7年级第04讲 奇数与偶数

第一讲 第4讲 奇数与偶数 知识 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 扫描 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。 要注意运用奇数与偶数的下列性质解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ： 1．两个整数的和与差有相同的奇偶性； 2．奇数个奇数的和还是奇数，偶数个奇数的和是偶数； 3．当为n偶数时，(-1)n=1; 当为奇数时，(-1)n = -1. 4．两个整数相加，若加数的奇偶性相同，那么它们的和是偶数；加数的奇偶性不同，那么它们的和是奇数。 5．两个整数相乘，若乘数中有一个是偶数，那么乘积是偶数；如果乘数都是奇数，那么乘积是奇数。 6．奇数≠偶数。 经典例题解析 例1．（1987年天津“中华少年杯”初中数学邀请赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ） 扑克牌中的A，J，Q，K分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示1，11，12，13。甲取13张红桃，乙取 13张黑桃，分别洗和后甲、乙依次各取个各一张牌，使红、黑牌配成13对。证明这13对数的差的积必为一个偶数。 证法1：由于13张牌中的点数有7个奇数，6个偶数，所以当红、黑牌配成13对后，至少有一对数的奇偶性相同，这对数的差是偶数，于是这13对数的差的积必为一个偶数。 证法2：由于13对数的和是0，所以不可能每对数得差都是奇数，否则它们的和 为一个奇数。于是至少有一对数的差为偶数，即这13对数的差的积必为一个偶数。 例2 （1985年北京市初中数学竞赛试题） 某电影院共有1985个座位。某天，这家电影院上下午各演一场电影，看电影的是甲乙两所中学的各1985名学生（同一个学校的学生有的看上午场，有的看下午场），试证明：电影院一定有这样的座位，这天看电影时上，下午在这个座位上坐的是两个不同学校的学生。 证明：甲，乙两校看电影的学生都是1985人，电影院的座位也恰是1985.作如下统计： 上午场 下午场 甲校 n个座位 (1985-n) 个座位 乙校 (1985-n)个座位 n个座位 假设每个座位上，下午坐的都是同一学校的学生。对每个学生上午场与下午场人数应相等，则n=1985-n.即 2n=1985. 等式的左边是偶数，而右边是奇数，这个等式不可能成立。所以，至少存在这样一个座位，上，下午坐的是甲，乙不同学校的学生。 例3．（1981年福州初中数学竞赛试题） 设沿江有A1，A2，A3，A4，A5．A6六个码头，相邻两码头间的距离相等．早晨有甲、乙两船从A1出发，各自在这些码头间多次往返运货．傍晚，甲船停泊在A6码头，乙船停泊在A1码头．求证：无论如何，两船的航程总不相等(假定船在相邻两码头航行时，中途不改变航向)． 证明 六个码头把A1到A6这段水路分成5个小段，设每段水路的长为a，由于船在任意一个码头出发，又返回码头时，往返每小段的水路总是相同的，因此，乙船的航程是a的偶数倍．甲船的航程是从A1到A6再加上各码头之间的往返路程，即5a+a的偶数倍=a的奇数倍，a的偶数倍≠a的奇数倍，故甲、乙船的航程总不相等． 例4．（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题） 你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388 成立吗？ 如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由． 解：找不到满足条件的三个整数理由如下： 如果存在整数a，b，c，使 (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立． 因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数． 不妨设a+b+c为偶数，则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数，同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数．b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数． 因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾． 故不存在三个整数a，b，c满足关系式 (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388． 例5．（第10届全俄中学生数学竞赛试题） 在3×3的 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 （1）和（2）中，每格填有“+”号或“-”号， 然后每次将表格中的任意一行或任意一列的各格全部变号，试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变为另一张表？ 表（1） 表（2） 解 考察两张表中位于左上角的2×2的小正方形，如下图中的黑框所示： 表（1） 表（2） 表（1）中的小正方形中有4个“+”号，实施变号步骤后，“+”号的个数仍然是偶数；表（2）中的小正方形中有1个“+”号，实施变号步骤后，“+”号的个数仍然是奇数。故它们不能从一个变到另外一个。 显然2×2的小正方形互变无法实现，所以3×3的大正方形的互变也无法实现。 例6． （2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题） 小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线l, 他发现：这2007个点中的每一个关于直线 l对称点，仍然在这2007个点中。