2008年考研
数学
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（三）真
题
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2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ） 跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点. 振荡间断点. （2）曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分 等于（ ） 曲边梯形 面积. 梯形 面积. 曲边三角形 面积. 三角形 面积. （3）已知 ，则 （A） ， 都存在 （B） 不存在， 存在 （C） 不存在， 不存在 （D） ， 都不存在 （4）设函数 连续，若 ，其中 为图中阴影部分，则 （ ） （A） （B） （C） （D） （5）设 为阶非0矩阵 为阶单位矩阵若 ，则（ ） 不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆. 可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. （6）设 则在实数域上域与
合同
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矩阵为（ ） . . . . （7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ） . . . . （8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ） . . . . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 在 内连续，则 . （10）设 ，则 . （11）设 ，则 . （12）微分方程 满足条件 的解 . （13）设3阶矩阵 的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则 . （14）设随机变量 服从参数为1的泊松分布，则 . 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分） 求极限 . (16) （本题满分10分） 设 是由方程 所确定的函数，其中 具有2阶导数且 时. （1）求 （2）记 ，求 . (17) （本题满分11分） 计算 其中 . (18) （本题满分10分） 设 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数 ，有 ； （2）证明 是周期为2的周期函数． (19) （本题满分10分） 设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分） 设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ， ， （1）求证 ; （2） 为何值，方程组有唯一解; （3） 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分） 设 为3阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ， 证明（1） 线性无关； （2）令 ，求 . （22）（本题满分11分） 设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的概率密度为 ，记 （1）求 ； （2）求 的概率密度． （23） （本题满分11分） 是总体为 的简单随机样本.记 ， ， . （1）证 是 的无偏估计量. （2）当 时 ，求 . 2008年考研数学（三）真题解析 一、选择题 (1)【答案】 【详解】 ， 所以 是函数 的可去间断点． (2)【答案】 【详解】 其中 是矩形ABOC面积， 为曲边梯形ABOD的面积，所以 为曲边三角形的面积． (3)【答案】 【详解】 ， 故 不存在． 所以 存在．故选 . (4)【答案】 【详解】用极坐标得 所以 . (5)【答案】 【详解】 ， . 故 均可逆． (6)【答案】 【详解】记 ，则 又 ， 所以 和 有相同的特征多项式，所以 和 有相同的特征值. 又 和 为同阶实对称矩阵，所以 和 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故 正确. (7)【答案】 【详解】 . (8)【答案】 【详解】 用排除法. 设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除 、 由 ，得 所以 所以 . 排除 . 故选择 . 二、填空题 (9)【答案】1 【详解】由题设知 ，所以 因为 ， 又因为 在 内连续， 必在 处连续 所以 ，即 . (10)【答案】 【详解】 ，令 ，得 所以 . (11)【答案】 【详解】 . (12)【答案】 【详解】由 ，两端积分得 ，所以 ，又 ，所以 . (13)【答案】3 【详解】 的特征值为 ，所以 的特征值为 ， 所以 的特征值为 ， ， 所以 . (14)【答案】 【详解】由 ，得 ，又因为 服从参数为1的泊松分布，所以 ，所以 ，所以 . 三、(15) 【详解】
方法
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一： 方法二： (16) 【详解】(I) (II) 由上一问可知 ， 所以 所以 . (17) 【详解】 曲线 将区域分成两 个区域 和 ，为了便于计算继续对 区域分割，最后为 (18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数 ， 令 ，则 所以 (II) 由(1)知，对任意的 有 ，记 ，则 . 所以，对任意的 ， 所以 是周期为2的周期函数. 方法二：(I) 设 ，由于 ，所以 为常数，从而有 . 而 ，所以 ，即 . (II) 由(I)知，对任意的 有 ，记 ，则 ， 由于对任意 ， ， 所以 ，从而 是常数 即有 所以 是周期为2的周期函数. (19) 【详解】方法一：设 为用于第 年提取 万元的贴现值，则 故 设 因为 所以 (万元) 故 (万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第 年取款后的余款是 ，由题意知 满足方程 ， 即 (1) (1)对应的齐次方程 的通解为 设(1)的通解为 ，代入(1)解得 ， 所以(1)的通解为 由 ， 得 故 至少为3980万元． (20) 【详解】(I)证法一： 证法二：记 ，下面用数学归纳法证明 ． 当 时， ，结论成立． 当 时， ，结论成立． 假设结论对小于 的情况成立．将 按第1行展开得 故 证法三：记 ，将其按第一列展开得 ， 所以 即 (II) 因为方程组有唯一解，所以由 知 ，又 ，故 ． 由克莱姆法则，将 的第1列换成 ，得行列式为 所以 (III) 方程组有无穷多解，由 ，有 ，则方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多解，其通解为 为任意常数． (21)【详解】(I) 证法一：假设 线性相关．因为 分别属于不同特征值的特征向量，故 线性无关，则 可由 线性表出，不妨设 ，其中 不全为零(若 同时为0，则 为0，由 可知 ，而特征向量都是非0向量，矛盾) ，又 ，整理得： 则 线性相关，矛盾. 所以， 线性无关. 证法二：设存在数 ，使得 (1) 用 左乘(1)的两边并由 得 (2) (1)—(2)得 (3) 因为 是 的属于不同特征值的特征向量，所以 线性无关，从而 ，代入(1)得 ，又由于 ，所以 ，故 线性无关. (II) 记 ，则 可逆， 所以 . (22)【详解】(I) (II) 所以 (23) 【详解】(I) 因为 ，所以 ，从而 ． 因为 所以， 是 的无偏估计 (II)方法一： ， ， 所以 因为 ，所以 ， 有 ， 所以 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ,所以 所以 . 方法二：当 时 (注意 和 独立)
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