第 32卷 第 2期
2010年 6月
地球科学与环境学报
Journal of Earth Sciences and Environment
Vol. 32 No. 2
Jun. 2010
� 收稿日期: 2009�07�15
� 基金项目: 国家自然科学基金项目( 40672173; 40802075)
� 作者简介: 赵超英( 1976� ) ,男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事 InSAR理论与数据处理的教学与研究。E�mail: zhaochaoying@ 163. com
秩亏自由网平差及其通解
赵超英,黄观文
(长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安 710054)
摘要: 通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解, 研究了秩亏自由网基准转换的实
质。结果
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解, 在实际应用中确定合适的
基准是关键。以西安地区 GPS 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动
的基准才具有物理意义。
关键词: 秩亏;自由网平差; 基准条件;坐标系; 通解
中图分类号: P228. 4� 文献标志码: A � 文章编号: 1672�6561( 2010) 02�0215�03
Rank Defect Free Net Adjustment and
Its General Solution
ZHAO Chao�ying , HUANG Guan�wen
( S chool of Geolog ical E ngineer ing and Su rv ey ing , Chang�an Unive rsi ty , X i�an 710054, S haanxi , China)
Abstract: Through transforming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the gener al solution o f arbitrar y
coordinate, rank def ect free net adjust ment is analyzed, and the essence of the datum tr ansformation is discussed.
The results show t hat the optimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he one so lution under t he
datum which is calculated by the approx imat ion value. In pr act ice, the key problem is to determine t he
appropr iate datum. GPS monito ring netw ork in Xi�an is t aken as an example to demonstrate the differ ent opt imal
so lutions under differ ent data, w hereas the so lutions in plate mo tion ar e physically significant.
Key words: rank defect ; fr ee net adjustment; datum condition; co ordinate system; general so lution
0 � 引言
自 Messl提出自由网平差以来[ 1] , 其理论研究
和应用研究均得到较大的发展,中国学者自 20世
纪 80年代开始对其进行了系统研究 [ 2�3]。后来 Xu
相继提出了非线性秩亏自由网平差的通解及其应
用[ 4�6] ,推出不同坐标系以及不同基准下的通解。
笔者在介绍秩亏自由网平差通解的基础上, 分析了
如何将传统自由网平差扩展为各种坐标系、各种基
准下的通解。这有助于理解秩亏自由网平差的实
质,并在实际应用中通过确定合理的基准从而获取
具有物理意义的解。
1 � 秩亏自由网平差原理
对于非线性大地控制网,观测方程满足
E( L) = F(X) , L = f (X) + �
D(L) = �20P- 1
式中: E ( � )为数学期望; D( � )为方差; �0 为单位
权中误差; F ( � )、f ( � )为非线性
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
; X 为初始
(任意)坐标系 t维待定坐标向量; L为 n 维观测值
向量; �为观测值所含的偶然误差; P 为观测值的
权。通常,选定初始坐标系 S0 下的一组初始坐标
X 0 ,对观测方程进行线性化得
E( l ) = A�X, l = L- A�X + �
D( l) = �20P- 1 (1)
式中: A为n t维设计矩阵,其秩 R(A) = r< t , r 为
