第二章运动的守恒定律(完全版1)

nullnull第2章 运动的守恒量和守恒定律(6) 内容提要 功、势能 功能原理 机械能守恒定律 动量守恒定律 角动量及守恒定律null引言牛顿运动定律是 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达质点运动的基本规律.大家将看到:牛顿运动定律 实际上,能量、动量和角动量是描述运动时更为基本的物 理量。这三条定理和三条守恒定律都着眼于过程，牛顿运 动定律着眼于瞬间状态，这三条定理和三条守恒定律具有 更广泛的意义。他们既适用于宏观世界，又适用于微观领 域；既适用于实物，又适用于场。null 前面知道：物质运动有多种形式．有机械运动、热 运动、电磁运动等，而且各种运动可以相互转化。能量 就是统一量度各种形式的运动相互转化的数量关系的物 理量。现在，首先研究机械能。null：由物体的相对位置决定的能量：由物体的运动决定的能量 物体的位矢和速度决定了系统的机械运动状态。物 体的机械状态一定，机械能一定。机械运动状态变化， 机械能变化。 机械能变化了多少，取决于力对物体做了多少功。null 一.质点系 的内力和外力 质点系(系统)—作为研究对象的质点的集合。 内力—系统内各质点间的相互作用力。 外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。 内力的功这一对内力所作的元功之和为§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理null这一对内力所作的元功之和为 (2)因相对位移和相对元位移与参考系无关，故一对内力所作的功之和也与参考系无关。　　　　可见，一对内力的元功之和仅与两质点的相对元位移有关。null 将三角板(质点系)抛出，三角板(质点系)中有一点c始终按抛物线运动,就像三角板(质点系)的全部质量都集中在c点的一个质点那样,这个几何点c就称为三角板(质点系)的质量中心,简称质心。 质心和重心的概念是有区别的。但在地面上，质心与重心重合。对质量均匀分布的物体，质心也就是它的几何中心。如一根质量均匀分布的细棒，质心就在它的二分之一处。二. 质心null1、质心坐标系计算式A、两质点体系按质量为权的加权平均方法，得到质心坐标：nullB、多质点体系null质心坐标为:null如果质量连续分布其中质元dm:线分布：l:线密度，单位长度质量面分布：s:面密度，单位面积质量体分布：:体密度，单位体积质量null三.质心运动定理质心速度:质点系的总动量null(i=1,2,3……)质心运动定理null 系统所受合外力=系统的总质量×质心的加速度。 质心运动定理表明：质心的运动规律，就像质点系的全部质量、全部外力都集中在质心上的一个质点的运动一样。 (1)质心的运动规律完全由合外力确定,与内力无关。 (2)系统所受合外力为零， 这表明，质心原来静止就静止；质心原来运动就作匀速直线运动。null 例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2-1 如图2-2所示，开始时人和船都静止,当人从船的一端走到另一端时,船移动的距离。(设船的质量为M,人的质量为m,船长为l ,并忽略水的阻力)。 解 (M+m):系统所受合外力为零,质心不动:null一.动量定理(1). 动量性质：矢量性、瞬时性、相对性§2-2 动量定理 动量守恒定律null(2).质点动量定理上式称为动量定理的微分形式。null上式表明: 质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。这一结论称为质点动量定理（积分形式）。适用条件：惯性系注意：a. 力的冲量是矢量冲量的方向与动量增量的方向相同： 在碰撞、冲击、爆炸等现象中，冲力大，作用时间短，常用平均冲力。null在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量平均力 b. 动量定理由牛二定律数学变形而来，但二者有所 不同。 牛二定律反映了力和加速度的瞬间关系，着眼于瞬时状态。 动量定理说明力的时间积累作用导致质点动量变化；动量定理着眼于过程的始末状态。nullc. 在直角坐标系中分量式 学习要求：要学会计算变力的冲量，掌握在一个平面内应用动量定理求解力学问题的方法。 二. 变质量物体的运动方程null上式就是变质量物体运动方程的微分形式。意义：null解 由动量定理：合外力的功:=4J由动能定理：=4Jnull 例题2-3 煤粉自高h=0.8m处的料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s, 传送带A的速度=3m/s。