秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析

秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 王 � 帅1, 2 � 高井祥1 ( 1. 中国矿业大学 江苏省资源环境信息 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 重点实验室 � 江苏�徐州 � 221116 2.中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘局重点实验室 � 江苏�徐州 � 221116) 提� 要 � 为分析秩亏自由网平差最小范数解的唯一性, 该文首先介绍了秩亏自由网平差方法的原理,给出了秩亏 自由网平差的直接解法,然后提出了最小范数逆不唯一而最小范数解唯一的特性, 并对该唯一性进行了证明,最后 通过对水准网进行解算,验证了该唯一性的正确性。 关键词 � 秩亏自由网平差 � 最小范数解 � 唯一性 Analysis of Uniqueness of Minimum Norm Solution in Rank Deficient Free Network Adjustment Wang Shuai 1,2 � Gao Jingxiang1 ( 1. Jiangsu Key Laboratory of Resources and Environmental Information Engineering, China University of Mining and Technology 2. Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of SBSM, China University of Mining and Technology) Abstract � To analyze the uniqueness of minimum norm solut ion in rank deficient free network adjustment, this article first introduces the principle of rank deficient free network adjustment, a direct method of rank defect free net adjustment is given, then proposes the characterist ics of minimum norm inverse is not unique, but mini� mum norm solution unique, and the uniqueness is proved. Finally, through the solution of leveling network, the correctness of uniqueness is verified. Keywords � rank deficient free network adjustment; minimum norm solution; uniqueness 基金项目:国家自然科学基金项目( 40774010) ;江苏省自然科学基金 ( BK2009099)。 作者简介:王 � 帅( 1985- ) ,男,硕士研究生,主要从事大地测量与测 量工程的研究工作。 收稿日期: 2010- 08- 05 1 � 前言 在线性模型 L = BX + �, � E( �) = 0 ( 1) D� = �20Q = �20 P- 1 ( 2) 下,在经典平差基础上发展起来的秩亏自由网平差、 最小二乘滤波、推估和配置(拟合推估)、具有奇异协 方差阵的平差等方法, 一般称其为现代最小二乘平 差方法。 如果将网中全部点的坐标作为平差参数, 列出 误差方程,此时的坐标参数个数比间接平差相应参 数多了 d 个, d 就是间接平差中必要起始数据的个 数。在这种情况下,误差方程为 V = Bx^ - l ( 3) 式中的 B产生列亏,列亏数为 d。这种没有足够起 始数据的平差问题, 就是 20世纪 70年代发展起来 的秩亏自由网平差问题。 秩亏自由网平差的函数模型和随机模型仍是 ( 1)、( 2)式, 其误差方程为 V n 1 = Bn u x^u 1 - ln 1 ( 4) 式中 u 为网中全部点坐标参数的个数, 系数阵的秩 R( B) = t< u, 秩亏数 d = u- t , 按最小二乘原理, V T PV= min, P 为非奇异,所得法方程为 Nx^ = W W= B T PB, R ( N ) = t < u, N 奇异, 法方程具有无 22� � � � � � � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � 2011年第 1期 穷多组解。 不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要 的起算数据的个数。即有: d = 1,水准网 3,测边网, 边角网,导线网 4,测角网 � � 在控制网秩亏的情况下, 法方程有解但不唯一。 也就是说仅满足最小二乘准则,仍无法求得 x^ 的唯 一解, 这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。 为求得唯一解, 还必须增加新的约束条件,来达到求 唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二 乘 VTPV= min和最小范数 x^Tx^ = min的条件下, 求 参数一组最佳估值的平差方法。 2 � 秩亏自由网的直接解法 根据广义逆理论, N^x - W= 0虽然有无穷多组 解,但它有唯一的最小范数解,即: x^ r = N - 1 m W ( 5) 式中 N- 1m = NT ( NNT ) - 为矩阵 N 的最小范数逆。 代入( 5)式得: x^ r = N T ( NN T ) - W ( 6) 最小范数逆并不唯一, 但不论哪个最小范数逆代入 公式( 5) ,其最小范数解却是唯一的。 下面对最小范数解的唯一性给出了证明: 设有 两个最小范数逆 N-m 1 和 N-m 2 ,相应的最小范数解为 X1 = N - m 1 A T Pl , � X 2 = N-m 2 A T Pl 因为最小范数逆满足下列两个方程: NN - mN = N ( N - mN) T = N - mN 所以 N T = ( NN - mN ) T = ( N - mN) T N T = N - mNN T N - m 1 NN T = N T , � N-m 2 NN T = N T 即 ( N-m 1 - N - m 2 ) NN T = O 两边右乘(N-m 1 - N - m 2 ) T 得 (N - m 1 - N - m 2 ) NN T ( N - m 1 - N - m 2 ) T = O 上式成立,必须(N-m 1 - N - m 2 ) N = O 右乘任意解向量 Y,得 ( N - m 1 - N - m 2 ) NY = O 因为 NY = ATPl , 故有 ( N - m 1 - N - m 2 ) A T Pl = O N - m 1 A T Pl - N - m 2 A T Pl = O 所以 N-m 1 A T Pl = N - m 2 A T Pl 可见,最小范数解不因最小范数逆不同而异,最小范 数解唯一。 3 � 实例验证 如图 1水准网, A、B、C 点全为待定点,同精度 独立高差观测值测得如下: h1 = 12. 