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线性代数的几何意义.PDF

线性代数的几何意义

sanmu
2011-04-01 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《线性代数的几何意义pdf》,可适用于高等教育领域

wwwbookcom线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义图图解解线线性性代代数数任任广广千千胡胡翠翠芳芳编编著著yxwwwbookcom《线性代数的几何意义》=================================================================================第页共页几几何何意意义义名名言言录录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。笛卡尔算术符号是文字化的图形而几何图形则是图像化的公式没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展那它的进步十分缓慢而且应用范围也很有限但若两者互相结合而共同发展则就会相互加强并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”拉格朗日不会几何学就不会正确的思考而不会正确思考的人不过是行尸走肉。柏拉图无论是从事数学教学或研究,我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明,只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了,我才认为真正懂了。中国当代数学家徐利治wwwbookcom《线性代数的几何意义》=================================================================================第页共页前言为什么要给出线性代数的几何意义作为一名工作十多年的电子工程师作者在想提高自己的专业水平时深感数学能力的重要。随便打开一篇专著或论文满纸的微分方程、矩阵扑面而来。竭力迎头而上每每被打得灰头土脸、晕头转向。我天生就不是搞数学的?我的智力有问题吗?太失望了太伤自尊了。转头看看周围的同行莫不雷同。大多的工程师们靠经验来工作经验靠时间或试验来积累。数学应用的层次最多就是高中水平。也有硕士博士级的牛人但也少见把数学工具在工作中应用的得心应手、手到擒来的。数学工具在科技实践中缺失的严重导致我们的科技创新能力的严重缺失。普遍现象绝对的。返回来想一想我的智力应该没问题重点大学都毕业了能有多严重的问题?所有的工程师们、大学毕业生们的智力也没问题。问题是大家没把数学学好没有真正掌握它。(严重声明:数学绝顶高手和天才们不在我说的范围之内对我等来说它们是极少数的一小撮的火星人对它们只能顶礼膜拜不敢评论。拜完之后有点小嘀咕:为何钱学森还讲中国没有大师呢?难道数学总得一百分的天才不算大师?)。为啥没有在四年的大学阶段学好《线代》呢?要知道学生是通过高考百里挑一录取的智力应是足够正常的。思来想去得到几个原因:教材编的大多不好老师教的大多乏味学生大多有些偷懒因为他们大多不知道这些内容有啥用概念为啥这么叫定理为啥那样推老师为啥像刘谦的魔术一样七推八导就证毕了郁闷多了导致了无语的偷懒。太多的为啥了。既然错不在学生那就是老师的问题了?其实老师也有委屈:教学大纲要求在几十个学时学会如此多的内容不填鸭行吗?在如此短的时间内讲完就不错了哪里还有时间给你释疑解惑。韩愈定义的传道授业解惑的师道中的解惑被迫取消了自己悟道吧。嘿错也不全在老师那里。错在哪里?体制的问题一时半会也解决不了不谈体制的事了。找来找去只有一个大家都可以责备而且没有人抗议的地方就是教材不够好。到大学图书馆(本人主要去深大图书馆)看看哇塞一行行、一列列的教材琳琅满目、浩如烟海。名字叫《线性代数》的教材足有一千多册。打开一本看看跟十八年前的教材内容一样疑问还是没得到解决再打开一本看看内容还是那个内容疑问还是那个疑问…。当浏览到第五百本的时候皇天不负有心人!终于看到了我那个问题的答案了。长出一口气我又陷入了郁闷之中。要知道我至少有十打问题要解决呀上帝。呵西方的上帝来拯救我来了当我浏览到第八百本的时候一本老外编的教材一下子吸引到我那累的发红的心灵之窗。我的天我一阵眩晕问题至少能解决五打。