江苏省苏州中学2010-2011学年度高三一模（
数学
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） 江苏省苏州中学2010-2011学年度高三一模（数学） 一、填空题（每小题5分，共70分 ） 1．若集合 ， ， ，则 ＝ . 2．在平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线方程为 . 3．函数 的最小正周期为 . 4．已知 是虚数单位，计算 的结果是 . 5．已知奇函数 的图像关于直线 对称，当 时， ，则 ＝ . 6．已知常数 是负实数，则函数 的定义域是 . 7．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为 ： ： ，且已知初中生有 人，现采用分层抽样的
方法
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从这所学校抽取一个容量为 的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是 . 8．右图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 . 9．已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，过圆 上任一点 作圆 的切线 ，若直线 与圆 的另一个交点为 ，则当弦 的长度最大时，直线 的斜率是 . 10．已知结论：“在三边长都相等的 中，若 是 的中点， 是 外接圆的圆心，则 ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体 中，若 是 的三边中线的交点， 为四面体 外接球的球心，则 ”． 11．设等差数列 的前 项和为 ,若 ≤ ≤ ， ≤ ≤ ，则 的取值范围是 . 12．已知过点 的直线与函数 的图象交于 、 两点，点 在线段 上，过 作 轴的平行线交函数 的图象于 点，当 ∥ 轴，点 的横坐标是 . 13．如图，在正方形 中， 为 的中点， 为以 为圆心、 为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则 的最小值为 . 14．设 ，若函数 存在整数零点，则 的取值集合为 ． 二、解答题 15．（14分）设平面向量 ＝ ， ， ， ， ⑴若 ，求 的值； ⑵若 ，证明 和 不可能平行； ⑶若 ，求函数 的最大值，并求出相应的 值． 16．（14分）在菱形 中， ，线段 的中点是 ，现将 沿 折起到 的位置，使平面 和平面 垂直，线段 的中点是 ． ⑴证明：直线 ∥平面 ； ⑵判断平面 和平面 是否垂直，并证明你的结论． 17．（14分）如图， 为一个等腰三角形形状的空地，腰 的长为 （百米），底 的长为 （百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路 （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为 和 ． ⑴若小路一端 为 的中点，求此时小路的长度； ⑵求 的最小值． 18．（16分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 ，设椭圆的右准线 与 轴的交点为 ，椭圆的上顶点为 ，直线 被以原点为圆心的圆 所截得的弦长为 ． ⑴求椭圆 的方程及圆 的方程； ⑵若 是准线 上纵坐标为 的点，求证：存在一个异于 的点 ，对于圆 上任意一点 ，有 为定值；且当 在直线 上运动时，点 在一个定圆上． 19．（16分） 设函数 ， ． ⑴求 的极值； ⑵设 ≤ ，记 在 上的最大值为 ，求函数 的最小值； ⑶设函数 （ 为常数），若使 ≤ ≤ 在 上恒成立的实数 有且只有一个，求实数 和 的值． 20．（16分）设数列 是一个无穷数列，记 ， ． ⑴若 是等差数列，证明：对于任意的 ， ； ⑵对任意的 ，若 ，证明： 是等差数列； ⑶若 ，且 ， ，数列 满足 ，由 构成一个新数列 ， ， ， ，设这个新数列的前 项和为 ，若 可以写成 ， ，则称 为“好和”．问 ， ， ， 中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由． 附加题 21选做题 ．平面几何选讲（10分） 过圆 外一点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，过点 作圆 的割线 ，证明： ． ．矩阵与变换（10分） 已知直角坐标平面 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转 ，再作关于 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵． ．坐标系与参数方程（10分） 已知 是曲线 上的动点， 是曲线 上的动点，试求线段 长的最大值． ．不等式选讲（10分） 已知 是正数，证明： ≥ ． 22. （10分） 如图，正方体 的棱长为 ， 分别在棱 和 上（含线段端点）．（10分） ⑴如果 ,试证明 四点共面； ⑵在⑴的条件下，是否存在一点 ，使得直线 和平面 所成角等于 ？如果存在，确定 的位置；如果不存在，试说明理由． 23．（10分） ⑴当 时，求证： 是正整数； ⑵试证明大于 的最小整数能被 整除（ ）
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