345m, h2 = 3. 478m, h3 = - 15. 817m 平差时选取 A、B、C 三个待定点的高程平差值为未 知参数X^ 1、X^ 2、X^ 3 , 求解参数的平差值。 图 1� 水准网 解:取各点近似高程为 H 0 1 = 0, H 0 2 = 12. 345m, H 0 3 = 15. 823m 误差方程为 v 1 v 2 v 3 = - 1 1 0 0 - 1 1 1 0 - 1 x 1 x 2 x 3 - 0 0 6 法方程为 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = 6 0 - 6 NN = 6 - 3 - 3 - 3 6 - 3 - 3 - 3 6 为验证不同最小范数逆得出相同的最小范数解, 用 两种方法计算( NN) - 从而得出两个不同的 N-m。 1) 因 R ( N ) = 2, R ( NN ) = 2, 在 NN 中取左上 角二阶行列式不为零的子阵并求逆得 M = 6 - 3 - 3 6 , 232011年第 1期 � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � � � � � � � M - 1 = 1 27 6 3 3 6 = 1 9 2 1 1 2 于是 ( NN) - = 2�9 1�9 0 1�9 2�9 0 0 0 0 N - m 1 = N( NN) - = 1 3 1 0 0 0 1 0 - 1 - 1 0 � � 2)令 NN = BC,取 B = 6 - 3 - 3 6 - 3 - 3 则 C = 1 0 - 1 0 1 - 1 使 R ( B ) = R ( C) = R ( NN ) = 2。 B - 1 L = ( B T B ) - 1 B T = 1 81 9 0 - 9 0 9 - 9 C - 1 R = C T ( CC T ) - 1 = 1 3 2 - 1 - 1 2 - 1 - 1 于是 ( NN) - = C - 1 R B - 1 L = 1 27 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 N - m 2 = N( NN) - = 1 9 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 故 X = N-m 1 A T l = 2 0 - 2 T X = N - m 2 A T l = 2 0 - 2 T 可见两者结果相同。 4 � 结语 在秩亏自由网中, 如果像经典平差那样,只要求 遵循最小二乘原则求未知参数的解, 将不可能取得 唯一确定的估计量。为了确定唯一的估计量,需要 在遵循平差基本原则 ! ! ! 最小二乘原则基础上附加 另外条件,这个条件就是最小范数条件,即它保证了 所求得的未知参数的估计量是最优的。满足最小范 数条件的最小范数逆并不是唯一的, 但不论哪个最 小范数逆代入 X= N-mATPl 中, 其最小范数解都是 唯一的。 参考文献 1� 陶本藻. 自由网平差与变形分析. 武汉: 武汉测绘科技大 学出版社, 2001 2� 崔希璋, 於宗俦,陶本藻, 等.广义测量平差.武汉:武汉大 学出版社, 2009 3� 武汉大学测绘学院测量平差学科组. 误差理论与测量平 差基础. 武汉:武汉大学出版社, 2003 4� 黄维彬. 近代平差理论及其应用. 北京: 解放军出版社, 1992 5� 香铁定, 周世健, 官云兰, 等. 秩亏自由网的一种直接解 法. 矿山测量, 2001, ( 2) : 41~ 43 6� 张书毕, 单世坤,王坚. 秩亏自由网逐次平差及其应用. 测 绘通报, 2001, ( 8) : 26~ 28 (上接第 21页) 参考文献 1� 彭伟, 吴剑锋,吴吉春. NPGA- GW 在地下水系统多目标 优化管理中的应用.高校地质学报, 2008, 14( 4) : 631~ 636 2 � Tan C C, Tung C P, Chen C H. An integrated optimization al� gorithm for parameter structure identification in groundwater modeling. Advances in Water Resources, 2008, 31( 3) : 545~ 560 3 � McKinney D C, L in M D. Genetic algorithm solution of ground� water management problems. Water Resources Research, 1994, 30( 6) : 1897~ 1906 4� Zheng C, Wang P P. A field demonstration of the simulation optimization approach for remediation system design. Ground Water, 2002, 40 ( 3) : 258~ 265 5� 邵景力,魏加华, 崔亚莉,等. 用遗传算法求解地下水资 源管理模型. 地球科学 ! 中国地质大学学报, 1998, 23 ( 5) : 532~ 536 6 � 吴剑锋,朱学愚, 刘建立. 基于遗传算法的模拟退火罚函 数方法求解地下水管理模型. 中国科学( E辑 ) , 1999, 29 ( 5) : 474~ 480 7� 杨蕴, 吴剑锋,吴吉春. 两种智能算法在求解地下水管理 模型中的对比.吉林大学学报(地球科学版) , 2009, 39( 3) : 474~ 502 8� Rogers L L, Dowla F U . Optimization of groundwater remediation using artificial neural networks with parallel solute transport modeling. Water Resources Research, 1994, 30( 2) : 457~ 481 9� Wang M, Zheng C. Optimal remediation policy selection under general conditions. GroundWater, 1997, 35( 5) : 757~ 764 10� 李竞生, 姚磊华. 含水层参数识别方法. 北京: 地质出版 社, 2004 11� Chang Wook Ahn, R S Ramakrishna. Elitism- Based Compact Genetic Algorithm. IEEE Transactions on Evolutionary Computa� tion, 2003, 7( 4) : 367~ 385 12� Hajela P and Lin C Y . Genetic search strateg ies in multicriteri� on optimal design. Structural Optimization, 1992, 4( 2) : 99~ 107 13� 王凌. 智能优化算法及其应用. 北京: 清华大学出版社, 2001 14� 季月华, 朱国荣, 江思珉. 地下水管理模型软件 GWM 简 介及算例.勘察科学技术, 2009, ( 1) : 17~ 22 24� � � � � � � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � 2011年第 1期