高等数学试题及答案一

高等数学试题 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ ３ ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。 ｄｘ3 ｘ ｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ｘ １ １ １ ①１－ ── ②１＋ ── ③ ──── ④ｘ ｘ ｘ １－ ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 （ ） ｘ ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ） ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄ ｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘ ｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ） -1 ① ０ ② １ ③ ２ ④ ３ ７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的图形是 （ ） ①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线 ｘ ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ） ｙ ①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ） １ ③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ） ｔ2 ａn＋１ ∞ ９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1 ①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散 １０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 （二）每小题２分，共２０分 １１．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１ ③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│ １２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ） ①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） １３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ） ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件 ｄ １４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１， 则ｆ（ｘ）＝ （ ） ｄｘ ①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ ④１－ｓｉｎｘ １５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3 的曲线方程为ｙ＝ （ ） ①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④ｘ4－１ １ x １６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （ ） x→0 ｘ3 0 １ ① ０ ② １ ③ ── ④ ∞ ３ ｘｙ １７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ） x→0 ｘ2＋ｙ2 y→0 ① ０ ② １ ③ ∞ ④ ｓｉｎ１ １８．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ） ① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ' ｄｐ ② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ─── ｄｙ ｄｐ ③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ─── ｄｙ １ ｄｐ ④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝── ─── ｐ ｄｙ ∞ ∞ １９．设幂级数 ∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（ ） n=o n=o ①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关 ｓｉｎｘ ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ （ ） D ｘ 1 1 ｓｉｎｘ ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ __ 1 √y ｓｉｎｘ ② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __ 1 √x ｓｉｎｘ ③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ 0 x ｘ __ 1 √x ｓｉｎｘ ④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ 三、计算题（每小题５分，共４５分） ___________ ／ ｘ－１ １．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ' 。 √ ｘ（ｘ＋３） ｓｉｎ（９ｘ2－１６） ２．求 ｌｉｍ ─────────── 。 x→4/3 ３ｘ－４ ｄｘ ３．计算 ∫ ─────── 。 （１＋ｅx ）2 t 1 ｄｙ ４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。 0 t ｄｘ ５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。 ___ ６．设 ｕ＝ｅx＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。 x asinθ ７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。 0 0 ｙ＋１ ８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2ｄｘ 通解 。 ｘ＋１ ３ ９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。 （１－ｘ）（２＋ｘ） 四、应用和证明题（共１５分） １．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。 ___ １ ２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。 ｘ 附：高等数学（一）参考答案和评分标准 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2＋１ １ ５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ ２ ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ） π/2 π ８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ 0 0 ９．三阶 １０．发散 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的 （ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．② ６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③ （二）每小题２分，共２０分 １１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③ １６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．② 三、计算题（每小题５分，共４５分） １ １．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分） ２ １ １ １ １ １ ──ｙ'＝──（────－──－────） （２分） ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３ __________ １ ／ ｘ－１ １ １ １ ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分） ２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３ １８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６） ２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分） x→4/3 ３ １８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］ ＝ ────────────────────── ＝８ （２分） ３ １＋ｅx－ｅx ３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分） （１＋ｅx）2 ｄｘ ｄ（１＋ｅx） ＝∫─────－∫─────── （１分） １＋ｅx （１＋ｅx）2 １＋ｅx－ｅx １ ＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分） １＋ｅx １＋ｅx １ ＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分） １＋ｅx ４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分） ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ 所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分） ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分） ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２ 所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分） １ ０ －３ __ __ ６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分） __ ｄｙ ＝ｅx + √y + sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋ ─────］ （２分） ___ ２√ｙ π asinθ １ π ７．解：原积分＝∫ ｓｉｎθｄθ ∫ ｒｄｒ＝ ──ａ2 ∫ ｓｉｎ3θｄθ （３分） 0 0 ２ 0 π/2 ２ ＝ａ2 ∫ ｓｉｎ3θdθ ＝ ── ａ2 （２分） 0 ３ ｄｙ ｄｘ ８．解：两边同除以（ｙ＋１）2 得 ──────＝────── （２分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 ｄｙ ｄｘ 两边积分得 ∫──────＝∫────── （１分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 １ １ 亦即所求通解为 ──── － ──── ＝ｃ （２分） １＋ｘ １＋ｙ １ １ ９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝──── ＋ ──── （１分） １－ｘ ２＋ｘ １ １ １ ＝──── ＋ ── ───── （１分） １－ｘ ２ ｘ １＋── ２ ∞ １ ∞ ｘn ｘ ＝∑ ｘn ＋ ── ∑ （－１）n── （ │ｘ│〈１且│──│〈１ ） （２分） n=0 ２ n=0 ２n ２ ∞ １ ＝∑ ［１＋（－１）n ───］ｘn （ │ｘ│〈１） （２分） n=0 ２n+1 四、应用和证明题（共１５分） ｄｕ １．解：设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ （３分） ｄｔ １ 解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m） （３分） ｋ ｍｇ 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅ-kt/m） （２分） ｋ __ １ ２．证：令ｆ（ｘ）＝２√ｘ ＋ ── － ３ 则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续 （２分） ｘ １ １ 而且当ｘ〉１时，ｆ'（ｘ）＝ ── － ── 〉０ （２分） __ ｘ2 √ｘ 因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调增加 （１分） 从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０ （１分） ___ １ 即当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── （１分）