数理化学习(高中版)
所以S >0,因此上述结果仍成立.
综上, <吉.
点拨:①涉及恒成立不等式中参数范围问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,可根据 a≥ )恒成立 )一,
口 )恒成立铮口 ) i 来进行转化.
● 翟洪亮
②本例中运用了分类讨论的思想求参数范
围.分类讨论的关键是根据引起讨论的原因确
定分类标准,然后逐类讨论的.
黑龙江省泰来县第_中学(162400)
不等式恒成立问题的十种解法
函数与不等式既是知识的结合,又是数学
思想和方法的交汇处,因此成为高考的热点.不
等式在所给定的区间上恒成立的问题实质上是
求在所给定区间上的最值问题,而求函数最值
问题的方法又是多种多样,况且有的问题又涉
及多种方法,因此,不等式恒成立问题在解法上
是灵活多样的,学生对此感到非常困难.本文旨
在通过具体问题的解决,来帮助学生进一步理
解和掌握这一类问题.
一
、判别式法
若能把所给不等式转化为某个一元二次不
等式,并且该一元二次不等式是对于一切实数
都恒成立,则可优先考虑判别式法.
例 l 设不等式 <1,rtS-一
切实数 都恒成立,求实数m的取值范围.
解:因为4x +6x+3=4( +÷) +-T >0,
所以原不等式可变为:2 +2mx+m<4x +6
+3,整理得:2 +(6—2m) +3一m>0,因为
该不等式对一切实数 都成立,必有△=(6—
2m) 一4 X 2(3一m)
10时恒成立,则实数 d的取值范
围是 ( )
(A)[ 一1,+。。)
(B)(一。。,一 一1]
(C)(一(√_2+1),+a。)
(D)(一。。,一(√ +1)]
解:因为实数 、Y满足 +(Y一1)。=1,令
:cos0,Y 1+sin0,d≥ 一(1+cos0+sin0)=
一 [1+ in( +孑)].
设Y=一[1+ in( +号)],则Y的最大
值为A-一1,要使 +y+d≥O恒成立,必须有d
大于等于Y的最大值,即d≥ 一1,故选择答
案(A).
三、分离参数
· 9 ·
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0 镯 学习(高中 矗
对于含有参数的不等式,若能把所求的参
数分离出来,应优先考虑实行参数分离,然后再
在不等式的另一边进行其它变换,如使用均值
不等式,或通过函数的单调性来求出它的最值 ,
最后再通过参数与这个最值的关系来使问题得
到解决.
例 3 对 于任 意 0∈(0,-4“-),4cos 0+
2rosin0—2sin0—5≤0恒成立,求实数 m的取值
范围.
解:4(1一sin 0)+2msin0—2sin0—5≤0,
4sin 0—2rosin0+2sin0+1 I>0.
m≤ =2sin0+ +1’
设),=2sin + +l I>2~q/2sin0·
+1,则 Y≥3,(当且仅当sin0= 1时取“=”),
要使对于任意 0∈(o, ),4cos 0+2msin0—
2sinO一5≤O恒成立,必须有m小于等于Y的最
小值,即m≤3.
四、图象法
如果所给不等式能够化为一边是我们熟悉
的函数,那么我们可以通过它的图象,结合函数
的单调性来求出它在所给区间上的最值,从而
使问题得到解决.
例 4 若 关于 的
不等式 一4x≥m对任
意 ∈[0,1]恒成立,则
m的取值 范围是
( )
(A)m≤ 一3
(B)m≥ 一3
\ f f
,
2§i4 1
,
,
,
U
、
、
/
一 1
— 2
— 3
/
— 4
(C)一3≤m≤0
(D)m≥ 一4
解:考察函数Y: 一4x的图象,当 ∈[0,
1]时,其函数的值域为,’∈[一3,0],若使不等
· lO·
式 一4x>~m对任意 ∈[0,1]恒成立,则m必
须小于等于它的最小值 3,即 m≤一3,故选择
答案(A).
五、变更主元法
主元的选择要因题而异,在有些问题中一
旦克服心理定势,标新立异地另选主元,那么问
题的解决就会有峰回路转、柳暗花明的效果.