我抱着一本老厚老厚的海外引进教材看呀想呀从此以后我专看老外的书嘿嘿只有一打的问题了。我想《线性代数》这门学科问题应该不大了要知道老外的教材都是引入了当代科技的典型应用案例的代表了本学科最新的国际潮流的。wwwbookcom《线性代数的几何意义》=================================================================================第页共页大学图书馆的读者很多朝气蓬勃的现代感大学生在图书馆里做作业。我很羡慕他们这一代:在开放的图书馆里学生们可以随意的浏览、挑选适合自己的纸资或电子读物。要知道当年我就读的大学图书馆是闭架的每每借书要查半天小卡片查完填好借书单交给工作人员大多得到两个结果:要么书被借完了要么借的书不合适。而且还没有这么多的引进教材参考参考自学的效率大打折扣。扯来扯去千言万语汇成一句话:什么样的《线性代数》学习资料较好较适合中国学生?我想本子的物理尺寸要越薄越好内容要越通俗易懂越好。书本越薄大家学习的信心越强:小样这么点厚度还搞不定你看信心先有了。如果只是容量精简了还不行考试的时候受打击工作中更受打击。如当年我学的《线性代数》课本是同济编的内容是精简到家千锤百炼没一句废话超薄。死记硬背看似搞定了实际是囫囵吞枣。如何通俗易懂还不能多说?我一直认为加上几何意义或者物理意义啥的一步到位搞定。这就是本《线性代数的几何意义》的由来。也是这个本子的目标。目标有了具体如何编写呢?模仿一下科学大德牛顿的口气:从线性代数书籍的浩瀚海洋的沙滩上(还没有更高的能力去远洋、去深海处)用一双自己的眼睛寻找到了一个个闪闪的小珍珠一片片如玉的小彩贝然后细细的打磨和擦拭拂去沙尘使它们重放光彩用一根几何意义的锦丝穿就了这本《线性代数几何意义》的项链献给热爱思考、痴迷于创造的人们。呵呵自不量力终极目标而已但意思还是有了。重要的几何直观意义在学习中一旦碰到较抽象难懂的概念或定理如何搞定?几个办法:一个是看推导过程推导可以加强你相信它的信心并连通你原有的知识体系。如果推导把你弄昏了只好弄懂它的几何意义或物理意义啦。几何意义或者讲几何解释会和人们看到的平面和空间中物体几何外观联系起来几何上说的通物理上也就说得通几何意义和物理意义本质上是一回事(如果你不信物理和几何是一回事就想想爱因斯坦想想相对论)因此大家就相信了就会和大家大脑中的经验和原有知识网络连通一下子就“懂了”满心欢喜的原来是这么一回事。真理总是简单的和直观的一位先贤说不管多么复杂高深的数学理论总有其直观的背景不管多么繁难深奥的定理其证明总有一个简单而直观的中心思想。几何图形能以其生动的直观形象给人留下深刻的印象。可以这样说在数学中再没有别的什么东西能比几何图形更容易进入人们的脑海了。从宏观上看一种数学理论(包括它的主要概念和方法)往往都有其直观的背景它们或者是从对某些特殊的事例的观察分析中得到的或者是直接从几何图形中看出的或者是从已有的结果类比联想引来的从几何直观上分析问题的能力首先是指对于一种数学理论能“洞察其直观背景”。对于它是如何被发现的或如何形成的作出合理的解释或猜测。一句话皇皇巨著的理论特别是抽象的数学理论的核心常常可以从几何意义的角度得到解释。wwwbookcom《线性代数的几何意义》=================================================================================第页共页从微观上看关于某一个具体定理的证明国外的数学教育家波利亚曾经说:“一个长的证明常常取决于一个中心思想而这个思想本身却是直观的和简单的”。因此从几何直观上分析问题的能力也包括找出证明中的那个关键的简单而直观的思想也就是象希尔伯特所要求的能透过概念的严格定义和实际证明中的推演细节“描绘出证明方法的几何轮廓”。大师庞加莱和阿达玛关于数学领域的发明创造的观点也认为数学创造发明的关键在于选择数学观念间的“最佳组合”从而形成数学上有用的新思想和新概念而这种选择的基础是“美的直觉”。在这种美的直觉中也就是在追求某种对称性、和谐性、统一性、简洁性和奇异性当中以及在某种联想、猜想、假设及非逻辑思维中几何直观具有头等重要的意义。事实上很多数学家都是先利用几何直观猜测到某些结果然后才补出逻辑上的证明的。这正如我国著名拓扑学家张素诚先生所说的对数学中的许多问题来说“灵感”往往来自几何表达的简洁靠代数计算的精确靠分析。嘿嘿看看上面的数学上的历史牛人的观点几何形象直观的意义何等重要。其实大家都知道几何意义的重要我们在小学和中学的学习阶段老师常常也讲一些抽象概念所对应的几何意义为何到了大学我们的大脑就一下子高度抽象起来了?