山西财经大学学报 (高等教育版)
2002 年 增 刊 Journal of Shanxi University of Finance and Economics SUPPLEMENT 2002
总 第 55 期 HIGHER EDUCATION EDITION Serial No. 55
Taylor 公式在
求极限中的应用
令狐乃平 张喜善
[摘 要 ] 讨论了当α、β和γ为无穷小时 ,求形如limα-βγ
的极限过程中 ,怎样用 Taylor 公式选取多项式无穷小α′、β′,使α
～α′,β～β′,而limα-βγ = lim
α′-β′
γ′ ,给出了一般情况下的结论。
[关键词 ] 等价无穷小 ; 无穷小代替 ; Taylor ;
在求函数极限或数列极限的过程中 ,利用等价无穷小代
换常常会简化计算。但对形如limα-βγ 的极限 ,若无穷小量α
～α′,β～β′,有时极限limα-βγ 与lim
α′-β′
γ 并不相等。这里关键
是α′与β′的选取不当。本文着重讨论这种情况下利用 Taylor
公式选取适当的等价无穷小量作代换 ,使极限不变。
为了叙述方便 ,下面我们仅讨论 x →0 的情况 ,同时假定
文中所涉及的α、β、α′、β′等是当 x →0 时的连续且具有任意阶
导数的非零函数无穷小量。
引理 1 ,若α～β,则limαγ = lim
β
γ
这是一个常用的结论 ,
证明
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略去。
定理 1 ,若α～α′,β～β′,而limα′β′= A ≠1 ,则lim
α
-
β
γ = lim
α′-β′
γ
证明 :由引理 1 我们只要证明α-β～α′-β′,
而limα-βα′-β′= = lim
1 - βα
α′
α -
β′
α
由引理 1 ,limβα = lim
β′
α = lim
β′
α′= A 从而lim
α
-
β
α′-β′= 1
在定理 1 没有解决α～β的情况下 ,求limα-βγ 时的等价无
穷小问题。下面我们对这个问题给出一个一般的结论。
引理 2 ,若α= 0 (xn) ,n ≥1 ,而 a1 ,a2 , ⋯,an 不全为零 ,则
lim α
a1x + a2x
2 + ⋯+ anxn
= 0
引理 3 ,若α在 x = 0 处带皮亚诺余项的 Taylor 展开式为
(按前面的假设 ,常数项为 0)
α= a1x + a2x2 + ⋯+ anxn + 0 (xn) (x →0)
其中 a1 ,a2 , ⋯,an 不全为零 ,则当取α′= a1x + a2x2 + ⋯+ anxn
时 ,α～α′。
证明 :显然limα′= 0
因此 lim αα′= lim
α′+ 0 (xn)
α′ = 1 + lim
0 (xn)
α′ = 1 ,从而α～α′。
通常所用的等价无穷小都是取 Taylor 展开式中的第一个
非零项 ,如 sinx～x ,ex - 1～x ,1 - cosx～ x
2
2 ,ln (1 + x) ～x 等 ,但
有时单取第一项是不够的 ,如 :lim sinx - tanx
x
3 ≠lim
x - x
x
3
定理 2 ,若将α和β分别作麦克劳林展开到 xn 项有下式 :
α= a1x + a2x2 + ⋯+ anxn + 0 (xn) =α′+ 0 (xn)
β= b1x + b2x2 + ⋯+ bnxn + 0 (xn) =β′+ 0 (xn)
且 ai = bi (i = 1 ,2 , ⋯,n - 1) ,而 an ≠bn ,则 limα-βγ = lim
α′-β′
γ
证明 :由引理 1 ,只要证明α2β～α′-β′即可。
注意到这样一个事实 :0 (xn) ±0 (xn) = 0 (xn)
则 lim α-βα′-β′= lim
α′+ 0 (xn) - 〔β′+ 0 (xn)〕
α′-β′ = lim
α′-β′+ 0 (xn)
α′-β′
= 1 + lim 0 (x
n)
(αn - bn) xn = 1 + 0 = 1
所以 ,α2β～α′2β′,从而定理得证。
例 1 ,求lim
x→0
tanx - sinx
x
3
解 :因为sinx = x - x
3
6 + 0 (x
3) ,tanx = x + x
3
3 + 0 (x
3)
故由定理 2 sinx～x - x
3
6 (x →0) ,tanx～x +
x
3
3 (x →0)
因此lim
x→0
tanx - sinx
x
3 = lim
x→0
x +
x
3
3 - (x -
x
3
6 )
x
3 =
1
2
例 2 ,求lim
x→0
=
tanx - sinx
x
2
解 :原式 = lim
x→0
(x + x
3
3 ) - (x -
x
3
6 )
x
2 = lim
x→0
x
3
2x2
= 0
对于例 2 这种情况 ,由下述定理 3 ,只需将 sinx 和 tanx 展
开至 x2 项即可。
定理 3 ,若γ是无穷小量 ,且γ～γm ,而α′和β′分别是α和β
的 m次 Taylor 展开式 ,则lim
x→0
=
α
-
β
γ = limx→0 =
α′-β′
γ
证明 :设 n 的含义与定理 2 中一样。
(1)当 n = m时 ,定理 3 与定理 2 等价。
(2)当 n < m时 ,α′-β′= (an - bn) xn + (an + 1 - bn + 1) xn + 1 +
⋯+ (am - bm) xm～ (an - bn) xn
由引理 1 和定理 2 可知 ,定理 3 成立。
(3)当 n > m时 ,不能说α′-β′与α-β等价 ,只能说定理 3
中的两个极限相等 ,都是 0。
结论 :对于形如lim
x→0
=
α
-
β
γ 的极限 ,用于替换无穷小α和β
的等价无穷小α′和β′,应是其 Taylor 展开式 ,并且至少应展开
到α′和β′不相等。而当γ～0 (xn)时 ,展开到 xm 项即可。
例 3 ,求lim
x→0
=
1 + xsin2x - x(2 + x)
x
3
解 :因分母是 x3 ,故分子的 Taylor 式应写到含有 x3 的项。
1 + x在 x0 处的带有皮亚诺余项的二阶泰勒公式为 :
1 + x = 1 + 12 x -
1
8 x
2 + 0 (x2) ,
又 sin2x = 2x - (2x)
3
3 ! + 0[ (2x)
3 ] = 2x - 43 x
3 + 0 (x3)
从而 1 + x sin2x = 2x + x2 - 1912 x
3 + 0 (x3 ) 当 x →0 时 ,
1 + xsin2x - x(2 + x) = - 1912 x
3 + 0 (x3)～ - 1912 x
3
故原式 = lim
x→0
-
19
12 x
3
x
3 = -
19
12
[作者单位 :山西省物资学校 ;太原师范学院 责任编辑 :高巍 ]
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