门头沟区2011年高三年级抽样测试 门头沟区2011年高三年级抽样测试 数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交。 第Ⅰ卷 (选择题40分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合A = , B = ，则A B等于 A. B. C. D. 2.已知 ， ，则 的值是 A. － B. － C. D. 3.等差数列 中， ，则 等于 A. 7 B. 14 C. 28 D. 3.5 4.已知直线 ，平面 ，且 ，那么“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.椭圆两焦点为 ， ，P在椭圆上，若△ 的面积的最大值为12，则该椭圆的
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方程为 A. B. C. D. 6.通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示： 那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有 A. 58万 B. 66万 C. 116万 D. 132万 7.投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为正实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实验，若两次面向上的点数相等我们称其为无效。那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是 A. B. C. D. 8.已知函数 满足： ① ， ，② ， ，则 A. 是偶函数且在 上单调递减 B. 是偶函数且在 上单调递增 C. 是奇函数且单调递减 D. 是奇函数且单调递增 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分． 9.向量 ， 向量 =2，若 ，那么向量 的夹角是 10.一几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的体积是 11.右上图所示为一个判断直线 与圆 的位置关系的程序框图的一部分，在？处应该填上 . 12.在长度为1的线段 上随机的选取一点 ， 则得到 的概率是 . 13.已知函数 ，若 ，则实数 的值是 . 14.已知定义在R上的函数 是周期函数，且满足 ，函数 的最小正周期为 . 三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分） 在 中， 分别为角 的对边，且 （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 ，试判断 的形状. 16.（本小题满分13分） 如图所示， 垂直矩形 所在的平面， 分别为 的中点. (Ⅰ) 求证 ； （Ⅱ）求证 . 17.（本小题满分13分） 已知曲线 满足下列条件： ①过原点；②在 处导数为－1；③在 处切线方程为 . (Ⅰ) 求实数 的值； （Ⅱ）求函数 的极值. 18.（本小题满分14分） 已知双曲线 =1 的两个焦点为 、 ，P是双曲线上的一点， 且满足 ， （I）求 的值； （II）抛物线 的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|. 19.（本小题满分14分） 已知数列 满足以下两个条件： ①点 在直线 上， ②首项 是方程 的整数解， （I）求数列 的通项公式； （II）数列 的前 项和为 ，等比数列 中， ， ， 数列 的前 项和为 ，解不等式 . 20.（本小题满分13分） （I）已知 ， ，求证： ； （II）若 ， ，求证： . 门头沟区2011年高三年级抽样测试 数学（文史类）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D A C C D 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．有两个空的前一个2分后一个3分。 题号 9 10 11 12 13 14 答案 三、解答题：本题共6小题，共80分，解答仅供参考，如有其它解法按相应步骤给分。 15. （本小题满分13分）在 中， 分别为角 的对边， 且 （Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 ，试判断 的形状. 解：（Ⅰ）由正弦定理 及已知，得 …………2分 整理，得 …………3分 有余弦定理 ，得 …………5分 在 中， ，所以 …………7分 （Ⅱ）由正弦定理 及已知，得 …………9分 即 结合 及已知 解得 即 …………12分 因此 是一个等腰钝角三角形 …………13分 16. （本小题满分13分）如图所示， 垂直矩形 所在的平面， 分别为 的中点。 (Ⅰ)求证 （Ⅱ）求证 证明：(Ⅰ)取 中点 ，连结 、 ， 因为 分别为 的中点，所以 ， ，…………2分 又在矩形 中 ，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 …………5分 又， ， .所以 …………7分 （Ⅱ）因为 ，所以 在矩形 中 又 ，所以 ， …………11分 因为 所以 ， 因为 所以 ………13分 17. （本小题满分13分）已知曲线 满足下列条件： ①过原点；②在 处导数为－1；③在 处切线方程为 č(Ⅰ)求实数 的值； （Ⅱ）求函数 的极值. 解 (Ⅰ) 根据条件有 解得 …………6分 （Ⅱ）由(Ⅰ) ， …………7分 令 得 …………9分 的关系如表所示 －1 + 0 － 0 + ↑ 极大值1 ↓ 极小值 ↑ 因此函数 在 处有极大值1，在 处有极小值 。……13分 18. （本小题满分14分）已知双曲线 =1(b∈N*)的两个为焦点F 、F ，P是双曲线上的一点，且满足 ， （I）求 的值； （II）抛物线 的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|. 解 （I）根据题意 ， …………2分， 又， ， ，又|P F |•|PF |=| F F | = ， |P F |<4， 得 在区间（0,4）上有解， 所以 …………4分 因此 ，又 ，所以 …………6分 （II）双曲线方程为 =1，右顶点坐标为（2,0），即 …………7分 所以抛物线方程为 直线方程为 …………9分 由（1）（2）两式联立，解得 和 …………11分 所以弦长|AB|= =16 …………14分 19. （本小题满分14分）已知数列 满足以下两个条件 ①点 在直线 上.，②首项 是方程 的整数解， （I）求数列 的通项公式； （II）数列 的前 项和为 ，等比数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，解不等式 . 解 （I）根据已知 ， 即 ， …………2分 所以数列 是一个等差数列， …………4分 （II）数列 的前 项和 …………6分 等比数列 中， ， ，所以 ， …………9分 数列 的前 项和 …………11分 即 ，又 ，所以 或2 …………14分 20. （本小题满分13分）（I）已知 ， ，求证: ， （II）若 ， ，求证： 证明：（I）构造函数 …………2分 因为对一切xR，恒有 ≥0，所以 ≤0, …………4分 从而得 ， …………6分 （II）构造函数 …………8分 …………10分 因为对一切xR，都有 ≥0，所以△= ≤0, 从而证得： . …………13分
浙公网安备 33021202002483