把形象仍得远远的象瘟疫一样躲着他?目的是训练抽象思维?最终实际结果呢?不可否认大学毕业后大家确实是抽象了抽象得只会夸夸其谈讲理论不会干具体活了。既然你具体的活计不会干那干脆就专搞抽象的理论去嘛结果也搞不了为啥?只会做做过的抽象的数学题不会发明创造没学会真正的抽象真是越抽象越糊涂。我觉得抽象和形象是相辅相成缺一不可的。由形象而抽象再由抽象到形象人的知识结构螺旋架才能旋转而上达到越来越高的知识峰巅。如何使用这本书拼命阐述几何直观在数学学习中的重要意义但这并不意味着可以否定逻辑推理论证的重要作用。实际上单纯地依据直观而导致错误的数学例子真是数不胜数。概念或定理的几何直观解释往往并不等同于原来的概念或定理。运用几何直观可以帮助我们猜想但猜想并不能代替证明只有经过一步步严格的逻辑论证以后才算给出了证明。形象或直观和抽象本来是一切科学的两面。只是近年来过分强调了抽象思维能力的训练而忽视了几何意义的解释。反过来我们不能只强调了几何意义而丢掉了计算和推导。因此建议读者:z初学者从几何意义入手轻松而迅速理解和把握线性代数的基本概念和定理几何本质建立对线性代数的感性认识具备了理解复杂及抽象数学的能力。z然后在回到现在的抽象的线性代数的教材短时间内构筑个人的线性代数的知识体系的“向量空间”通过适量的习题训练巩固解决具体问题的动手能力。此时具体与抽象一体理想与现实齐飞。您已经成为线性代数的高手和大牛。注:本文中几何意义和几何解释的文字意思没有根本区别一般对于数学概念的对应的几何图形而言称为几何意义而对运算、变换的过程可对应几何图形的变化过程称为几何解释。wwwbookcom《线性代数的几何意义》第一章什么是线性代数?这一章的内容主要是想对线性代数的大的概念如线性函数、映射和线性变换以及线性代数的发展简史和应用作一简要介绍本章的目的是让读者知道我们所学的线性代数的实质是什么到底有什么用。线性代数是代数学乃至整个数学的一个忒重要的学科顾名思义它是研究线性问题的代数理论。那么什么是代数呢?代数英文是Algebra源于阿拉伯语其本意是“结合在一起”的意思。也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”也就是进行抽象。抽象的目的不是为了显示某些人智商高而是为了解决问题的方便为了提高效率把许多看似不相关的问题化归为一类问题。比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间(对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合)而其元素被称为向量。也就是说只要某个集合里的元素满足那么几条公理元素之间的变化满足这些规律我们就可以对这个集合(现在可以改名为线性空间了)进行一系列线性化处理和分析这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样地球人都知道(如果地球人都学了线性代数的话)。多么深刻而美妙的结论!这就是代数的一个抽象特性。注:“代数”这一个词在我国出现较晚在清代时才传入中国当时被人们译成“阿尔热巴拉”直到年清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”一直沿用至今。既然这个具有特性的集合叫线性空间顾名思义当然具有直观的几何意义。线性来源于直线的几何概念空间来源于二维平面或三维的立体的几何概念。让我们真正幸运的是所有的五花八门的线性空间(这些线性空间大多隐藏在我们的物理世界中而难以发现比如隐藏在电子电路世界里面的由电阻、电感或电容组成的电路网络比如隐藏在高等数学里面的满足微积分运算的数的集合等等)都可以和实数域上的线性空间nR同构。什么意思?就是所有类型的线性空间都和直线、平面、三维立体以及高维正交空间的变换性质一样所有类型的线性空间里的元素都可以和nR空间的点(向量)相互对应。一句话nR空间就是所有的线性空间的几何意义或几何解释。实际上本书对线性代数进行几何意义上的解释正是从向量和二维和三维的实数线性空间R和R的角度全面解读的。那么线性问题又是什么样的问题呢?在大家的科技实践中从实际中来的数学问题无非分为两类:一类线性问题一类非线性问题。线性问题是研究最久、理论最完善的而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。因此遇到一个具体的问题首先判断是线性还是上非线性的其次若是线性问题如何处理若是非线性问题如何转化为线性问题。