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秩亏自由网平差及其通解 第 32卷 第 2期 2010年 6月 地球科学与环境学报 Journal of Earth Sciences and Environment Vol. 32 No. 2 Jun. 2010 � 收稿日期: 2009�07�15 � 基金项目: 国家自然科学基金项目( 40672173; 40802075) � 作者简介: 赵超英( 1976� ) ,男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事 InSAR理论与数据处理的教学与研究。E�mail: zhaochaoying@ 163. com 秩亏自由网平差...

秩亏自由网平差及其通解
第 32卷 第 2期 2010年 6月 地球科学与环境学报 Journal of Earth Sciences and Environment Vol. 32 No. 2 Jun. 2010 � 收稿日期: 2009�07�15 � 基金项目: 国家自然科学基金项目( 40672173; 40802075) � 作者简介: 赵超英( 1976� ) ,男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事 InSAR理论与数据处理的教学与研究。E�mail: zhaochaoying@ 163. com 秩亏自由网平差及其通解 赵超英,黄观文 (长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安 710054) 摘要: 通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解, 研究了秩亏自由网基准转换的实 质。结果 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解, 在实际应用中确定合适的 基准是关键。以西安地区 GPS 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动 的基准才具有物理意义。 关键词: 秩亏;自由网平差; 基准条件;坐标系; 通解 中图分类号: P228. 4� 文献标志码: A � 文章编号: 1672�6561( 2010) 02�0215�03 Rank Defect Free Net Adjustment and Its General Solution ZHAO Chao�ying , HUANG Guan�wen ( S chool of Geolog ical E ngineer ing and Su rv ey ing , Chang�an Unive rsi ty , X i�an 710054, S haanxi , China) Abstract: Through transforming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the gener al solution o f arbitrar y coordinate, rank def ect free net adjust ment is analyzed, and the essence of the datum tr ansformation is discussed. The results show t hat the optimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he one so lution under t he datum which is calculated by the approx imat ion value. In pr act ice, the key problem is to determine t he appropr iate datum. GPS monito ring netw ork in Xi�an is t aken as an example to demonstrate the differ ent opt imal so lutions under differ ent data, w hereas the so lutions in plate mo tion ar e physically significant. Key words: rank defect ; fr ee net adjustment; datum condition; co ordinate system; general so lution 0 � 引言 自 Messl提出自由网平差以来[ 1] , 其理论研究 和应用研究均得到较大的发展,中国学者自 20世 纪 80年代开始对其进行了系统研究 [ 2�3]。后来 Xu 相继提出了非线性秩亏自由网平差的通解及其应 用[ 4�6] ,推出不同坐标系以及不同基准下的通解。 笔者在介绍秩亏自由网平差通解的基础上, 分析了 如何将传统自由网平差扩展为各种坐标系、各种基 准下的通解。这有助于理解秩亏自由网平差的实 质,并在实际应用中通过确定合理的基准从而获取 具有物理意义的解。 1 � 秩亏自由网平差原理 对于非线性大地控制网,观测方程满足 E( L) = F(X) , L = f (X) + � D(L) = �20P- 1 式中: E ( � )为数学期望; D( � )为方差; �0 为单位 权中误差; F ( � )、f ( � )为非线性 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ; X 为初始 (任意)坐标系 t维待定坐标向量; L为 n 维观测值 向量; �为观测值所含的偶然误差; P 为观测值的 权。