第2讲 1． 概述与要点： 本讲主要讨论两类问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
：①几何问题代数化 ；②代数问题几何化. 在几何问题中，求解线段的长度、比值、面积等问题，只要抓住已知条件，熟知几何定理，探明几何图形的性质，挖掘隐含条件，有时以代数、三角函数作为问题载体，恰当运用方程等代数知识探索解题思路. 与代数、函数相关的问题，往往显得比较抽象，而运用图形来解决此类问题，就比较直观、具体，有时能在图形中找到简捷解法. 二、例题选讲： 例1：如图4-8已知圆1、圆2半径分别为a 和b(a > b)且它们的两条公切线互相垂直,求两圆圆心间的距离 分析：建立平面直角坐标系后，设法求出两圆圆心的坐标，再用两点之间的距离求出O1O2的长。 y y y O1 O1 O1 O2 O2 x O2 x x 图4-8 解：如图4-8，分别以两条互相垂直的两圆的公切线作为x轴和 y轴建立直角坐标系。 (1) 两条外公切线互相垂直时，可知O1O2坐标分别为(-4,4)(-2,2)得O1O2= 2 . (2) 两条内公切线互相垂直时，可知O1O2坐标分别为(-4,4)(2,-2)得O1O2=6 . (3) 当一条外公切线和一条内公切线互相垂直时，可知O1O2坐标分别为(-4,4)(2,2)得O1O2=2 解后反思：本题是几何
计算题
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，如果仅从“形“的角度来解决，不仅还要添置好几条辅助线，而且解题过程繁琐，此处巧妙利用数形结合的思想，把两个圆放置于平面直角坐标系里，求圆心距的长就转变为求两点之间的距离，且防止解题中的漏解现象发生. 例2．如图4-9，⊿ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是BC上的中线，把点A翻折到点D，得到折痕EF，求线段AE与BE长度之比。 分析：解折痕问题的关键是弄清折痕的图形特点，由于沿EF对折后，A、D两点重合，所以A、D关于EF成轴对称，直线EF应是AD的中垂线。 解：由题意可知，EF是AD的中垂线，连接DE，如图4-9 设BE=x，AB=a，则AE=a-x，DE=a-x，BD= a 在Rt⊿BED中，BD2+BE2=DE2，即（ a）2+x2=（a-x）2得x= a AE= a， = 反思：本例通过分析已知条件各元素间的联系和图形的几何特征，运用有关定理和公式建立等式，然后借助代数式运算使问题得到解决.属于“方法上结合”的数形结合问题. 例3． 已知直线y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，求AOB的面积。 分析：
要求
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三角形面积，先确定三角形形状，借助图形，确定它是一个直角三角形，只要求出OA与OB的长度，而OA 、OB长度由点A、B坐标决定. 解：当x=0时，y= -4，当y=0时，x=2，则A（2，0），B（0，-4） 得SAOB= ×2×4= 4 变1.y=kx+12与两坐标轴围成的三角形面积为24，求K值 变2.y=3x-b 与两坐标轴围成的三角形面积为24，求b值 变3.已知直线y=kx+b经过点（ ，0）且与坐标轴围成的三角形面积为 ，求直线解析式。 反思：点的坐标是连接代数与几何知识的纽带，点的坐标是用一对有序实数对给出的，在直角坐标系中，它们可以转化为图形位置关系或转化为线段长度。 例4.已知二次函数y=(a+c)x2+2bx-(c-a)，其中a、b、c是ABC的三边长，且a≥ b， a ≥c， a+c=2b （1）若抛物线过原点，判断ABC的形状 （2）若抛物线顶点在x轴上，判断ABC的形状 （3）若ABC是直角三角形，求证：无论x取何值，总有y≥ 0 （4）抛物线过点(1,20)且在y轴上截距为2,SABC= ， 求ABC内切圆半径 点拨：此题是平面几何与函数知识的综合，抛物线过原点就是x=0，y=0；顶点在x轴上，就是抛物线与x轴只有一个交点，=0；无论x取何值，总有y≥0，就是抛物线都在x轴上方，即开口向上，且≤0，借助于图形就可以得到相关结论. 解：（1）x=0时，y=0，得c-a=0，∴c=a 又a+c=2b，∴a=b=c ABC为等边三角形. （2）由=0得（2b）2+4（a+c）（c-a）=0，得a2=b2+c2 ∴ABC为直角三角形。 （3）a2=b2+c2又a+c=2b，b= a c= a ∴y= a（x+ ）2≥0 （4）（1，20）代入y=（a+c）x2+2bx-（c-a）得a+b=10 又a-c=2，a+c=2b，∴c= ，a+b+c= 即p= = ，而SABC= ∴内切圆的半径r= =1 三．习题精选 1. 已知Rt⊿ABC ∠C=90° BC=6 AC=8 求它的外心M与内心I之间的距离 2. 如图4-10 半径为5的圆O中,OE 、OF是半径,∠EOF=45°,正方形ABCD的顶点分别在圆O和半径OE、OF上,求正方形ABCD边长. 图4-10 图4-11 3. 如图4-11 已知正方形ABCD的边长为1，等边三角形CEF的顶点E、F分别在AD、AB边上，求CEF的面积。 4. 已知点M(2,2) N(5,-2) (1) 在x轴上找到一点P,使三角形MNP为直角三角形 (2) 在y轴上找到一点D,使三角形MND是等腰三角形 5.已知抛物线过A(-2,0) B(1,0)C(0,2)三点 (1) 求这条抛物线解析式 (2) 求这条抛物线上是否存在P,使∠ AOP=45°,若存在,请求点P的坐标.若不存在,请说明理由. 6.（2002陕西）如图4-12 边长为a的正方形中挖掉了一个边长为b的小正方形（a >b），把余下部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积验证了一个等式，则这个等式是（ ） 图4-12 (A) a2-b2=(a+b)(a-b) (B)(a+b)2=a2+2ab+b2 (C)(a-b)2=a2-2ab+b2 (D)(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 四、习题答案 （1） （2） （3）2 -3 （4）P1（1，0）P2（6，0） P3（- ，0） P4（ ，0） D1（0，-2） D2（0，- ） D3（2+ ，0） D4（2- ，0） （5）P1（-1- ，-1- ） P2（- ， ） （6）A
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