=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》下面我们通过介绍几个主要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。“线性”的意义线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义强调了函数的变量之间的变换的意义。线性函数的概念线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同(高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例)。在中学的初等数学里我们知道函数bkxxf=)((k,b是不变量)称为一元线性函数因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线就是变量(包括自变量和因变量)之间的关系描述为一条直线所以把这种函数形象地称为“线性”函数(如图)如果b这个函数的外观就变成的形式了这是一条过原点的直线如图中直线=kxxf=)(L。显然过原点的直线是最简单的线性函数。xyLLL线性函数的图像在大学的代数里面为了线性函数的进一步推广(如推广至双线性函数、多线性函数、线性空间、线性泛函…)的远大未来我们忍痛割“尾”把一元线性函数bkxxf=)(的割舍掉成了的形式。bkxxf=)(呵呵简单点说只有过原点的最简单的直线kxxf=)(才被称为一元线性函数。为什么?只因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求(这又是为什么本书的后续章节会告诉你如果你有兴趣继续读下去的话)。=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》线性函数表现为直线这只是几何意义。那么所谓“线性”的代数意义是什么呢?实际上最基本的意义只有两条:可加性和比例性。)可加性:即如果函数是线性的那么有:)(xf=================================================================================第页共页)()()(fxxfxfx=一句话:和的函数等于函数的和。、比例性:也叫做齐次性、数乘性或均匀性即如果函数是线性的那么有)(xf()()fkxkfx=其中k是常数。一句话:比例的函数等于函数的比例或者说自变量缩放函数也同等比例地缩放。注:对于函数而言不满足此比例性baxxf=)(()fkxakxb=因此()kfxakxkb=()()fkxkfx≠。严格的讲baxxf=)(不能再叫线性函数了。可加性与比例性组合在一块就是“线性”的全部意义了即有()()()fkxkxkfxkfx=其中是常数。,kk一句话:线性组合的函数等于函数的线性组合。可加性和比例性的物理意义是什么呢线性函数的可加性表明函数所描述的事物具有累加性所有起因的累加所导致的结果完全等于每个起因独自所引起的结果的累加。可加性看起来简单似乎没有内涵其实它界定了所描述的事物是线性还是非线性的。举两个例子:一个是晶体管放大器晶体管的电流放大特性分三个区间截止区、线性区和饱和区。在线性区里面基极电流是mA则集电极电流就是mA(设晶体管电流放大倍数是)如果基极电流是mA则集电极电流就是mA。进一步地如果输入的基极电流是mA(mA和mA相加)则集电极电流就是mA和mA之和mA。线性区里面的电流放大过程满足可加性。但在其它两个区里面就不满足这个可加性如饱和区当基极电流是mA时设集电极电流是mA(不是mA因为不在线性区。又设晶体管饱和电流是A~A)当基极电流为mA,设集电极的合理电流是mA好了输入两个电流的和mA那么集电极电流就只有mA而不是mA和mA之和因为达到了集体管最大的饱和电流了电流增加不上去了。饱和区失去了放大电流的累加性。一个是人力资源的故事例子呵呵属于小学一年级级别的脑筋急转弯:王五在旧上海滩的码头上扛货物麻袋一天能扛袋。好梦不长几个月后陈阿真也来扛麻袋了谁?就是干了虹桥道wwwbookcom《线性代数的几何意义》馆那件大快人心的事后为了躲避追捕也跑到码头上混迹的陈真大侠韬光养晦化名陈阿真一天可以扛袋麻袋。好了问个问题:王五和阿真两个人一天能抗多少个麻袋?“袋!”天真率性同学们思维很线性“袋加袋就是袋嘛”。不对(对了就不是脑筋急转弯了)据有好事者统计俩人第一天一共扛了袋麻袋第二天一共扛了袋麻袋。怎么回事?