通常,选定初始坐标系 S0 下的一组初始坐标 X 0 ,对观测方程进行线性化得 E( l ) = A�X, l = L- A�X + � D( l) = �20P- 1 (1) 式中: A为n t维设计矩阵,其秩 R(A) = r< t , r 为 自由度, d= t- r 为秩亏数; l 为常数项; �X 为初始 坐标系S0 下的坐标改正数。观测值改正数 V的误 差方程为 V= A�X- l (2) � � 采用最小二乘准则可得基于初始坐标系 S0 下 参数的通解 �X = N- ATPl (3) �X = N- ATPl + ( I - N- N)M (4) 式中: N为 AT PA;M为任意非零向量; I为单位阵; N - 为 N的广义逆。 2 � 传统秩亏自由网平差方法及基准转换 2. 1 � 传统秩亏自由网平差 传统秩亏自由网平差的主要目的是求参数的 唯一解,为此附加条件,如 S T dt �Xt1 = 0 (5) 式中: STdt为某一行满秩矩阵, 且 R ( S) = d 为行满 秩, AS= 0,解得 �X = ( N+ SS T ) - 1ATPl (6) � � 则平差后初始坐标系 S0 下参数最佳估值 X为 X = X0 + �X = X0 + (N+ SST )- 1AT Pl (7) 式(5) ~ (7)中: S为法方程系数N 的零特征值对应 的特征向量所构成; X0 为参数近似值。采用最小 范数条件也可以获得唯一解, 文献[ 2�3]已证明二 者是等价的,均为初始坐标系 S0 下最小范数解。 2. 2 � 传统自由网平差的基准转换 经典自由网平差、秩亏自由网平差、加权秩亏 自由网平差和拟稳平差均为强基准。由于传统自 由网平差是为获取初始坐标下的最小范数解,其基 准条件为式(5) (以普通秩亏自由网为例)。 对于误差方程式(2) ,设有两组不同的基准 S T 1 �X 1 = 0 � 且 R( S1 ) = d (8) S T 2 �X 2 = 0 � 且 R( S2 ) = d (9) 式(8)、(9)中: S1、S2 为不同基准所对应的约束条件 矩阵。根据传统解法,如式(6) ,重写为 �X1 = ( N+ S1ST1 ) - 1ATPl 式中: �X1 为 S1 所对应基准下的一组解。根据文 献[ 3]基准转换可得 S2 对应的基准下的解 �X 2 为 �X2 = ( I - S(ST2 S)- 1 ST2 )�X1 (10) 其中, S 满足 NS = 0 或 AS = 0, 且 R ( S ) = d。 式(10)便是相同坐标系 S0 下不同基准之间的转换 关系。可以看出最小范数条件只是相同坐标系下 众多基准条件中的一个,在数学上均是最优的。 3 � 秩亏自由网平差的通解 大地测量的主要目的是获取待定点的坐标, Xu 提出的非线性秩亏自由网平差的出发点是直接求 任意坐标系 SAR下的参数(坐标) ,而不再仅仅是初 始坐标系下的参数(坐标)改正数, 对于 SAR下的所 有点的坐标 X AR有 [ 4] � X AR = 0( I � U0 )X+ e � t t= 0UN0X+ e � tt (11) 式中: 0 为缩放系数; U0 为 3 3 的旋转矩阵; e 为 全 1阵; t t 为坐标系的平移向量; � 为克罗内克积; UN0为整体旋转矩阵。实质上这 3类参数代表了坐 标系的转换参数。应用最小二乘准则可得法方程 1 0 (ATPA)U- 1N0Xa = AT Pl 1 0NU- 1N0Xa = U (12) 式中: U为 A TPl, 因此法方程(12)没有唯一解; Xa 仅是法方程( 12)的一个数学解但不是 XAR的估值。 通过解法方程,可以求出任意坐标系下的坐标值, 即通解 X g 为 � � X g= 0UN0N-ATPl+ 0UN0X 0+ ( e � zt ) (13) 式中: z t 为坐标近似值所在坐标系与特解所在坐 标系之间的平移向量。将式( 13)的坐标系选为 S0 , 则有 X = N - A T Pl + X 0 (14) � � 这便是传统秩亏自由网的解。 4 � 由传统秩亏自由网平差推导的通解 从传统自由网平差的基准转换可以发现, 基准 与广义逆相对应,如最小范数条件对应最小范数逆 N - m。因此在求解法方程时采用一般广义逆便可以 概括相同坐标系下各种基准条件对应的坐标解, 如 式(4)或式( 13)中第一部分所示。将式( 7)中的(N + SS T ) - 1 (即 N-m 之一)用 N- 来代替,便得到 S0 坐 标系下所有基准的解,如式(14)。 对于任意坐标系下的解可以通过坐标相似变 换来获取,将式( 14)带入( 11)得 XAR = 0UN0X + ( e � t t ) = 0UN0ATPl + 0UN0X + e � tt (15) � � 式(15)是通过间接方法得到的秩亏自由网的 216 地球科学与环境学报 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 第 32 卷 通解,与式(13)通过直接方法得到的秩亏自由网通 解是等价的。需要强调的是, 由于非线性平差均需 要进行在选定初值下进行线性化,而所选取的初值 便隐含了一个坐标系 S0 , 因此在实际应用时, 对于 非线性秩亏自由网平差, 近似值的选取不仅与线性 化的精度有关, 还与其代表的基准含义密切相关, 即物理意义是否正确。 5 � 算例分析 在大地测量形变监测中, 需要提供一个基准, 当为秩亏问题时, 一般选取拟稳基准较为合理[ 7]。 