请你说明：这2007个点中至少有一个点在直线l上。 解 假设这2007个点都不在直线l上。 由于其中每个点Ai(i=1,2,…,2007)关于直线 l对称点Ai’仍在这2007个点中，所以Ai’ 也都不在直线l上。 也就是说，不在直线l上的Ai(i=1,2,…,2007)与Ai关于直线 l对称点Ai’成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾。 因此，“这2007个点都不在直线l上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有一个点在直线l上。 例7 (1985年安徽省初中数学竞赛试题) 设有n个实数：x1,x2,…,xn，其中每一个不是+1，就是-1， 且 ，求证：n是4的倍数。 证明 首先证n为偶数： 因n个实数：x1,x2,…,xn，其中每一个不是+1，就是-1， 所以n个分数： ， ，…， ， 中的每一个不是+1，就是-1。 而这n个分数和为0，所以n为偶数，设n=2k ( k为整数) ，则n个分数中有k个+1，k个-1。 其次证k为偶数： 因n个分数的积为 • •…• • =1， 即(+1)k(-1)k=1 , (-1)k=1,所以k 为偶数，从而n=2k为4的倍数。 例8​ （2000年世界城际间数学联赛初中组试题） 在15×15的棋盘上放置着15个“车”，彼此互不攻击，它们像“马”一样，各行一步。求证：现在有两个互相攻击。 证明：记下每个车的行号和列号．因为彼此互不攻击，行号像列号那样都是各不相同的，所以，在这30个号中，有16个奇数14个偶数，当车移动一马步 时，它的行号改变1，列号改变2，或行号改变2，列号改变1．这样各行一步后，30个号中的15个保持奇偶性，而剩余的15个改变它们的奇偶性．因此移动后，它们之中有16个奇号14个偶号是不可能的．这就意味着一定有两个车互相攻击．． 原版赛题传真 同步训练 一 选择题 1．(2001年全国初中数学联赛试题) 如果a,b,c是三个任意的整数，那么 （ ） (A) 都不是整数 (B) 至少有两个整数 (C) 至少有一个整数 (D)都是整数 1．C 2．（1994年澳洲初中数学竞赛AMC试题） 如果n是整数，那么下列各数中一定为奇数的一个是（ ） （A） 5n （B） n2+5（C） n3（D） n+16 （E）2n2+5 2．E 3．（2001年第16届江苏初中数学竞赛试题） 已知三个数a,b.c中有两个奇数，一个偶数，n是整数。如果S=(a+n+1) (b+2n+2) (c+3n+3)，那么（ ） （A）S是偶数 （B）S是奇数 （C）S的奇偶性与n的奇偶性相同 （D）S的奇偶性不能确定 3. A 因a,b.c中有两个奇数，一个偶数，故a+b+c为偶数，于是(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)= a+b+c+6n+6为偶数，从而(a+n+1)、(b+2n+2)、(c+3n+3)三数中至少有一个偶数（否则其和为奇数）所以S是偶数。 4．（1994-1995学年度武汉等五市初一数学联赛试题） 如果a,b,c都是正整数，且a,b是奇数，则 是（ ）。 （A）只当c为奇数时，其值为奇数 （B）只当c为偶数时，其值为奇数 （C）只当c为3的倍数时，其值为奇数 （D）无论c为任意整数，其值为奇数 4．D 5．（1994年北京市初中数学竞赛） 四个学生进行计算比赛，程序是：在19，20，21，22，…，93，94这76个自然数相邻两个数之间任意添加“+”…“－”号，然后，求其代数和，四个人得到的结果分别是1，153，4106，4260.老师检查后指出，只有一个结果是正确的，则这个结果是（ ） （A） 1 （B） 153 （C） 4 106 （D）4 260 5．C 19+20+21+22…+93+94 可见，这76个自然数相邻两数之间都添加“+”号时，其和为4 294是偶数，由于这76个自然数相邻两数之间任意添加“+”“－”号，其代数和的奇偶性不变，均应是偶数，所以不能得1，也不能得153. 最接近4294的“和数”是将19，20之间填入“－”号，其余均填“+”号，其代数和为 4294－2×20＝4 254 <4260. 因此，4260不可能是这76个自然数经过添加“+”“－”号后所取到的“和数”。因此，正确结果只能是4 106. 事实上，只有93，94之间添加“－”号，其余均添加“+”号，有 19+20+21+22+…+91+92+93－94＝4 106 即 4106是可以取到的“和数”。 故选C。 二 填空题 6．(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题) 若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是________ 6. 290 7．（2003年哈尔滨第26届初中数学竞赛试题） 已知ab+9=x，其中，a,b均为小于1000的质数，x是奇数，则x的最大值是 。 7. 2003 a,b中必然有一个是偶质数2，另外一个应是小于1000的最大质数997，x=2×99×7+9=2003. 8．（2007年第5届创新杯数学邀请赛初一试题） 47个不同的自然数的和是2006，这47个自然数中三最多有 个奇数。 8. 44 设有a个奇数，47-a个偶数，显然a必为偶数。 下面讨论最多有多少个奇数： 若a=46，则1+3+5+…+91=462=2116>2006,不合题意； 若a=44，则1+3+5+…+87=442=1936， 因2006-1936 = 70，故另外三个偶数的和为70（如2，4，64），即符合题意。所以奇数最多为44个。 9.