1.6 极限存在准则 两个重要极限(1)October,20041.6(1)极限存在准则October,2004一、极限存在准则准则I（数列的夹逼准则）设有三个数列：若它们满足条件：（1）（2）则SqueezeTheoremOctober,2004示意图（1）（2）则October,2004（1）（2）则证明October,2004October,2004准则I’（函数的夹逼准则）Supposeinaneighbourhoodofa,wehaveThenwemusthaveThistheoremiscalledtheSqueezeTheore...
October,20041.6(1)极限存在准则October,2004一、极限存在准则准则I（数列的夹逼准则）设有三个数列：若它们满足条件：（1）（2）则SqueezeTheoremOctober,2004示意图（1）（2）则October,2004（1）（2）则证明October,2004October,2004准则I’（函数的夹逼准则）Supposeinaneighbourhoodofa,wehaveThenwemusthaveThistheoremiscalledtheSqueezeTheorem.October,2004GeometricalinterpretationoftheSqueezeTheoremOctober,2004例证明：解等价于由夹逼准则October,2004例求解p.56,题4(2)《学习指导》p.25,例1.22October,2004利用夹逼准则，可以证明下列有用的极限：October,2004例证明：证只需证明：令只需证明：October,2004令只需证明：由夹逼性October,2004准则II（数列的单调有界准则）单调有界数列必有极限。观察：单调递增有上界最小上界：极限：上确界supremumOctober,2004准则II（数列的单调有界准则）单调有界数列必有极限。设{xn}是递增数列：且{xn}有上界：则{xn}收敛，且October,2004October,2004准则II（数列的单调有界准则）单调有界数列必有极限。设{xn}是递减数列：且{xn}有下界：则{xn}收敛，且下确界infimumOctober,2004October,2004BTW确界的存在性？实数的连续性：有上界的实数集必有上确界（最小上界）。有下界的实数集必有下确界（最大下界）。October,2004设{xn}是递增数列：且{xn}无上界：则{xn}发散到正无穷大：October,2004设{xn}是递减数列：且{xn}无下界：则数列发散到负无穷大：October,2004数列极限的单调有界准则可以用来求一些困难的数列极限：有时，我们很难判断一个数列的收敛性，但比较容易判定该数列的单调性和有界性，从而知道该数列的收敛性。October,2004例设证明数列{xn}收敛，并求其极限。证现在来证明我们的观察(1)数列{xn}的单调性首先归纳假设欲证October,2004证(1)数列{xn}的单调性首先归纳假设欲证事实上所以数列{xn}单调递减October,2004(2)数列{xn}的有界性有界性是显然的，因为由数列的单调有界准则，数列收敛。设0是数列的下界。October,2004设（舍去）3是数列的最大下界
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