自由度, d= t- r 为秩亏数; l 为常数项; �X 为初始
坐标系S0 下的坐标改正数。观测值改正数 V的误
差方程为
V= A�X- l (2)
� � 采用最小二乘准则可得基于初始坐标系 S0 下
参数的通解
�X = N- ATPl (3)
�X = N- ATPl + ( I - N- N)M (4)
式中: N为 AT PA;M为任意非零向量; I为单位阵;
N
- 为 N的广义逆。
2 � 传统秩亏自由网平差方法及基准转换
2. 1 � 传统秩亏自由网平差
传统秩亏自由网平差的主要目的是求参数的
唯一解,为此附加条件,如
S
T
dt �Xt1 = 0 (5)
式中: STdt为某一行满秩矩阵, 且 R ( S) = d 为行满
秩, AS= 0,解得
�X = ( N+ SS T ) - 1ATPl (6)
� � 则平差后初始坐标系 S0 下参数最佳估值 X为
X = X0 + �X = X0 + (N+ SST )- 1AT Pl (7)
式(5) ~ (7)中: S为法方程系数N 的零特征值对应
的特征向量所构成; X0 为参数近似值。采用最小
范数条件也可以获得唯一解, 文献[ 2�3]已证明二
者是等价的,均为初始坐标系 S0 下最小范数解。
2. 2 � 传统自由网平差的基准转换
经典自由网平差、秩亏自由网平差、加权秩亏
自由网平差和拟稳平差均为强基准。由于传统自
由网平差是为获取初始坐标下的最小范数解,其基
准条件为式(5) (以普通秩亏自由网为例)。
对于误差方程式(2) ,设有两组不同的基准
S
T
1 �X 1 = 0 � 且 R( S1 ) = d (8)
S
T
2 �X 2 = 0 � 且 R( S2 ) = d (9)
式(8)、(9)中: S1、S2 为不同基准所对应的约束条件
矩阵。根据传统解法,如式(6) ,重写为
�X1 = ( N+ S1ST1 ) - 1ATPl
式中: �X1 为 S1 所对应基准下的一组解。根据文
献[ 3]基准转换可得 S2 对应的基准下的解 �X 2 为
�X2 = ( I - S(ST2 S)- 1 ST2 )�X1 (10)
其中, S 满足 NS = 0 或 AS = 0, 且 R ( S ) = d。
式(10)便是相同坐标系 S0 下不同基准之间的转换
关系。可以看出最小范数条件只是相同坐标系下
众多基准条件中的一个,在数学上均是最优的。
3 � 秩亏自由网平差的通解
大地测量的主要目的是获取待定点的坐标, Xu
提出的非线性秩亏自由网平差的出发点是直接求
任意坐标系 SAR下的参数(坐标) ,而不再仅仅是初
始坐标系下的参数(坐标)改正数, 对于 SAR下的所
有点的坐标 X AR有 [ 4]
� X AR = 0( I � U0 )X+ e � t t= 0UN0X+ e � tt (11)
式中: 0 为缩放系数; U0 为 3 3 的旋转矩阵; e 为
全 1阵; t t 为坐标系的平移向量; � 为克罗内克积;
UN0为整体旋转矩阵。实质上这 3类参数代表了坐
标系的转换参数。应用最小二乘准则可得法方程
1 0 (ATPA)U- 1N0Xa = AT Pl
1 0NU- 1N0Xa = U
(12)
式中: U为 A TPl, 因此法方程(12)没有唯一解; Xa
仅是法方程( 12)的一个数学解但不是 XAR的估值。
通过解法方程,可以求出任意坐标系下的坐标值,
即通解 X g 为
� � X g= 0UN0N-ATPl+ 0UN0X 0+ ( e � zt ) (13)
式中: z t 为坐标近似值所在坐标系与特解所在坐
标系之间的平移向量。将式( 13)的坐标系选为
S0 , 则有
X = N
-
A
T
Pl + X 0 (14)
� � 这便是传统秩亏自由网的解。
4 � 由传统秩亏自由网平差推导的通解
从传统自由网平差的基准转换可以发现, 基准
与广义逆相对应,如最小范数条件对应最小范数逆
N
-
m。因此在求解法方程时采用一般广义逆便可以
概括相同坐标系下各种基准条件对应的坐标解, 如
式(4)或式( 13)中第一部分所示。将式( 7)中的(N
+ SS
T
)
- 1
(即 N-m 之一)用 N- 来代替,便得到 S0 坐
标系下所有基准的解,如式(14)。
对于任意坐标系下的解可以通过坐标相似变
换来获取,将式( 14)带入( 11)得
XAR = 0UN0X + ( e � t t ) =
0UN0ATPl + 0UN0X + e � tt (15)
� � 式(15)是通过间接方法得到的秩亏自由网的
216 地球科学与环境学报 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 第 32 卷
通解,与式(13)通过直接方法得到的秩亏自由网通
解是等价的。需要强调的是, 由于非线性平差均需
要进行在选定初值下进行线性化,而所选取的初值
便隐含了一个坐标系 S0 , 因此在实际应用时, 对于
非线性秩亏自由网平差, 近似值的选取不仅与线性
化的精度有关, 还与其代表的基准含义密切相关,
即物理意义是否正确。
5 � 算例分析
在大地测量形变监测中, 需要提供一个基准,
当为秩亏问题时, 一般选取拟稳基准较为合理[ 7]。
笔者选取西安 GPS 地面沉降和地裂缝监测网的两