原来人力的事情不是线性问题而是非线性的问题:第一天两人摸不透对方的脾气和底牌为了保住岗位各施功夫互相竞赛王五扛了袋阿真扛了袋合计袋第二天两人一想靠这样下去还不累死掉一山不容二虎给对方捣蛋弄走对方。于是两人便扛麻袋边向对方施展拳脚内耗了一天共扛了袋。总结一下线性的可加性既是没有互相激励的累加也是没有互相内耗的累加。一加一就是二既不大于二也不小于二(对不起哈一不小心证明了哥德巴赫猜想)。比例性是啥物理含义呢?比例性又名齐次性说明没有初始值比如电路没有输入信号时输出也为零有几倍的输入量刚好就有几倍的输出量增量是倍数关系存量也是倍数关系。实际上高等的线性概念正是从最简单的比例函数进行推广的在大学所学习的线性代数里的线性函数概念被扩展成一个多元线性方程组所表示的一个对应关系。如方程组=================================================================================第页共页nnnnnmmmnykxkxykxkxykxkx=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩(是不变量)mnkk是由m个n元线性函数组成的而且这m个线性函数还是齐次函数他们全部过原点。看看高等概念的线性函数是由初等的最简单的过原点的直线扩展来的如果mn=那么这个方程组所确定的几何图形也是一条“直线”!而且这个直线也是过原点的。(mn≠的图形是平面或超平面的平面是多线性的)注:线性齐次函数形如nnxkxkxky=这个正比例函数的式子中每项里的变量出现的次数都是一次的(没有常数项)整齐划一故此称为“齐次”的全称为n元线性齐次函数。把n元齐次线性方程组称为线性函数有点信心不足看起来方程组和单个方程差别挺大的。其实我们也可以把它们写得形式一致:重新定义变量就可以把它改写成初等数学中的线性函数的形式了。这个重新定义的变量就是向量扩展如下:kxxf=)()初等线性函数的自变量由一个数x扩展定义为一个竖排的数组mxxx⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎟因变量一个数也扩展ywwwbookcom《线性代数的几何意义》=================================================================================第页共页⎟定义为一个竖排的数组这些n元数组和m元数组称之为列向量。myyy⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠)初等线性函数的比例系数扩展为由所有的构成一个的数的方阵称之为系数矩阵如下:kijk,,,,,,nnmmmnkkkkkkkkk⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦)然后我们定义了一种系数矩阵与向量相乘的运算法则(在“矩阵的几何意义”一章中介绍)使我们可以把上述的线性方程组改写为如下形式:,,,,,,nnmmmmmnkkkyxykkkxyxkkk⎡⎤⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎢⎥⎜⎟⎜⎢⎥=⎜⎟⎜⎢⎥⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎣⎦⎞⎟⎟⎟⎟⎠。)上式的形式为进一步简写为:()f=yx=Kx这里:()myyfy⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠yx,,,,,,nnmmmnkkkkkkkkk⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Kmxxx⎛⎞⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x⎟。到了这里我们终于看到初等线性函数和高等线性函数的概念终于得到了形式上的统一。多元线性函数的几何意义在前面的线性函数的推广中从一元线性函数一下子推广到了n元线性函数组跨度有点大了。下面补一下中间过程的课探讨一下从一元线性函数如何推广到n元线性函数的。首先我们看看从一元线性函数kxxf=)(拓展到二元的线性函数(,)fxxkxkx=的几何解释。这个几何解释并不是唯一的目的是让读者认识和理解线性的概念。拓展的第一步坐标系由二维扩展到三维:kxxf=)(的直线图形是在二维笛卡尔坐标下给出的几何图形把它放到三维笛卡尔坐标系下wwwbookcom《线性代数的几何意义》其函数表达式应写为(,)fxxkx=或者(,)fxxkx=。