麦克斯韦方程微分形式的推导

麦克斯韦方程微分形式的推导物理与工程　Vol. 15 　No. 6 　2005 教学经验交流麦克斯韦方程微分形式的推导胡鸿奎　张占新 (河北理工大学信息学院电子系 ,河北唐山　063009) (收稿日期 :2005202205) 摘　要　由麦克斯韦方程的积分式出发 ,利用了数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦方程的微分形式. 关键词　麦克斯韦方程 ;散度 ;旋度　　麦克斯韦方程是电磁学所遵循的基本规律 , 它不仅揭示了电磁场的内部作用和运动 ,而且还在理论上预言了电磁波的存在 ,并指出电磁场可以独立于电荷...

物理与工程　Vol. 15 　No. 6 　2005 教学经验交流麦克斯韦方程微分形式的推导胡鸿奎　张占新 (河北理工大学信息学院电子系 ,河北唐山　063009) (收稿日期 :2005202205) 摘　要　由麦克斯韦方程的积分式出发 ,利用了数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦方程的微分形式. 关键词　麦克斯韦方程 ;散度 ;旋度　　麦克斯韦方程是电磁学所遵循的基本规律 , 它不仅揭示了电磁场的内部作用和运动 ,而且还在理论上预言了电磁波的存在 ,并指出电磁场可以独立于电荷之外存在. 这样就加深了学生对电磁场物质性的认识. 在大学物理课程中 ,通常只给出麦克斯韦方程的积分形式　 ∮S D ·dS =∫VρdV ∮l E ·d l =∫S - 5B5 t ·dS ∮S B ·dS = 0 ∮l H ·d l =∫S j + 5D5 t ·dS 学生在应用时 ,只有在少数对称情况下才能将场变量 E和 B 提出积分号外 ,应用麦克斯韦方程. 在电动力学课程中 ,需要将麦克斯韦方程改写成适用于空间一点的微分形式. 由积分式到微分式通常是由数学公式　∮S A ·dS =∫V Δ·AdV ∮lA ·d l =∫S Δ×A ·dS 一步导出. 这会使一些数学功底较差的学生理解上有困难. 本文由麦克斯韦方程的积分形式出发 , 利用高等数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦方程的微分形式 ,推导过程简单易懂 ,使学生接受起来更为容易. 　　散度的推导如图 1 所示 ,在场空间建立一直角坐标系 ,取一立方体体积微分元 dV ,则 dV = d xd yd z ,取立方体中心坐标 O′( x、y、z) ,设中心点电位移 D 的三个分量为 ( D x 、D y 、D z ) ,则在与 x 轴垂直的两个平面 1、2 上 , D 在 x 轴上的分量为 D1 x = D x + 5D x5x d x2 D2 x = D x - 5D x5x d x2 图　1 穿过平面 1、2 的电位移通量为 dΦx = D x + 5D x5x d x2 d yd z - 　 D x - 5D x5x d x2 d yd z = 5D x5x d xd yd z 同理可得穿过与 y、z 垂直面 d xd z、d yd x 的通量为 dΦy = 5D y5y d xd yd z dΦz = 5D z5z d xd yd z 由上面结论可得 ,通过体积元 dV 的边界面的电位移通量为 dΦ = dΦx + dΦy + dΦz 95 物理与工程　Vol. 15 　No. 6 　2005 = 5D x5x + 5D y5y + 5Dz5z d xd yd z 由高斯定理积分式∮S D ·dS =∫VρdV , 可得 ∮S D ·dS =∫V dΦ =∫V 5D x5x + 5D y5y + 5D z5z dV =∫VρdV 所以 ,由上述可得电位移的散度公式为5D x5x + 5D y5y + 5Dz5z =ρ或 Δ·D =ρ (1) 应用同样的方法可推导出磁感应强度的散度公式 Δ·B = 0 (2) 　　旋度的推导如图 2 所示 ,在场空间建立一直角坐标系 ,在坐标系中取一与 z 轴垂直的矩形面积元 dS ,取矩形中心坐标 O′( x、y、z) ,设中心点磁场强度 H 的三个分量为 H x 、Hy 、Hz ,则在 1～2、3～4 边上磁场强度 H 的 y 轴分量分别为 H y12 = H y + 5 H y5x d x2 H y34 = H y - 5 H y5x d x2 图 2 在 2～3、4～1 边上磁场强度 H 的 x 轴分量分别为 H x23 = H x + 5 H x5y d y2 H x41 = H x - 5 H x5y d y2 由环路定理积分式∮l H ·d l =∫S j + 5D5t ·dS 可得 ∮l H ·d l =∫H y12 d y - ∫H x23 d x - 　∫H y34 d y +∫H x41 d x =∫5 H y5x - 5 H x5y d xd y =∫j + 5D5t ·dS =∫j + 5D5t ·d xd y z^ =∫j z + 5D z5t d xd y 所以 5 H y5x - 5 H x5y = j z + 5D z5t 同理可得 5 H z5y - 5 H y5z = j x + 5D x5t5 H x5z - 5 H z5x = j y + 5D y5t 上面三式求和可得磁场强度的旋度公式为 Δ×H = j + 5D5t (3) 应用同样的方法可推导出电场强度的旋度公式 Δ×E = - 5B5t (4) 至此 ,从麦克斯韦方程的积分形式出发 ,利用了数学中的简单极限理论推导出麦克斯韦方程的微分形式 (式 (1) ～ (4) ) . 利用麦克斯韦方程的微分形式 ,可以更好地分析和研究电磁场理论及其应用. 参　考　文　献 [ 1 ] 　郭硕鸿. 电动力学　第二版. 北京 : 高等教育出版社 ,1997 [ 2 ] 　陈世民. 电动力学简明教程. 北京 : 高等教育出版社 ,2004 [ 3 ] 　马文蔚. 物理学　第四版. 北京 : 高等教育出版社 , 1999 征登广告本刊承办刊登关于教学仪器、高新技术产品和新书出版等广告 , 欢迎有关公司、厂家及各界人士与我刊联系 ,商洽广告业务 ,我们一定信守合同 ,并以优惠价格收取费用. 联系办法详见封四. 06

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