期监测成果进行形变分析, 该监测网共布设了 24
个测量点。2005年 12月开始第一期监测, 监测周
期为 0 5 a, 目前已完成 6 期, 数据处理中引进了
3个连续跟踪站( XIAA、XANY、BJFS) 作为已知
点。基线解算采用 GAMIT 软件处理, 网平差采用
自编软件 HPGPSADJ处理。对监测网第二、三期观
测数据进行数据处理,分别采用 2种方案进行对比:
( 1)选择 3 个稳定点( XIAA、XANY、BJFS)作
为基准点,第二期初始坐标采用框架坐标, 第三期
初始坐标与第二期相同, 不考虑基准点运动速率,
利用拟稳基准进行附加系统参数的三维约束平差
(方案 1)。
( 2)选择 3 个稳定点( XIAA、XANY、BJFS)作
为基准点,第二期初始坐标采用框架坐标, 第三期
初始坐标考虑基准点运动速率, 引入速度参数对第
二期初始坐标进行改正, 利用拟稳基准进行附加系
统参数的三维约束平差(方案 2)。
将 2期获取的高程计算其沉降量, 2 种方案沉
降结果如表 1。
首先本算例采用的 2种解算方法在各自的基
准下均为最优解, 表 1 表明, 考虑解算精度范围
( ! 1 cm) ,方案 1大部分监测点呈抬升状态, 与西
安地面沉降实际不符[ 7�8]。这说明本方案所选择的
基准不正确。而方案 2 由于考虑了基准点的板块
运动,在初始坐标中引入了基准点位移信息, 其结
果较为真实地反映了西安地区整体沉降特点。这
说明在 GPS 沉降监测中, 不同初始坐标虽然都可
以得出各自对应的最优解,但在形变分析结果上却
存在差异,不同的初始坐标, 形变分析结果也不尽
相同。如何选择合理的初始坐标,即符合物理实际
的基准模型,对 GPS 数据后处理分析至关重要。
表 1 � 西安地区两种平差方案监测点沉降结果对比
Tab. 1 � Comparison of Subsidence Results at
Benchmarks Between Two Schemes in Xi∀ an
点名 方案 1 方案 2
XANY 2. 9 - 5. 8
XIAA - 4. 2 - 13. 3
XJ01 12. 4 4. 1
XJ02 - 7. 9 - 16. 6
XJ03 15. 5 6. 8
XJ04 19. 3 10. 6
XJ06 - 6. 5 - 15. 1
XJ07 11. 1 2. 9
XJ08 10. 0 1. 8
XJ09 - 9. 0 - 17. 7
点名 方案 1 方案 2
XJ10 21. 0 12. 7
XJ11 21. 9 13. 4
XJ12 16. 7 8. 1
XJA1 - 33. 9 - 42. 0
XJA2 18. 4 9. 6
XJA3 14. 8 6. 2
XJA4 1. 2 - 7. 7
XJA5 13. 2 4. 9
XJA6 18. 7 10. 2
� 注:表中数据表示沉降量/ mm
6 � 结语
秩亏自由网平差在现代测量数据处理中非常
重要,尤其是非线性大地网秩亏平差在区域形变监
测中应用很广。研究了非线性秩亏网平差解的实
质,即秩亏自由网只能提供通解,其特解均是最优
解。通常所谓最优解只是在先验基准下的最优解,
在实际应用中更重要的是要合理确定基准,以便获
取具有物理意义的最优解。
参考文献:
[ 1 ] � M ess l P. Die Innere Genauigkeit Eines Punkthau fens Os ter
[ J] . Z Verm, 1962, 50: 159�165.
[ 2 ] � 陶本藻.自由网平差与变形分析 [ M ] . 北京: 测绘出版社,
1984.
[ 3 ] � 黄维彬.近代平差理论及其应用[ M ] . 北京:解放军出版社,
1992.
[ 4 ] � Xu P L. A General Solut ion in Geodet ic Nonlinear Rank�defect
Models [ J ] . Bollet t ino di Geodes ia e Scienz e Af fin i, 1997,
56( 1) : 1�25.
[ 5 ] � Xu P L. Invariant Geodynamical Informat ion in Geomet ric
Geodetic Measurements[ J] . Geophysical Journal Internat ional,
2000, 142( 2) : 586�602.
[ 6 ] � Xu P L. Geodynamical Value of His torical Geodet ic Measur e�
ments: a T heoret ical Analysis [ J ] . Earth Planets S pace,
2000, 52( 11) : 993�997.
[ 7 ] � 张 � 勤,黄观文, 王 � 利,等. GPS 在西安市地面沉降与地裂
缝监测中的应用研究 [ J ] .工程地质学报, 2007, 15( 6) : 828�
833.
[ 8 ] � 张永海. GPS城市沉降监测网数据处理方法研究[ J ] .地球科
学与环境学报, 2009, 31( 3) : 327�330.
217第 2 期 � � � � � � � � � � � � � � � 赵超英,等: 秩亏自由网平差及其通解