不失一般性我们取(,)fxxkx=为的扩维表达式。kxxf=)(我们知道(,)fxxkx=的图形是一个过原点的平面。扩维后由一根直线变成了一个平面。这是因为函数(,)fxxkx=与新生长出来的坐标轴x没有关系x可以取任意值换句话说x的任意值都在函数(,)fxxkx=的图像上。进一步说这是一个过x坐标轴的平面。=================================================第页共页================================xf(x,x)xxf(x)xf(x,x)xf(x)=kx的直线扩展第三维坐标轴xf(x,x)=kx图形扩展成平面形象的扩展过程可以这样想象:二维平面坐标系里有一根直线图形这时有x轴过原点以垂直于坐标系~()xfx的平面向右方向(右手系)生长出来然后原来的那条直线()fxk=x沿着坐标轴x方向向右滑动无数个平行的直线被x轴象竹帘子一样串起来平铺得到了(,)fxxkx=的平面。这个平面是由无数的直线铺成的因此平面也是“线性”的。拓展的第二步两个平面加起来:显然要得到函数(,)fxxkxkx=的图形只要把三维坐标系下的两个函数(,)fxxkx=和(,)fxxkx=所对应的图形加起来即可得到。一般情形下两个平面相加仍然是一个平面。如下图示。F(x,x)=kx的平面F(x,x)=kx的平面wwwbookcom《线性代数的几何意义》F(x,x)=kxkx的平面因此线性函数(,)fxxkxkx=的几何图形是一个过原点的平面。可以想象由二元线性函数(,)fxxkxkx=继续扩展到三元及n元的线性函数(,,)nnnfxxxkxkxkx=(坐标系由三维扩展到四维及其n维)后其几何图形仍然是一个“平面”是一个扩展意义上的平面常被称为超平面。如来佛陀是一位伟大的几何学家理解多维空间由三维扩展到四维的空间的确难以想象我想给出个人的几点认识供读者参考:、对于笛卡儿坐标系二维坐标系的两个坐标轴互相正交并构成一个平面空间三维坐标系的坐标轴互相正交且第三个坐标轴垂直于其余两个坐标轴平面三个坐标轴构成一个立体空间则四维坐标系中的四个坐标轴互相正交第四轴必然与其余的三维立体空间垂直四个坐标轴构成一个超多面体空间…、四维空间的物理解释就是爱因斯坦的时空理论三维物理空间之外增加了一个与之垂直的时间轴(垂直或正交的意思应理解为不相关时间和空间在低于光速的尺度内就是没有关系的两个事物这就是牛顿的世界)。你作为一个有生命周期的高级动物实际上是个四维动物因为你的肉体既占有了一个三维小空间同时又占有了另外一维的时间轴上的一段。、N维空间的出现实际上是人们在抽象他所观察到的宇宙事物时出现的概念。在一个银河系外的观察者看来太阳系不过是视界平面上的一个点当这名观察者快速逼近太阳系时这个二维平面上的点逐渐变成了三维的太阳系空间同样此时的地球在观察者的二维视界平面上也是一个点而已当观察者来到地球外的大气空间时地球已是一个三维球体了而一个人同样在观察者看来是一个点而已,如果观察者继续体察入微将会逐步的看到人的身体身体上的细胞染色体原子原子核等等这是一个空间套着一个空间的N维空间大的三维空间套着无数个小的三维空间空间。如来佛陀绝对是一位伟大的几何学家因为n多年前他老人家就率先说过一粒沙子就是一个大千世界。=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》、实际上在以后的线性代数学习中坐标轴的正交不是必须的取消了正交的要求后我们在平面上就可以画出来大于四维以上的空间来了你就理解了由n个向量张成的n个空间的理论进而想象高维空间的图像也就不是一个困难的事情了。到此我们明白了多元线性函数的“线性”不能单纯的理解为空间中的一条直线了根据上面的讨论把线性函数几何图形想象成一个平面更有代表性。实际上把n个n元线性函数组成一个满秩方程组才能表示为一条直线。线性函数中含有的参数少涉及的运算简单仅为加法和乘法便于运算是变量数学中最简单的函数但另一方面许多复杂的函数都可以在一定范围和精确度下近似地用线性函数来表示所以线性函数又是变量数学中最重要的函数。线性映射或变换的几何意义线性映射的几何意义前面说初等线性函数和高等线性函数的表达式一致因此线性函数的概念形式上是统一的。这种统一在数学的实质意义上也是一致的就是函数的“线性”实质上就是指变量之间的“线性关系”。kxxf=)(()fx=Kx我们再来回味一下这句关于线性函数中心性质的话:线性组合的函数等于函数的线性组合详细说来就是如果自变量从x变换为自变量的线性组合kxkx时其函数也从()fx变换为函数的线性组合()()kfxkfx。