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤粉质量，取g=10m/s2） 取在时间dt内落下的煤粉dm=qmdt为研究对象,由动量定理有null(1)单位矢量法 根据牛顿第三定律，煤粉对 传送带A的平均作用力与此力 大小相等而方向相反。=3, o=4=53.1onull 由图可求得煤粉对传送带A的平均作用力的大小:(2)三角形法=53.1onullnull 这就是说,当质点系所受的合外力为零时,这一质点系的总动量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律。 几点说明: (1)系统动量定理和动量守恒定律 告诉我们，一个系统总动量的改变完全由合外力来确定，与内力无关。内力能引起动量在系统内的物体间传递，而不能改变系统的总动量。 mii =常矢量 (2-6)三. 动量守恒定律null (2)系统动量守恒的条件是合外力为零,即 由此可见,如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零,则沿此坐标方向的总动量守恒。  (3) 动量守恒表示式(4-6)是矢量关系式。在实际问题中,常应用其沿坐标轴的分量式: (4) 动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。null四. 火箭飞行一枚火箭在自由空间飞行，如图所示设t时刻：火箭质量为m，速度为v；t+dt时刻：火箭喷出了质量为|dm|的气体(dm本身具有负值)，喷出的气体相对于火箭的速度为u，火箭速度增加了dv。火箭不受外力作用，系统总动量守恒：null 设火箭开始飞行时：速度为零，质量为M0，燃料烧尽时火箭质量为M，此时火箭的终极速度为式中M0/M称为火箭的质量比。分析： (1)v与u成正比。近代高能推进剂所产生燃气的出口相对速度u可达41000m/s。(2)V与ln(M0/M)成正比。目前单级火箭的质量比可以做到15；考虑u=41000m/s,可得v=11km/s。实际v≈7km/s.小于第一宇宙速度7.9km/s。故采用多级火箭发射卫星.null 例题2-5 两个质量分别为M和m的三棱柱体如图静止放置，其水平 尺寸 手机海报尺寸公章尺寸朋友圈海报尺寸停车场尺寸印章尺寸 如图，各处光滑。求当m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。 解 系统(M和m): 水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。 设M与m相对地面的速度分别是V和，m相对于M的速度为, 则 mx - MVx=0 (1) 由相对运动公式有  x=x - Vx (2)null (M+m)Vx= mx 将上式对时间t积分，有: 最后求得M在水平面上移动的距离： 是m相对于M 在水平方向移动的距离。 =S  是M相对水平地面移动的距离；将 x= x - Vx代入mx - MVx=0得：null 例题2-6 如图2-6所示，光滑地面上有一辆质量为M的静止的小车，小车上一长为L的轻绳将小球m悬挂于o点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到最低点时的速率。 解 小球受两个力：绳的张力T，重力mg。这个解法对吗？ 因为小球绕o点作圆运动，张力T与运动方向垂直，因此它不作功，只有重力(保守力)作功，所以机械能守恒：null 说小球绕o点作圆运动，张力T不作功，因而机械能守恒，这是以小车为参考系作的结论。这里有两个错误: 错! 错在那里？ 对系统(小车、小球): 一对内力(张力T)作功之和为零，只有保守力—重力作功，则该系统机械能守恒。一是小车是非惯性系(有加速度)， 机械能守恒定律是不成立！二是机械能守恒条件中的功，应 该在惯性系中计算。在惯性系(地面) 上看,张力T要作功,小球的机械能是不守恒的。 null 系统动量守恒吗？ 竖直方向的动量显然不守恒，只有在水平方向(根本不受外力)动量守恒 0= MV-m (2) 解式(1)、(2)得小球运动到最低点时的速率为(M+m)：null 例题2-7 半径为R 、质量为M且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的角位置处，开始脱离球面，试求： (1) 角满足的关系式； (2)分别讨论m/M<<1和m/M>>1时cos的取值。 解 (1)小物体脱离球面的条件是：N=0。 