（1985年北京市初中数学竞赛） 在一次象棋比赛中，每个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分， 平局每个选手各记1分，今有4个人统计了这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有____名选手参加． 9. 45 每局比赛不管胜负如何，双方得分的和为2，从而全部得分总数应为偶数，于是只有1980，1984中的一个正确，设有x人参加比赛，则共比赛了 场，总得分为 分，若 不是整数，不合题意； 得x=45，符合题意． 10．（2007年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题） 从1，2，3，…，2006中，至少要取出 个奇数才能保证存在两个数，它们的和为2008 10．504 将1，2，3，…，2006中所有的奇数按和为2008的两个一组配成503组：（1，2007），（3，2005），（5，2003），…（1003，1005）。于是至少要取出504个奇数才一定有两个数同组，它们的和为2008。 三解答题 11．（第36届美国中学生数学竞赛试题） 将奇正数1，3，5，7…排成五列，按下表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？ 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 … … … … 11． 由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列. 12．（1984年全苏数学奥林匹克试题） 若n是正整数（1）有n个整数它们的积等于n，和等于0　求证：n是4的倍数 （2）设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，它们的积等于n，和等于0。 12．（1）证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得 如果n为正奇数，由方程①可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程②右边的0，所以n一定是偶数； 当n为正偶数时，方程①左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程②右边的0，左边的奇数必须是偶数个，偶数至少有2个。所以n是4的倍数。 （2）当n =4k时， 若k为奇数，x1=2, x2=2k, x3=x4=…=x3k=1, x3k+1=x3k+2=…=x4k=-1 其中有一个为2，一个为-2k, 3k-2个为1，k个为-1。 积等于2×（-2k）×13k-2×(-1)k=4k= n，和等于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=0 若k为偶数, x1=-2, x2=-2k, x3=x4=…=x3k+2=1, x3k+3=x3k+k=…=x4k=-1 其中有一个为-2，一个为-2k, k个为1，3k-2个为-1， 积等于(-2)×（-2k）×1k×(-1)3k-2=4k=n，和等于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=0 13．（1981南斯拉夫数学奥林匹克） 一只老鼠偷吃梭长为3，并切成27块单位立方体的立方体奶酪．当老鼠吃完了某一小立方块后，就再吃相邻的（有公共侧面）另一个小立方块．问，这只老鼠能吃遍除正中央那个立方块之外的全部小立方块吗？ 13．除中央那个小立方体外的26个小立方体接国际象棋棋盘方式用白色两色染色，使得恰有2个侧面在大立方体表面的l2个小立方体为白色，而余下14个小立方体为黑色，注意，在任意两个具有公共表面的小立方体中必有一个为白色，另一个为黑色，如果老鼠能吃完所说的26个小立方体，则这些小立方体可以分为13对，每一对有一个白色小立方体，一个黑色小立方体，于是白色与黑色小立方体一样多，不可能，因此老鼠不能吃完所给的小立方体． 14．（2005年河南省初二数学竞赛试题) 环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次。试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次。 14．我们首先说明，将相邻的旗子对调一次，变色次数或不变，或增加2次或减少2次。 显然，如对调两旗同色，则不改变变色数。 以下为了方便，用〇表示红色旗，用△表示黄色旗，可设对调前两旗为〇△，因对调一次只可能影响这两旗相邻旗子的变色数，因此（考虑到对称性），只需考虑如下几种对调前的情形： 〇〇△△，〇〇△〇，△〇△〇，△〇△△（变色数依次为1，2，3，2），将中间两旗对调后变为〇△〇△，〇△〇〇，△△〇〇，△△〇△（变色数依次为3，2，1，2），由此可见变色次数或不变，或增加2次或减少2次。 由原来的变色数46，经过若干次增、减2，现在成为26，故必须经过46与26之间所有的偶数。特别的，必有一刻得到了数28。 15．（首届全国中学生数学冬令营试题） 能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论. 15．证明  将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个. 现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个. 993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993. 因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个. 黑点B=B1+B2=993+2b个， 由于a+b=993不是偶数，所以a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾. 故这种排法不可能.