因为函数的本意是因变量与自变量之间的对应关系所以“线性”的本质就是因变量与自变量之间始终保持组合形式不变的一种对应关系我们把这类特殊的对应关系称之为“线性关系”。因此我们所说的“线性”实质上就是指变量之间的“线性关系”。实际上我们可以引入一种运动的思想把函数看成一种变换一种映射一种从自变量的集合对应变换到因变量的集合的瞬间过程。这正是线性代数的一个中心思想之一。对于初等的线性函数而言我们需要改变中学老师谆谆教导。中学老师说线性函数的几何图形是所有满足关系式的点所累积起来的图形。这个静态的图形概念需要改造改造。要在这里加入变换或映射的动作(注意:是动作一个瞬时的变化动作只有开始和结果)并突出表达这种变换和投射的关系我们把表达式kxxf=)(kxy=),(yxkxxf=)(改写成表示为一个从自变量数的集合x到因变量数的集合的映射表示两个集合里的自变量:,Tk→xyxaxx:T→xyykxax到因变量之间具体的对应变换关系。y如果我们给出一个映射的集合示意图则有如下图所示。=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》xyyxyxk>k=k<大于的实数小于的实数图中给出了一元线性齐次函数kxxf=)(当k取不同的数时的映射对应关系。在三个图中有一个共性就是元素必然映射到元素。在集合上建立坐标系用坐标系里的点表示集合里的元素就可以把映射关系几何化了。对于一元线性齐次函数集合和集合都是实数。大家知道一个实数域可以用一根坐标轴就可以表示了。因此集合的坐标系就是一根轴写为kxxf=)(xyxx轴集合的坐标系也是一根轴写为y轴。这样我们就可以用坐标轴上点之间的映射来替代上图集合的映射表示法。yxyxyxyK<K=K>如果把两个坐标轴的原点进行重合(因为元素必然映射到元素)如果再把两个坐标轴的夹角调整到π角就得到了笛卡尔平面坐标系了(线性代数的里面讲的线性空间坐标系的坐标轴可以是任意非零的夹角)。他用带箭头的线段连接起来则有下图所示(下图中只画出了的映射情况)。kxaxk>=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》yxyxkkkbb'a'a如上图左x轴上的点和等等分别映射到轴上的点和等等。aby'a'b如果把点a、、和分别与原点连起来就会得到线段。于是线段映射到线段线段映射到线段。到这里我们有了一个暂时的总结:线性映射就是把线段映射到线段。如果我们把线段改称为向量的话这个总结就是:线性映射就是把向量映射成向量。线性映射把向量变成另外一个向量或者说把“线”变成“线”因此得名。'ab'b,,','ababa'ab'b当然这个线性映射也满足线性的可加性和比例性的性质:可加性就是x轴上的两向量的和映射得到的轴向量等于两个yx轴向量分别映射得到的轴向量的和比例性就是yx轴向量的倍数映射到的轴向量等于yx轴向量映射的轴向量的倍数(上图右给出了例子)。y用一般的数学表达式来描述线性映射的定义就是:()()TTTkkTTαβαααβ==其中,αβ是向量。注:你看这里T本来表示一种线性映射的动作关系(或函数关系)但在上式中就像一个实数或变量一样参与运算。如()TTTαβα=β就像乘法对加法的分配律一样展开运算因此T在这里也叫线性算子。具体的算子比如有微分算子积分算子拉普拉斯算子等。对于高等的线性函数而言实际上也有同样的结论。我们把表达式改写成表示为一个从自变向量的集合到因变向量的集合y的映射。()fx=Kx()fx=Kx:,T→xyxkaxyxyaaxybbx⎛⎞⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠:T→xx为了方便看到的几何解释我们看看二维的线性函数式::,T→xyxka===========================================================第页共页======================wwwbookcom《线性代数的几何意义》下面我们给出一般情况下的映射图像(细节在后续的章节里有详细描述)。因为向量x和都是二维向量所有任意的向量的集合将构成平面yxπ在平面π上构建二维坐标系为xx所有任意的向量的集合构成平面yπ在平面π上也构建二维坐标系为yy。所以二维线性函数就构成了两个二维平面之间由矩阵aabb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K所确定的映射关系如下图。