笔者选取西安 GPS 地面沉降和地裂缝监测网的两 期监测成果进行形变分析, 该监测网共布设了 24 个测量点。2005年 12月开始第一期监测, 监测周 期为 0 5 a, 目前已完成 6 期, 数据处理中引进了 3个连续跟踪站( XIAA、XANY、BJFS) 作为已知 点。基线解算采用 GAMIT 软件处理, 网平差采用 自编软件 HPGPSADJ处理。对监测网第二、三期观 测数据进行数据处理,分别采用 2种方案进行对比: ( 1)选择 3 个稳定点( XIAA、XANY、BJFS)作 为基准点,第二期初始坐标采用框架坐标, 第三期 初始坐标与第二期相同, 不考虑基准点运动速率, 利用拟稳基准进行附加系统参数的三维约束平差 (方案 1)。 ( 2)选择 3 个稳定点( XIAA、XANY、BJFS)作 为基准点,第二期初始坐标采用框架坐标, 第三期 初始坐标考虑基准点运动速率, 引入速度参数对第 二期初始坐标进行改正, 利用拟稳基准进行附加系 统参数的三维约束平差(方案 2)。 将 2期获取的高程计算其沉降量, 2 种方案沉 降结果如表 1。 首先本算例采用的 2种解算方法在各自的基 准下均为最优解, 表 1 表明, 考虑解算精度范围 ( ! 1 cm) ,方案 1大部分监测点呈抬升状态, 与西 安地面沉降实际不符[ 7�8]。这说明本方案所选择的 基准不正确。而方案 2 由于考虑了基准点的板块 运动,在初始坐标中引入了基准点位移信息, 其结 果较为真实地反映了西安地区整体沉降特点。这 说明在 GPS 沉降监测中, 不同初始坐标虽然都可 以得出各自对应的最优解,但在形变分析结果上却 存在差异,不同的初始坐标, 形变分析结果也不尽 相同。如何选择合理的初始坐标,即符合物理实际 的基准模型,对 GPS 数据后处理分析至关重要。 表 1 � 西安地区两种平差方案监测点沉降结果对比 Tab. 1 � Comparison of Subsidence Results at Benchmarks Between Two Schemes in Xi∀ an 点名 方案 1 方案 2 XANY 2. 9 - 5. 8 XIAA - 4. 2 - 13. 3 XJ01 12. 4 4. 1 XJ02 - 7. 9 - 16. 6 XJ03 15. 5 6. 8 XJ04 19. 3 10. 6 XJ06 - 6. 5 - 15. 1 XJ07 11. 1 2. 9 XJ08 10. 0 1. 8 XJ09 - 9. 0 - 17. 7 点名 方案 1 方案 2 XJ10 21. 0 12. 7 XJ11 21. 9 13. 4 XJ12 16. 7 8. 1 XJA1 - 33. 9 - 42. 0 XJA2 18. 4 9. 6 XJA3 14. 8 6. 2 XJA4 1. 2 - 7. 7 XJA5 13. 2 4. 9 XJA6 18. 7 10. 2 � 注:表中数据表示沉降量/ mm 6 � 结语 秩亏自由网平差在现代测量数据处理中非常 重要,尤其是非线性大地网秩亏平差在区域形变监 测中应用很广。研究了非线性秩亏网平差解的实 质,即秩亏自由网只能提供通解,其特解均是最优 解。通常所谓最优解只是在先验基准下的最优解, 在实际应用中更重要的是要合理确定基准,以便获 取具有物理意义的最优解。 参考文献: [ 1 ] � M ess l P. Die Innere Genauigkeit Eines Punkthau fens Os ter [ J] . Z Verm, 1962, 50: 159�165. [ 2 ] � 陶本藻.自由网平差与变形分析 [ M ] . 北京: 测绘出版社, 1984. [ 3 ] � 黄维彬.近代平差理论及其应用[ M ] . 北京:解放军出版社, 1992. [ 4 ] � Xu P L. A General Solut ion in Geodet ic Nonlinear Rank�defect Models [ J ] . Bollet t ino di Geodes ia e Scienz e Af fin i, 1997, 56( 1) : 1�25. [ 5 ] � Xu P L. Invariant Geodynamical Informat ion in Geomet ric Geodetic Measurements[ J] . Geophysical Journal Internat ional, 2000, 142( 2) : 586�602. [ 6 ] � Xu P L. Geodynamical Value of His torical Geodet ic Measur e� ments: a T heoret ical Analysis [ J ] . Earth Planets S pace, 2000, 52( 11) : 993�997. [ 7 ] � 张 � 勤,黄观文, 王 � 利,等. GPS 在西安市地面沉降与地裂 缝监测中的应用研究 [ J ] .工程地质学报, 2007, 15( 6) : 828� 833. [ 8 ] � 张永海. GPS城市沉降监测网数据处理方法研究[ J ] .地球科 学与环境学报, 2009, 31( 3) : 327�330. 217第 2 期 � � � � � � � � � � � � � � � 赵超英,等: 秩亏自由网平差及其通解
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分类:工学
上传时间:2011-04-07
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