Taylor定理在广义积分收敛性中的应用

Taylor定理在广义积分收敛性中的应用第 28卷第 2期 2009年 6月浙江海洋学院学报(自然科学版) Journal of Zhejiang Ocean University(Natural Science) Vo1．28 No．2 June．，2009 文章编号：1008—830X(2009)02—0243—04 ·研究简报· Taylor定理在广义积分收敛性中的应用赵向青，李晓燕 (浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山 316000) 摘要：本文研究TaylDr定理在判定广义积分(包括无穷级数)的收...

第 28卷第 2期 2009年 6月浙江海洋学院学报(自然科学版) Journal of Zhejiang Ocean University(Natural Science) Vo1．28 No．2 June．，2009 文章编号：1008—830X(2009)02—0243—04 ·研究简报· Taylor定理在广义积分收敛性中的应用赵向青，李晓燕 (浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山 316000) 摘要：本文研究TaylDr定理在判定广义积分(包括无穷级数)的收敛性中的应用。Tayl0r公式将函数用多项式来表示，而广义积分收敛性判定中常用( )，(a=0或瑕点)作“参照函数。”本文将这两者结合起来，得到了广义积分收敛性的一种有效的判定方法。关键词：Taylor定理；广义积分；收敛性中图分类号：0172 文献标识码：A The Applications of Taylor Theorem in Convergence of Generalized Integral ZHAO Xiang-qing，LI Xiao-yan (School of Mathematics，Physics and Information Science of Zhejiang Ocean University，Zhoushan， 3 1 6000，China) Abstract：The application of Taylor theorem in judging the convergence of generalized integral(numefi- cal series)was studied in this paper．As it is well—known，some functions can be represented by a polynomial through Taylor expansion and the integrand usually compared by when judging the convergence of a general- ized integra1．An effective convergence judging method was obtained by combining these two facts． Keywords：Taylor theorem；generalized integral；convergence l引言广义积分的收敛性是广义积分理论中的首要问题。广义积分的收敛性的判定方法很多，例如定义法、比较判别法、Cauchy准则、Abel判别法、Dirichlet判别法等。比较判别法相对其他方法更为简洁且易于操作，因而比较判别法及其变体常常受到人们的青睐。该判别法的核心是比较原则，其大致思想是：对于广义积分』 ) ，若比 )大的函数 )的广义积分』 g( ) 收敛，则』 ) 收敛，比它‘‘小’’的函数g ( )的广义积分』 ) 发散，则f ) 发散【1]。如何寻找这样的“参照函数”g( )是关键，本文将利用收稿日期：2009-01--07 作者简介：赵向青(1974一)，男，湖南炎陵人，助教，博士，研究方向：生物数学、调和分析浙江海洋学院学报(自然科学版) 第 28卷 Taylor公式寻找单项式( 一口)呻(o=o或瑕点)作为“参照函数”，从而判定某些广义积分的收敛性圈。实际上， f( 一a)-Pdx(a=O或瑕点)的广义积分的收敛性为人们所熟知：当p>l时收敛，当P≤1时发散；而Tayl0r J d 。公式的功能是将函数展开成多项式： Taylor定理：若函数 )在点a存在直到n阶导数，则有 ) 口)+ (～ )+ (～ )z+．．．+ (⋯ ) 。(x-a)1 特别地，当a=O时，称相应的Tayl0r公式为Maclaurin公式： )--j~o)+ 斛冉 ⋯+ ( 本文从比较判别法的极限形式出发，获得了一种便于运用Taylor公式判定广义积分(无穷级数)收敛性的方法，即定理 l、2、3。从几个应用例子(例 l一例4)看到，本文的方法在展开某些较复杂的被积函数时很容易地找到了它的“参照函数”，这正是这种方法的优点之所在。 2主要结果因为绝对可积的函数可积，以下直接讨论 )I的广义积分。引理 1【睃函数 )定义在[0，+wl(a>O)I-_，在任何有穷区间【Ⅱ， ]上可积，J~lim xp· )I=z 则有： 1)当p>1，0≤z<+∞时，无穷限积分f )I dx收敛； 2)当P≤1，o1，0≤z<+。。时，无穷限积分I )Idx收敛； 2)当P≤1，01，o≤z<+∞时，级数∑ 收敛； n=l 2)当p≤l，01，0≤k+∞时，级数∑n|I收敛； n=1 (3) 2)当p≤1，0<／~+oo mt，级数∑ 发散。证明：由Heine归结原贝Ⅱ知道：lim争：lim犁余下证明同定理 1，2。 3应甩举阴由上述各定理看到，如果 )可 Talyor展开成 l·( 一口) (口=0或瑕点)加上相应无穷小的形式，那么，z 与p完全决定了 )的广义积分的收敛性。例 1研究广义积分的收敛性。解 Taylor展开被积函数得到 l俪 +何一2 l-l ( + -2)f =I 丢+ 一丢+ 扣扣)I = 1 1_ 3-+o 浙江海洋学院学报(自然科学版) 第 28卷 1 ，+eo 因p=}>1，z= 由定理1知j ( +何一2、／ ) 绝对收敛。例2广义积分f‘ 是否收敛? J 0 --S1似解：因为 sirL~=X一 9C3+0( ) ，IIaylor展开被积函数得到、眦 ( 一手+。( )) 一手+。( )】／k x，=———■一 =—————— —————一 =—————— —————一。眦一 ( 一等+0( )) 一一等+o(x4)】： -(1一 1 +0( )) o ：一 6 +0( ) 因为p=l，／=6，由定理 2知道该积分发散。例 3讨论级数 sin 的收敛性。解 Taylor展开被积函数得到 )= 1 sin = 1【 'ff+。( )】= I +。 ,13-) ，根据定理4知道，当p>O时 sin 收敛；当一1(p≤0时 1 sin 发散。例4讨论妻1n(1+ )(p>0，p∈尺)的收敛性。解：Taylor展开被积函数得到 =ln(1+ )= 一 +o( )'( ，． ‘ )l≤ +古+I。( )l' 由定理3看出：当p>1时，级数妻1n(1+ )绝对收敛；当争 ≤1时，级数至条件收敛，而 [ +。( )】绝对收敛，故原 n = 级 1 数条件收敛；当。 ≤ 时，主条件n=收l n=l 1 n=l 敛，而【 +o ( )】发散，故原级数发散。参考文献：【1】华东师范大学数学系．数学分析【M】．第3版．北京：高等教育出版社，1991．『21沈燮昌，邵品琮．数学分析纵横谈【M1．北京：北京大学出版社，1991．【3】同济大学数学系．高等数学】．第6版．北京：高等教育出版社，2007． f41裴礼文．数学分析中的典型问题与方法『M】．北京：高等教育出版社，1993． f51吉米多维奇．数学分析习题精选精析【M】．北京：科学技术文献出版社，2005．

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