小物体离开球面的瞬间相对球面作圆运动，而此时球面是惯性系，于是沿法向有null 取地面为惯性系, 以m、M和地球为系统，机械能守恒,于是有 取地面为惯性系, 以m、M为系统,只有水平方向动量守恒: 应当注意：式(2)、(3)中的x、是m相对地面的速度。null 由速度合成定理:解上述式子得:null (2) 当m/M<<1，即M>>m时, cos=2/3 这相当于M不动的情况。 当m/M>>1,即m>>M时, 有 cos3  -3cos +2=0 分解因式得 (cos -1)2(cos +2)=0 cos  =1 , =0° 这表明，这时M一下子滑出，m竖直下落。null§2-3 功 动能 动能定理一.功的概念在力的持续作用下，物体移动了一段位移，则力对物体做了功，用数学式子表示为对变力或物体沿曲线运动，以微积分思想给出功的普适定义：null功的定义是功等于力和位移的标积。功是标量，没有方向，有正负。合力对质点所做功，等于每个分力所做功代数和，即： null功率：力在单位时间内所做的功即力对质点的瞬时功率等于作用力与质点在该时刻速度的标积。单位瓦特，用W 表示。二.能量 前面知道：物质运动有多种形式．有机械运动、热运动、电磁运动等，而且各种运动可以相互转化。能量就是统一量度各种形式的运动相互转化的数量关系的物理量。能量是物体状态的单值 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数。null 物体的位矢和速度决定了系统的机械运动状态。因此机械能应该是位置和速度的单值函数。物体的机械状态一定，机械能一定。机械运动状态变化，机械能变化。机械能变化了多少，取决于力对物体做了多少功。现在，首先研究机械能。null三. 动能定理 质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。 (1)功是标量,且有正负。 (2)功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。 例： 重力对m的功: 地面参考系： A=mgh 物体m参考系： A=0null (3)在直角坐标系中 功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。  (4)应当明白,动能定理只在惯性系中成立,相应的功也只能在同一惯性系中计算。 学习要点：变力的功。null 例题2-8 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。 解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？ 外力: F=kx ，这是一个变力。 物体m脱离地面的条件是什么？ kxomg 所以外力作的功为null完成积分得： = 10(m/s) 。 解 因力是坐标的函数，应用动能定理null 解 因: x=acos t, y=bsin t 当t=0时，x=a, y=0; 当t= /(2)时，x=0, y=b。 合外力的功为合外力:分力：Fx=-m2x, Fy=-m 2ynull 分力Fx、Fy的功为 (1)显然合外力的功等于分力的功之和： (2)合外力的功也可由动能定理直接求出。 Fx=-m2x Fy=-m 2ynull由动能定理得合外力的功为null 例题2-11 在光滑的水平桌面上，平放着如图2-9所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度0沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为µ。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。 解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力N, 如图2-9所示。 将式(1)代入式(2), 有在自然坐标系中，null化简后得：d = -µd 由于支持力N不作功， 由动能定理得摩擦力的功为null 如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。 上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分)为零。这也是保守力的一种定义和数学判据。一.保守力和非保守力 §2-4 保守力 成对力作功 势能null 质点m沿曲线L从a到b(高度分别为ha和hb)，重力对质点m作的功为 重力作功只与质点的始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。