nullnull1.6 (2) 两个重要极限null二、两个重要极限1. 重要极限是偶函数是 型nullnullIt seems thatnull因为 x 0, 设 x 满足首先假定null作图由图形可知 x 是弧度null因此或null现在设则 于是仍有 null得到因为 由夹逼定理，我们得到极限：我们已经成功地将 sinx/x 夹在 cosx 和 1 之间图形nullwith(plots):M:=4:
A:=plot(sin(x)/x,x=-M..M,y=-1..2):
B:=plot(cos(x),x=-M..M,y=-1..2,color=blue):
C:=plot(1,x=-M..M,y=0..1.2,color=brown):
display(A,B,C,scaling=constrained,thickness=3);backnull注 由得若仍有所以同理null例 求解null例1 求解nullwith(plots):M:=Pi/2:
A:=plot(tan(x),x=-M..M,y=-5..5):
B:=plot(x,x=-M..M,y=-5..5,color=blue):
display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);null例2 求解null推论nullwith(plots):M:=5:
A:=plot(1-cos(x),x=-M..M,y=-.51..3):
B:=plot(x^2/2,x=-M..M,y=-.51..3,color=blue):
display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);null例 求解或令 null with(plots):M:=2:
A:=plot(x*sin(1/x),x=-M..M,y=-1.5..1.5):
B:=plot(1,x=-M..M,y=-1.5..1.5,color=blue):
display(A,B,scaling=constrained,thickness=2);null例 3 求解令 nullwith(plots):M:=1:
y1:=-Pi/1.9:y2:=Pi/1.9:
A:=plot(arcsin(x),x=-M..M,y=y1..y2):
B:=plot(x,x=-M..M,y=y1..y2,color=blue):
display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);null应从本质上认识这个极限《学习指导》p.23null课内练习
解nullwith(plots):M:=20:
y1:=-Pi:y2:=Pi:
A:=plot(sin(x)/x,x=0..M,y=y1..y2):
B:=plot([1/x,-1/x],x=0.1..M,y=y1..y2,color=blue):
display(A,B,scaling=unconstrained,thickness=2);null2. 重要极限是幂指函数先考虑数列极限：nullnull将括号中分母的 n 换为 n+1(1) {xn}的单调性null(2) {xn}的有界性null故 {xn}有界null存在且记nullSwiss mathematician 1737年， Euler证明：e 是无理数
1873年， Hermite证明：e 是超越数（不是代数方程的解）null> evalf(exp(1),10);> evalf(exp(1),100);2.7182818284590452353602874713526624977572470936999
59574966967627724076630353547594571382178525166427> evalf(exp(1),1000);null> evalf(exp(1),3000);null现求先求令则选学null先求令则nullnullnull再求令 x = - t 则null因为所以nullnullwith(plots):plot([(1+1/x)^x,exp(1)],x=0.01..20,y=0..3,color=[red,blue,blue],thickness=[2,2,1]);null例求解令则当时null一般从本质上认识这个极限null《学习指导》p.23null例求解null例4求解null一般（可以证明）null例求解设法化成形式null求另解null课内练习 求解null极限为何很重要?数学家为何想到这样一个奇怪的函数的极限？
这是因为这个极限能反映一些自然增长的规律。
一个典型的例子就是所谓的连续复利问题。
设本金： A0，年利率：r (如 r =1.98%)null连续复利问题
设本金： A0，年利率：r一年后的本利：如果一年记息四次（每季度记息一次）：利率：第一季度后的本利：第二季度后的本利：null一年后的本利：如果一年记息四次（每季度记息一次）：利率：第一季度后的本利：第二季度后的本利：第三季度后的本利：一年后的本利：null如果一年记息12次（每月记息一次）：月利率：一年后的本利：如果每小时记息一次，每秒记息一次，…一年后的本利：如果每天记息一次：null如果一年记息 n 次：每期利率：一年后的本利：设记息次数 n 无限增加，得连续复利的本利一年后null一年后k 年后
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