ππxxyyK平面π的原点始终映射到另一个平面π的原点这是线性映射的最基本要求。为了更紧密地观察映射之间的关系我们把平面π放平并使两个平面的原点重合就得到了一个由两个相交平面所构造的三维空间。下图中把平面π上的向量标注为把平面xiαπ上的向量标注为(为了和坐标系的标注区别开来)。yiβ=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》ππππyxβαxyyxβαxyβα上图左表示了矩阵K把平面π上的一个向量映射到平面απ上的向量也即线段映射为线段。β图右给出了把一个向量比例放大到倍后被矩阵映射到平面αKπ上的向量这满足线性映射的比例性。实际上不论矩阵K的元素是什么实数对于任意的矩阵K都有这个结论。因为:β,()→=→==αKαβαKαKαβ对于线性可加性我们也给出了图形如下图。=================================================================================第页共页ππyxβαxywwwbookcom《线性代数的几何意义》由上图看出由于向量的平行四边形加法决定了一个平面上的平行四边形被矩阵映射成为另一个平面上的平行四边形这两个平行四边形可能全等可能相似大部分情况下既不全等也不相似。前面我们讨论了一个向量的映射或者是两个向量的和的映射情况。如果由无数等长而异向的向量构成的一个园那么这个园会由某一个矩阵映射成什么图形呢?实际上可以被映射成圆、椭圆或者一根线段特别情况下被映射成一个点(这个点必然落在原点上)。大多数情况被映射成一个椭圆如下图。ππyxβαxy在这里把线性函数中的变量看成了一个图形“圆”而不只是一个向量那么函数值()fx=Kxx()fx也就成了一个变换后的图形“椭圆”。把一个线性映射放到二维平面及三维空间中去考察细心揣摩其几何意义就不难理解概念的本质。例如数乘变换()kσα=α我们可以把α看作一个几何图形在就是对k>α放大倍在时就是kk<<α缩小倍。当时就是把kk=−α反方向变化。=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》从上面的例子还能够分析出当k=时的数乘变换实际上就是关于坐标原点的对称。线性变换的几何意义在大多数的教科书中线性映射和线性变换被区别为两个概念。如果映射是发生在一个集合上的同一个坐标系中线性映射就被称为线性变换。线性变换作为线性映射的特例就是把集合上的两个坐标系合为一个。如果把二维平面圆的映射整合成变换的例子如下如图所示。ππyxβαxyαxxβ把整合后的图形用直角坐标系画出图形就是:xxαβ直角坐标系下的图形清楚地显示了一个图形圆被线性变换为一个椭圆。相应的圆上的一个向量映射为椭圆上的向量。αβ=================================================================================第页共页wwwbookcom《线性代数的几何意义》在线性代数中我们主要是讨论由矩阵所决定的线性变换的各种特性。下面看两个具体的线性映射的例子:在平面上所有从原点出发的向量构成的二维线性空间中把所有向量绕原点作同样角度的旋转是一个变换。不难看出这时向量α和β的和αβ旋转所得到的向量()'αβ恰好等于α和β旋转所得到的向量'α和'β之和''αβ数k与向量α的乘积kα旋转所得到的向量k'α恰好等于数k与向量α旋转所得到的'α的数乘积k'α。这就是说()'''=================================================================================第页共页αβ=αβ()k'α=k'α。另一个例子:在建立了空间笛卡尔直角坐标系的三维向量空间中把每一个向量投影在坐标面xy上也是一个变换(投影变换)这时向量α=(abc)在此变换下的象为'α=(ab)显然这时也有()'αβ=''αβ'()kα=k'α。zyxαα'cba(a,b,c)(a,b,)这两个变换有一个共同的性质:两个向量之和变换后所得的向量恰好是把这两个向量变换后所得向量之和数k与一个向量数乘后进行变换所得的向量恰好是数k与把此向量变换后所得向量的乘积。此即所谓

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线性代数的几何意义

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