几个力的功 (1)重力的功 -null 小球由a到b的过程中，弹性力所作的功为 由此可见，弹性力的功和重力的功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。(2)弹性力的功null 质点m在M的引力场中,由a点到b点,万有引力对质点m所作的功为 由式(2-14)可见,万有引力的功也只与质点始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。(3)万有引力的功注意：dscos(-)=dr。显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。null滑动摩擦力的功 设一质点在粗糙的台面上 运动，其滑动摩擦力与质点 的运动方向相反,可表示为：当质点从a处运动到b处，摩擦力做功：结论：摩擦力做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关。摩擦力是非保守力。null可见，保守力的功可写为 定义：Epa是系统在位置a的势能; Epb是系统在位置b的势能。三 势 能(1).保守力场中的势能null 式(2-16)的意义是: 保守力的功等于势能增量的负值。 若取b点为零势点，则由式(3-5)我们得到系统在位置a的势能为 式(2-17)表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。 原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相对的意义。null 重力势能 a. 零势面可任意选择,由问题的方便而定。 b. 重力势能为 Ep=±mgh (2-18) c. 物体在零势面以上,重力势能为正,否则为负。 弹性势能 c. 弹性势能总是正值。 a. 通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩)时的势能为零。 b. 弹簧伸长或压缩x时的弹性势能,按定义应为(2).势能零点的选择null a. 通常选取两物体相距无穷远时(此时引力为零)的势能为零。 c. 引力势能总是负值。 应当注意：势能是属于相互作用着的物体所组成的系统的,不应把它看作是属于某一个物体的。引力势能 b. 两物体M、m相距r时的引力势能, 按定义式(3-11)为 Ep=±mghnull四. 势能曲线Ep=±mghnull五. 已知保守力场求势能函数上式的微分式为计算不定积分得积分常数C可由选定的势能零点定出。null用x=xo处，Ep=0, 得出nullnull6. 势能曲线 已知势能函数Ep求保守力场引入梯度算符:式(3-17)可简写为 如已知重力势能Ep=mgz ,则重力null 设系统由n个质点组成, 对mi 应用动能定理,有§2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 这就是系统动能定理：外力的功与内力的功之和等于系统动能的增量。式中：i=1,2,3,……。对上式求和得一. 质点系的动能定理null注意：人在船上行，船在静水中退。2 系统所受外力的矢量和为零，A内 + A外 = Ek — Ek0系统动能定理：null 将上述结果代入动能定理: A内+A外 = Ek- Ek0 二. 质点系的功能原理内力的功A内也可以写成 A内=A保守内力+A非保守内力 式中:E=Ek+Ep是系统的机械能。式(3-20)表明:系统外力和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。这一结论称为系统的功能原理。null注意： 1、用功能原理时，只须计及所有外力和非保守内力 的功。无须计算保守内力的功。因为保守内力的功已经用势能表示了。2、 功能原理只适用于惯性系。null A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 如果外力的功与非保守内力的功之和为零(即A外+A非保守内力=0)时, 则  Ep+Ek=Ep0+Ek0 (2-24) 这一结论称为机械能守恒定律。 应当指出，机械能守恒的条件是A外+A非保守内力=0,这当然是对惯性系而言的。 还应看到,在某一惯性系中系统的机械能守恒,并不能保证在另一惯性系中系统的机械能也守恒,因为A非保守内力虽然与参考系的选择无关,但A外却取决定于参考系的选择。 三. 机械能守恒定律null机械能守恒定律的条件：A外+A非保守内力=0讨论机械能守恒的条件a 系统受内力，系统受外力，但均不做功。有两种情况：再次强调：null四. 