高等数学公式

高等数学复习公式 第 1 页 共 15 页 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1cos 1 2sin u dudxxtgu u ux u ux   ，　，　，　 ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1)(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2       2 2 2 2 1 1)( 1 1)( 1 1)(arccos 1 1)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x                         Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a adxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a xarctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx                   arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22          C a xaxaxdxxa Caxxaaxxdxax Caxxaaxxdxax I n nxdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0  高等数学复习公式 第 2 页 共 15 页 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin               ctgctg ctgctgctg tgtg tgtgtg       1)( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin(    x xarthx xxarchx xxarshx ee ee chx shxthx eechx eeshx xx xx xx xx             1 1ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ...590457182818284.2)11(lim 1sinlim 0     e x x x x x x 高等数学复习公式 第 3 页 共 15 页 ·倍角公式： ·半角公式：              cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin       ctgtg 　　 　　　　　　　　　　　　 ·正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin  ·余弦定理： Cabbac cos2222  ·反三角函数性质： arcctgxarctgxxx  2 arccos 2 arcsin  　　　 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( !2 )1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnnvunnvnuvu vuCuv       中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf      )(F )( )( )()( )()( ))(()()(    曲率： .1 ;0 . )1( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s          的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式：        2 3 3 3 31 33 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtgtg           2 2 2222 1 22 2 12 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tgtg ctg ctgctg     高等数学复习公式 第 4 页 共 15 页 定积分的近似计算：          b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n abxf yyyy n abxf yyy n abxf )](4)(2)[( 3 )( ])( 2 1[)( )()( 1312420 110 110    抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：        b a b a dttf ab dxxf ab y k r mmkF ApF sFW )(1 )(1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间      ,cos)(][ ..sin, cos ,,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa ajajaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u             高等数学复习公式 第 5 页 共 15 页 （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 ,, 22 2 11 };,,{, 13 02 ),,(},,,{0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000                 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA   多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x zzyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dyyxF dy y vdx x vdvdy y udx x udu yxvvyxuu x v v z x u u z x zyxvyxufz t v v z t u u z dt dztvtufz yyxfxyxfdzz dz z udy y udx x ududy y zdx x zdz                               ，　　，　隐函数 ＋，　　，　　隐函数 隐函数的求导公式： 　　　　 时，，当 　　　　 　　　　 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 　　　全微分： 0),,( )()(0),( ),(),( )],(),,([ )](),([ ),(),( 2 2 高等数学复习公式 第 6 页 共 15 页 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),,,( 0),,,( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GFJ vuyxG vuyxF vu vu                           　　　　 　　　　 　　　隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ),,(),,(),,( 3 0))(,,())(,,())(,,(2 )},,(),,,(),,,({1 ),,(0),,( },,{, 0),,( 0),,( 0))(())(())(( )()()( ),,( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xxzyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy                    、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线       方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y fi x fyxfyxpyxfz lx y f x f l flyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),(                 多元函数的极值及其求法： 高等数学复习公式 第 7 页 共 15 页               　　　　　　　不确定时 值时，　　　　　　无极 为极小值 为极大值时， 则： 　　，令：设 ,0 0 ),(,0 ),(,0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用：                              D z D y D x zyx D y D x D Dy D x D DD ayx xdyxfaF ayx ydyxfF ayx xdyxfF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M Mx dxdy y z x zAyxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 2222 3 2222 3 222 22 D 22 )( ),( )( ),( )( ),( },,{)0(),,0,0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),(        ，　　，　　 ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量： 　　平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：                                 dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r              )()()( 1,1,1 sin),,(sin),,(),,( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),,( ,),,(),,(,sin cos 222222 2 0 0 ),( 0 22 2 ，　　，　　转动惯量： ，　　其中　　　　重心： ，　　球面坐标： 其中： 　　　柱面坐标： 曲线积分： 高等数学复习公式 第 8 页 共 15 页           )()()()()](),([),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L       　　特殊情况：　　 则：　　的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，＝在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),(),(),( ),( · )0,0(),(),(2 1 · 2 12, )()( )coscos( )}()](),([)()](),([{),(),( )( )( 00 ),( ),( 00                                  yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x QGyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x QxQyP QdyPdxdxdy y P x QQdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx D L D LD L L L L       曲面积分： 高等数学复习公式 第 9 页 共 15 页                         dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ]),,(,[),,( ],),,([),,( )],(,,[),,( ),,(),,(),,( ),(),(1)],(,,[),,( 22 系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式： 高等数学复习公式 第 10 页 共 15 页                       dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n    div )coscoscos( ...,0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： —通量与散度：—高斯公式的物理意义    斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：                                             dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Qdzdx x R z Pdydz z Q y R   的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()(  常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nnn q qqqq n n 1 3 1 2 11 2 )1(321 1 11 12         级数审敛法： 高等数学复习公式 第 11 页 共 15 页 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法 nnnn n n n n nn suuus U U u                    lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1          。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 —莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数 11 1 3214321 ,0lim )0,(          nnn nn nn n urrusu uu uuuuuuuu  绝对收敛与条件收敛：          时收敛 １时发散ｐ　　级数：　　 收敛；　　级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 )1(1 )1()1()2( )1()2( )2( )1( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn   幂级数： 高等数学复习公式 第 12 页 共 15 页 0 0 10 )3(lim )3( 1 1 11 1 1 1 2 210 32              R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，，其中求收敛半径的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数 时，发散 时，收敛于　　       函数展开成幂级数：         n n nn n n n n n x n fxfxffxfx Rxfxx n fR xx n xfxxxfxxxfxf ! )0( !2 )0()0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )()( !2 )())(()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数：  一些函数展开成幂级数： )( )!12( )1( !5!3 sin )11( ! )1()1( !2 )1(1)1( 12 1 53 2     x n xxxxx xx n nmmmxmmmxx n n nm 　　　 　　　   欧拉公式：         2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix eex eex xixe 　　　或 三角级数： 。上的积分＝ 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，，，其中， 0 ],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0             nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxaatnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数： 高等数学复习公式 第 13 页 共 15 页 是偶函数　　　，余弦级数： 是奇函数　　　，正弦级数： （相减） （相加） 　 　　　 　　　 其中 ，周期                      nxaaxfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxaaxf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2,1,0cos)(20 sin)(3,2,1nsin)(20 124 1 3 1 2 11 64 1 3 1 2 11 246 1 4 1 2 1 85 1 3 11 )3,2,1(sin)(1 )2,1,0(cos)(1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0                        周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数： 高等数学复习公式 第 14 页 共 15 页              l l n l l n n nn ndx l xnxf l b ndx l xnxf l a l l xnb l xnaaxf )3,2,1(sin)(1 )2,1,0(cos)(1 2)sincos( 2 )( 1 0   　　　 　　　 其中 ，周期    微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，，，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。　　得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 　或　一阶微分方程： u x y uu du x dxu dx duu dx duxu dx dy x yu x yyxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy       )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),(   一阶线性微分方程： )1,0()()(2 ))((0)( ,0)( )()(1 )()( )(        nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y uyxP x udyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP      ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次， 0)( 0)( )()()(2 2   xf xf xfyxQ dx dyxP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中    高等数学复习公式 第 15 页 共 15 页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 (*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根 )04( 2  qp xrxr ececy 21 21  两个相等实根 )04( 2  qp xrexccy 1)( 21  一对共轭复根 )04( 2  qp 2 4 2 2 21 pqp irir     ， ， )sincos( 21 xcxcey x   二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， ]sin)(cos)([)( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x       