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柯西不等式的证明与应用(下).pdf

柯西不等式的证明与应用(下).pdf

上传者: laohu 2011-03-18 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《柯西不等式的证明与应用(下)pdf》,可适用于高中教育领域,主题内容包含年第期柯西不等式的证明与应用(下)罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院)(本讲适合高中).求最值(值域)柯西不等式求最值多用于:多字母式子的最值和符等。

年第期柯西不等式的证明与应用(下)罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院)(本讲适合高中).求最值(值域)柯西不等式求最值多用于:多字母式子的最值和含约束条件式子的最值.其解题要点有两步:()放缩为常数此时又回到用柯西不等式证明的关键即找出适当的两组实数.()确保等号可以取到.这主要是验证“n地(k为常数)”若求解中经过多次放缩那么还必须保证等号可以同时取到.例已知不等式()(詈)t>对任意的正实数、Y恒成立.则正实数n的最小值为().(A)(B)(C)(D)解:由柯西不等式可求出(y)()(‘‘)=().当=Y=时()(口)可以取到最小值.又不等式()I旦l对任意的、/正实数、Y恒成立故对(y)(詈)的最小值也成立有(~/口).解得>t.当=Y=时口取到最小值.说明:此题应用柯西不等式的一个关键是找出两组数、与、并缩小为~xqy定值()目的是建立关于口的不等收稿日期:式再解该不等式找出口的最小值.其中式、的两次缩小必须保证等号可以同时取到而用Y=口=就是保证式、同时成立.例已知椭圆c:=(a>b>)的离心率短轴一个端点到右焦点的距J离为.()求椭圆C的方程()设直线Z与椭圆c交于点A、原点到z的距离为求AOB面积的最大值.(陕西省高考数学(理科))解:()设椭圆的半焦距为c.依题意fc一{’解得c=b=.【:.故所求椭圆方程为鲁=.()设A(Y。)、B(:Y).则直线Z的方程为(Yly)(一)一(一)(yY)=车(y一Yx一(一X)y(lY一戈Y):.由原点到直线z的距离为得!二一二一‘故Js=丢一:I=x中等数学(誓)(争"(')=当且仅当隽zY=一。隽时上式等号成立.取A()、B(O)(Y==)故AAOB面积取最大值.说明:此题应用柯西不等式的一个关键是找出两组数、Y与Y、一X不仅使qxAy=Xy=l将面积S,GOB放大为常数而且能使等号可以取到.例P为ABC内一点D、E、F分别为P到边C、CA、AB所引垂线的垂足.求所有使BC丽CAAB取小值的点P.解:易知s:丢.肋.咫.PF.根据柯西不等式得CCAAB丽嬲肋朋ABPFCAB\一I丽J(~/CA"PEJAB一'PF)=去(定值).一Js膪c当且仅当|BC|CA|ABPDPEPFv/ffC.PDv/~.pE车PD=PE=PF时式等号成立.故当P为的内心时BC雨CAAB取最小佰.说明:雨CA是一个多字母的式子式是个约束条件找点P的一个关键步骤是验证“等号成立”得出点P到三边的距离相等从而P为ABC的内心..处理特殊等式问题这类问题的特殊性在于用不等式来处理等式.而之所以能这样做常常是式子的内在结构满足柯西不等式取等号的条件.例求方程组的实数解:『x)(y)z)。一【()z(一导)():.解:由已知两方程相加、相减得IYZ=【一一:.由柯西不等式有:一y一z~/(一)(一)~/z。一=~/=.又由柯西不等式取等号的条件得一一一二璺鱼二丝兰一一一一一三。‘。于是’=三.。。‘z一yl一百‘所以方程组的实数解为():(一熹一訾).说明:此题的特殊性在于不定方程有定解其几何意义是空间中的两个球相切(其球心距恰好等于两半径之和)因此方程组就只有一个解.例已知a、b为正数n为正整数且sicos年第l期求证:sinZ"cos"=.DD证明:由柯西不等式有=(口)()}I)。=(sineos).又由柯西不等式取等号的条件得sincsjcs口b‘于是==.故sin"cosnD=()()一一一(口)“一(口b.i’说明:本题的特殊性在于对给定的正数口、。.~sin取到了最大值导致Dn十Dsin、es被唯一确定:sin=abcs=b.练习题.在ABC中三内角的弧度分别为A、B、C.求证:吾Ac誓.请猜想对边形的内角A。A:A会相应有什么结论(提示:在三角形中自动有约束条件曰C=兀.而在凡边形中自动有约束条件A.A=(一)r~).()已知口、b为非负数b=、为正数且YI=似lY=似十bx.求证:YYl.()已知Ⅱ、b、c为非负数口bC=l、、为正数且Yl:似lbxY=似bxC,ggl=似bxl.求证:YjyY.(提示:对YlY、Y(obc)分别用西不等式相乘后再用一次柯西不等式.)柯.已知、b、c、d、k都是实数IJl}I<又b一kab=Cd一kcd=.求证:)lacbdlk‘一(提示:由已知有()(口一)=(c(c=相乘后用柯西不等式.).已知正实数nblbb.求证:【b(口)一’一(砉(提示:由柯西不等式有ob(ki=l一li=l)(一l=(口b)。’一(=求和可得.).求椭圆=上夹在两个坐标轴D之间的切线长的最小值(提示:易知过椭圆上任意一点(。Yo)的切线方程为:l得切线与两坐标轴D的交点为尸(丢。)、Q(ob).于是问题转化为在约束条件Yo=下求lPQI=翮的最/J、值.I尸QI=口b.).J\一、loIl、Jll、七<中等数学解题小品勾股数的应用陶平生(江西科技师范学院数学与计算机科学系)对于一类与平方数相关的问题往往可借助勾股数来处理.例已知对任何整数三项式似c都是完全平方数.证明:必有似c=(e).(第l届莫斯科数学奥林匹克)此题以往的证法中大都是利用极限的思想与方法.如果作适当转化便可利用勾股数给出一个完全初等的证法.证明:记f()=。c.需要证:a、b、c为整数且b=ac.易得C=f(O)为平方数且b=f()一厂(一)a=f()f(一)一c皆为整数.若b不是整数则为奇数.设b=n.于是b=(mod).又CO或(rood)a=(a)i(mod)贝f()=aC或(mod)即厂()不为平方数矛盾.收稿日期:因此b为整数.从而a=f()一bc为整数.为证b=ac采用结构转换法.()当bc时对任意的YZ有f(cy)=a(cy)。b(cy)c=c(acy)为平方数.而c是非零平方数因此对任意的YZg(y)=aey的值为平方数.对任意的kN分别取Y=kb则有整数、'使得g(b):ac()b(kb)=g(一):(b)一b(b)=.以上两式相乘并整理得(Zacb)=(kk)(b).由acb与互质可知式中的三项两两互质且kb为偶数.于是由勾股数定理有互质整数m、使acb=m凡kb=m.据式知m一奇一偶.据对称性不妨总设m为奇数(对每个Ij}).由式m是b的因数但的奇因.已知ab>(i=n).求证:砉燕麓.i=一i=aibi(aliIii)l’”==即(:i=ai'~il(i=)(吼)即蕊ai‘(口)(口t))

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