能量守恒定律孤立系统－一个不受外界作用的系统。 一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是能量守恒定律。 能量守恒定律是自然界的一个普遍规律，对于宏观现象和微观领域都能适用，机械能守恒只是它在力学范畴的特例。 能量守恒定律的实质就是阐明了各种物质运动可以相互转换。null 例题2-12 如图2-15所示，一链条总长为L、质量为m，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为µ,令链条由静止开始运动，求链条末端离开桌面时的速率。 解 链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面对它的支持力(此力不作功)。此题宜用功能原理求解。 建立如图所示的坐标ox, 先求摩擦力(变力)的功：null 取桌面为零势面，由功能原理:解得A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 对链条、细棒这样一些有一定长度的物体，计算重力势能和重力的力矩时可将其质量集中在质心，从而当作一个质点处理。null 例题2-13 若从地面以一定初速度o发射一质量为m的卫星,并使卫星进入离地心为r的圆轨道。设地球的质量和半径分别为me和Re，不计空气阻力，则o =？ 解 圆轨道：机械能守恒：null讨论：(1)当r=Re时, =7.9km/s, 称为第一宇宙速度。若以这个速度垂直地球半径方向发射，卫星将贴近地面沿圆轨道飞行。 称为第二宇宙速度。以此速度发射的卫星将飞离地球。(2)当r时，null 例题2-14 在光滑水平面上,质量分别为m和3m 的物体A、B用一根倔强系数为k的轻弹簧连接起来，并使物体A紧靠墙壁。现用力推B，使弹簧压缩xo，然后静止释放。求：释放后弹簧的最大伸长量，以及此时物体A、B的速率。 解 何时弹簧伸长最大？A、B的速率相等时。压缩xo 原长:null原长弹簧伸长最大(A、B的速率相等时): 解得null 例题2-15 质量为m1的物体A与倔强系数为K的轻弹簧相连,静止在光滑水平桌面上，A右边结一细绳绕过光滑的轻滑轮悬挂一质量为m2的物体B,计算将B轻轻挂上后所能达到的最大速度。 解 物体B 达到最大速度的条件是什么？由机械能守恒：a=0null解：以小球为研究对象，受到弹性力、重力、圆环对重物支持力由机械能守恒定律null 解 (注意：平方反比引力是保守力)null证明：平方反比引力是保守力null§2-6 碰 撞一股来说，物体之间的碰撞具有以下两个显著的特点 ①时间上——持续很短； ②空间上——位移极小． 处理碰撞问题的理论依据是以下三个定律 ①动量守恒定律； ②机械能(动能)守恒定律； ③碰撞定律． 碰撞定律是牛顿通过实验 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出来的。他指出：在一维碰撞中，两球碰后的分离速度与碰前两球的接近速度之比为一常数，该常数就是两种给定材料之间的恢复系数，以e表示。两球碰撞前后的速度如图3-37所示，则nullnull碰撞通常分为三类：碰撞的分类null由(2-25)和(2-26)联立求解，可得一般问题的解为：1. 完全弹性碰撞令e=1， 由(2-27)可得：null分析两种特性：null2.两个物体碰撞后不在分开，这样的碰撞就是完全非弹性碰撞。令e=0，由(2-27)可得3. 碰撞中的力和能将(2-27)的v1、v2代入null 例题2-18 一倔强系数为k、质量为M的弹簧振子,水平放置并静止在平衡位置,如图2-19所示。一质量为m的子弹以水平速度射入振子中,并随之一起运动。设振子M与地面间的摩擦系数为µ, 求弹簧的最大压缩量。 解 1.碰撞过程 (M+m): 水平方向的外力(摩擦力和弹性力)远远小于碰撞的内力，可忽略，故水平方向动量守恒： m =(M+m)1 (1) 2.压缩过程 由功能原理得null解式(1)(2)得弹簧的最大压缩量为null例题2-19 如图2-20所示，固定的光滑斜面，=30°。一轻弹簧上端固定，下端轻轻地挂上质量M=1.0kg的木块。当木块下滑x=30厘米时，一水平方向飞行的质量m=0.01kg、速度=200m/s子弹与其相碰并陷在其中。弹簧的倔强系数k=25N/m。求子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度。 (1)木块的下滑过程(2)碰撞过程分两步求解：null (木块+弹簧+地球)：系统机械能守恒。选弹簧原长处为零势点，则有解 (1)木块的下滑过程方向沿斜面向下。