用Venn图表示相互独立事件及其概率

　 用V enn 图 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示相互独立事件及其概率 朱珉仁 (南京交通高等专科学校, 南京 210032) 摘要　在概率论中, 常用V enn 图来表示事件及其概率, 但尚未见用它来表示相互独立事件及 其概率的报导. 本文提出了一个解决这一问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的方法. 关键词　V enn 图　V enn 圆　相互独立事件　曲边梯形 在概率论中, 常用V enn 图来表示事件、事件间的关系及运算结果. 所谓V enn 图, 是用一矩形来表示样本空间 8 , 用矩形内部的点来表示 8 的元素即样本 点. 短形内的一条或多条封闭曲线 (常用圆, 也称V enn 圆) 围成的图形内部或外部, 即表示包 含相应样本点的随机事件[ 1, 2, 3 ]. 用V enn 图可以表示事件的包含、互斥等关系, 还可以用若干封闭图形的公共部分来表示 相应的积事件. V enn 图除以上作用外, 有时还直接用来表示事件的概率 (但绝大多数教材并没有明确这 一点). 此时需将矩形 8 的面积设为单位面积, 表示 P (8 ) = 1. 同时将矩形内代表诸事件的图 形的面积理解为相应事件的概率. 这样就能把概率的绝大多数性质及运算法则 (甚至包括全概 率公式、Bayes 公式)用V enn 图表示出来[ 1 ] , 从而使这些隐涩枯燥的数学公式变得具体化、形 象化, 自然也就更便于记忆和使用了. 然而对于相互独立事件及其概率的运算法则, 尚未见用V enn 图来表示的报导, 这似乎与 人们已习惯于用V enn 圆来表示事件有关. 以下以曲边梯形代替V enn 圆来作这一尝试. 对于一个互斥事件完备组A 1,A 2, ⋯,A m (包括一对互逆事件A ,Aϖ) , 可由连接矩形 8 两对 边的曲线 (包括直线) 来对 8 进行划分. 由此而生成的m 个曲边梯形及其面积就分别表示m 个事件及其概率. 当然, 用曲线对矩形 8 进行划分的方法远不是唯一的, 只要诸曲边梯形面积 与相应事件的概率相等即可. 事件符A 1,A 2, ⋯, A m 可直接标注在矩形的外侧边. 这样, 必要时 我们就可以对样本空间 8 同时作两种不同的划分, 如图 1 所示. 其中互斥事件完备组A 1, A 2, ⋯,A m 之间可用平行于矩形两边的直线来划分,m 个小矩形面积之比 (即侧边长之比) , 应为相 应的事件概率之比. 但互斥事件完备组B 1, B 2, ⋯, B n 之间一般就只能用曲线来划分了. 这是 因为一般说来, P (A 1B 1)∶P (A 1B 2)∶⋯∶P (A 1B n) ≠P (A 2B 1)∶P (A 2B 2)∶⋯∶P (A 2B n) ≠⋯ ≠P (A mB 1)∶P (A mB 2)∶⋯∶P (A mB n). 上式中诸积事件在V enn 图中的位置是一目了然的, 因此在图中不必另行标注. 从这个意义上 来讲, 也是用曲边梯形表示事件强于用V enn 圆表示事件的优点之一. 顺便说一句, 当一个互斥事件完备组中的甲事件与另一互斥事件完备组中的乙事件互斥 时, 即甲乙事件的积事件为不可能事件时, 相应的图形就退化为一条面积为零的曲线段. 图 2 给出了当m = 3, n= 4,A 2B 2= A 3B 4= Á 时的情形. 第 14 卷第 3 期 1998 年 6 月 工　科　数　学 JOU RNAL O F M A TH EM A T ICS FOR T ECHNOLO GY V o l. 14, N o. 3 Jun. 1998 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 图 1　　　　　　　　　　　图 2　　　　　　　　　　　图 3 现在来看当一个互斥事件完备组中的任一事件A i 与另一互斥事件完备组中的任一事件 B j 都相互独立时的情形 ( i= 1, 2, ⋯,m ; j = 1, 2, ⋯, n). 设 P (A i)≠0, 因对 j = 1, 2, ⋯, n , 有 P (B j öA 1) = P (B j öA 2) = ⋯= P (B j öA m ) = P (B j ) , 即　 P (A 1B j )P (A 1) = P (A 2B j ) P (A 2) = ⋯= P (A mB j ) P (A m ) = P (B j ) P (8 ) . 表明此时对互斥事件完备组B 1, B 2, ⋯, B n 也可以用平行于矩形 8 两侧边的直线来划分, 如图 3 所示. 不难验证, 只要这样沿两个相互垂直方向用平行于矩形侧边的直线对矩形 8 进行划 分, 上述两组相互独立事件及其积事件概率的运算法则, 也就能在V enn 图中得到表示. 最后来看一个直接用V enn 图解题的简单例子. 例　甲、乙各自同时向一敌机炮击. 已知甲击中敌机的概率为 016, 乙击中敌机的概率为 015. 求敌机被击中的概率[ 4 ]1 图 4 解　设A = {甲击中敌机},B = {乙击中敌机}. 因事件A 、B 相互 独立, 故可作V enn 图如图 4 所示. 其中整个矩形的面积 P (8 ) = 1, 矩形A 、B 的面积分别为 P (A ) = 016, P (B ) = 015. 由图可直接推算 出矩形A B 的面积 P (A B ) = P (A ) P (B ) = 016×015= 013, 因此所求概率为 P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) - P (A B ) = 016+ 015- 013= 018. 或先求得矩形AϖBϖ 的面积 P (AϖBϖ) = P (Aϖ) P (Bϖ) = [1- P (A ) ] [1- P (B ) ]= 014×015= 012, 因此所求概率为 P (A ∪B ) = 1- P (AϖBϖ) = 1- 012= 018. 以上所有计算公式都可以从图 4 中得到反映. 参　考　文　献 [1 ]　甘以炎. 概率论. 高等教育出版社, 1983 [2 ]　[美 ]G. P. W adsw o rth, J. G. B ryan. 应用概率 ( 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf ). 高等教育出版社, 1982 [3 ]　王文才, 施桂芳. 数学小辞典. 科学技术文献出版社, 1983 [4 ]　同济大学数学教研室. 概率论. 高等教育出版社, 1982 951第 3 期　　　　　　　　朱珉仁: 用V enn 图表示相互独立事件及其概率 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. Illustra ting Independen t Even ts and Its Probab il it ies by Using Venn D iagram s Z hu M in ren (N an jing Co llege of Comm unicat ion, N an jing 210032) Abstract　Even ts and its p robab ilit ies are usually illu stra ted by using V enn diagram s on P robab ility. Bu t the repo rt has no t received that independen t even ts and its p robab ilit ies are illu stra ted by using V enn dia2 gram s too. T h is paper suggests a m ethod to so lve th is p rob lem. Key words　V enn diagram , V een circle, independen t even t, cu rvilinear trapezo id. 061 　　　　　　　　　　　　　　工科数学　　　　　　　　　　　　　　第 14 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.