分别同文献(5]的 (2．2．20)与 (2．4．3)相比较，可以发现它们是 完全 一 致的 ． 4 结 语 对偶四元数将平移四元数与转动四元数融为一体，可方便地同时确定删体 的 位置与 姿 态 ，其运算简捷，在刚体动力学中具有较大的应用前最． 参 考 文 献 育尚彬．多刚体开链系运运动的四元散算法．固体力学学报．2985(4) 贾书 惠．附体动力学 ．北赢。高等教育 出版牡-1987 肖尚彬．蔡泰信．机器人曲力学．西安 西北工业太学出饭社．1988 J．Deaavit and R．S．Hart enber g，A Kinemati c Noration for low-pai r Mechanis— m s Based on Mat rict s，J．APPlled Mechanics，PP．215-- 221Jlllle 19 55 (5)张劲夫．操作机械手动力学逆I目腰的研究-西北工业大学顼士论文-1992 维普资讯 http://www.cqvip.com