null 在子弹射入木块的过程中，虽然内力很大,但斜面给木块的垂直于斜面的支持力N不能忽略(与内力同数量级), 而系统沿斜面方向的外力(重力、弹性力)的分力则可略去不计，故只有沿斜面方向系统动量守恒。若以2表示子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度，则有 M1-m cos=(M+m)2(2)碰撞过程 负号表示此速度的方向沿斜面向上。代入数据解出: 2=-0.89m/s。(子弹+木块):系统沿水平方向动量守恒吗？null显然，系统沿水平方向动量不守恒!!在子弹和M碰撞过程中，斜面 给木块的支持力N很大。N在水平方向的分力较内力不可忽略。结论：凡发生在光滑斜面的碰撞、打击、爆炸等过程，系统 在水平方向动量不守恒。当重力在斜面方向的分力可 忽略时，系统沿斜面方向动量守恒。null§2-7 质点的角动量和角动量守恒定律一. 角动量 L=rpsin=mrsin=md 则质点对o点的角动量(也称动量矩)为(1).质点的角动量－描写旋转运动的物理量 null 例：若质点m以角速度沿半径r的圆周运动(如图4-18),质点对给定点o(圆心)的角动量的大小L=mrnull 问题:一质量为m的质点沿一直线以速率运动,它对直线上某点的角动量为它对与直线相距r的某点的角动量为0。mr。 角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动,也依赖于所选定的参考点,即参考点不同,质点的角动量也不同。按SI制,角动量的单位是千克·米2/秒(kg·m2/s)。null(2). 质点系的角动量 (3). 角动量和动量的比较 动量是描述质点平动的物理量，动量的变化决定于力的冲量。 角动量是描述旋转运动的物理量，角动量的变化决定于角冲量。二者联系：总结：null四个质量相等的小球，到中心o的距离为r,绕o转动。体系的动量：体系无平动。体系的角动量：体系在转动。方向：nullM=Frsin=FdL=rpsin=mrsin=md力矩的大小 质点对o点的角动量(动量矩)为(4). 力矩力矩的方向：右手螺旋法则null1. 质点角动量定理二. 角动量守恒守律null于是得:式(2-31)的意义是:质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。这个结论叫质点的角动量定理。上式左端的积分称为冲量矩。式(2-32)的意义是:合外力矩的冲量(冲量矩或角冲量)等于质点角动量的增量。它是质点角动量定理的积分形式。将式(3-25)两边同乘以dt再积分得null 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点角动量守恒定律。2. 角动量守恒守律null 解 null=m另解：null=0质点所受的力矩:null 解 小球对o点的角动量守恒： mr2 o= m(r/2)2  =4o 由动能定理，拉力的功为 例题2-21 如图2-25所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球。开始时小球以角速度o绕孔o作半径r的匀速圆周运动，现在向下缓慢拉绳，求半径从r变为r/2过程中拉力的功。null解得:  =4m/s,  =30。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故机械能都守恒： 角动量守恒： mo lo=m lsinnull对o点的角动量守恒： moR = 解 火箭只受引力(保守力)作用，机械能守恒：m 3Rsinnull1.保守力和非保守力 如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。 显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。对保守力,引入相应的势能2 、势能本章小结:3.功能原理null4.机械能守恒定律 如果外力的功与非保守内力的功之和为零(即A外+A非保守内力=0)时, 则  Ep+Ek=Ep0+Ek0  这一结论称为机械能守恒定律。5. 动量守恒定律null6 质点角 动量定理和角动量守恒null一 质点角 动量定理和角动量守恒null 例子：一门质量为M的大炮（含炮弹），在斜面上 无摩擦地由静止开始下滑。当滑下地距离为l时，从炮内 沿水平方向射出一发为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹 后的瞬间炮车静止。问炮弹的发射速度 是多少？null炮车下滑过程：（M＋m）系统：在斜面方向动量守恒在水平方向动量不守恒!!!N在水平方向的分力较内力不可忽略。