例 5 对于任意口∈[一l,1],函数 )=
+(口一4) +4—2n的函数值恒为正数 ,则 实
数 的取值 范围是( )
(A){ I l< <3}
(B){ I 3}
(C){ Il< <2} (D){ I >3}
分析:由n的取值范围 )>0恒成立,可
采用分类讨论去寻找 的的取值范围,但是这
是比较麻烦的,再看 n的取值范围不是已经知
道了吗?变 n为主元, 为参数,反其道而行
之.
解:令 口)=( 一2)0+ 一4x+4,所以
o)在 口∈[一l,1]上恒 大 于 0,所 以有
{l厂(¨. 。’f 一3 +2>0.,解得: 0【 一5x+6>o. ⋯ 一‘一
>3,故选择答案(B).
六、几何法
含有绝对值的不等式,可利用绝对值的几
何意义这一直观使问题加以解决.
例6 若不等式I —lI+I 一4 I≥n恒成
立,求实数d的取值范围.
解:设 d=I —l I+I 一4 I,由绝对值的几
何意义可知,d
表
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示数轴上的点到实数 l、4所
对应两点距离的和,所以d≥3,要使I —l I+
I 一4 I≥n恒成立,必须有 口小于等于 d的最
小值,即n≤3.
七、均值不等式法
运用均值不等式求出所给代数式的最值,
然后再用所给的值与这个最值进行比较.
例7 (第 l1届希望杯试题)设n>b>c,
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凡∈Ⅳ,且不等式 l_+ 1 ≥ 恒成立,则自
然数 凡的最大值为( )
(A)2 (B)3
(C)4 (D)5
解:因为(口一b)+(b—c)=口一c,设 =口
一 b,),=b—c,因为口>b>c,贝0 >0,),>0、
+,,>0,所以原不等式变为 + ≥ ,即
’ ’, + ’,
( +),)( + )≥凡,
’,
而( +),)(÷+ )=2+号+- Y--->~2+2
●___-● _ _●_ _____ _____ _一
√号一考=4,(当且仅当 =),=l时取“=”),
所以凡≤4,自然数 凡的最大值为4,故选择答案
(C).
八、数学归纳法
当不等式中含有 自然数 凡时,应优先考虑
用数学归纳法来探求.
例8 若不等式 l_+ 1 + 11 +⋯+ ,l+ ,l+ ,l+j
> 对于任意大于等于2的自然数 凡都成
立,求自然数 m的最大值.
证明:当凡=2时,左式 =了1+ 1= 7= 14
> m 月l(I ,所以m的最大值为 13,假设当凡=k
(后≥2)时成立,即:丽1 + 1 +雨1
1
+ ..·+
+ + Z + j
>
13
,则当凡=.j}+ 时,南+南+⋯+
.
1
.
1 , 1 1 1
+乏 _= +—2k—+2 ( _『+ + _= +⋯+
)+‘丽1 + 1 一 1 )> 13+
>
13
,即,l:k+l时也成立. > , p凡 + 时也成立’
由 匕可得 :存在最大的自然数 m=13.仲不
等式 _『+ + +⋯+ 1> 对于任
意大于等于2的自然数 凡都恒成立.
九、放缩法
把所给不等式进行适当的放缩,从而使问
题得到解决.
例 9 设 口 = + +⋯ +
、俪丽 (凡∈Ⅳ),证明: <口 <
对所有的正整数恒成立.
证明:因为凡< 町 ,所以l+2+⋯
+n<、/ +、/眄 +⋯+、/元 而 ,即:
<
‘
又 因 为 、俪丽 <
, 所 以 + + ⋯ +
丽 <半 + +...+ :
,所以对所有的正整数不等式
< ct
n < 恒成立.
十、二项式定理展开法
当不等式中含有所给数的 凡次方时,可试
着考虑使用二项式定理,通过二项式定理的展
开式有选择地选取几项进行放缩,从而使问题
得到解决.
例 l0 求证.x,t-于任意大于等于2的自然
数不等式3 >2 (,l+2)恒成立.
证明:3 =(2+1) =2 +c 2 +c:2
+⋯>2 +c:2 一’=2 +n2 一 =2 一 (71.+2),
所以对于任意大于等于 2的自然数不等式 3
>2 (,l+2)恒成立.
江苏省灌云县高级中学(222200)
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