第8章 基于实例的学习
已知一系列的训练样例，很多学习方法为目标函数建立起明确的一般化描述；但与此不同，基于实例的学习方法只是简单地把训练样例存储起来。从这些实例中泛化的工作被推迟到必须分类新的实例时。每当学习器遇到一个新的查询实例，它分析这个新实例与以前存储的实例的关系，并据此把一个目标函数值赋给新实例。基于实例的学习方法包括最近邻（nearest neighbor）法和局部加权回归（locally weighted regression）法，它们都假定实例可以被表示为欧氏空间中的点。基于实例的学习方法还包括基于
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的推理（case-based reasoning），它对实例采用更复杂的符号表示。基于实例的学习方法有时被称为消极（lazy）学习法，因为它们把处理工作延迟到必须分类新的实例时。这种延迟的或消极的学习方法有一个关键的优点，即它们不是在整个实例空间上一次性地估计目标函数，而是针对每个待分类新实例作出局部的和相异的估计。
8.1 简介
基于实例的学习方法中，最近邻法和局部加权回归法用于逼近实值或离散目标函数，它们在概念上都很简明。对于这些算法，学习过程只是简单地存储已知的训练数据。当遇到新的查询实例时，一系列相似的实例被从存储器中取出，并用来分类新的查询实例。这些方法与其他章讨论的方法相比，一个关键差异是：基于实例的方法可以为不同的待分类查询实例建立不同的目标函数逼近。事实上，很多技术只建立目标函数的局部逼近，将其应用于与新查询实例邻近的实例，而从不建立在整个实例空间上都表现良好的逼近。当目标函数很复杂，但它可用不太复杂的局部逼近描述时，这样做有显著的优势。
基于实例的方法也可以使用更复杂的符号表示法来描述实例。在基于案例的学习中，实例即以这种方式表示，而且也按照这种方式来确定邻近实例。基于案例的推理已经被应用到很多任务中，比如，在咨询台上存储和复用过去的经验；根据以前的法律案件进行推理；通过复用以前求解的问
题
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的相关部分来解决复杂的调度问题。
基于实例方法的一个不足是，分类新实例的开销可能很大。这是因为几乎所有的计算都发生在分类时，而不是在第一次遇到训练样例时。所以，如何有效地索引训练样例，以减少查询时所需计算是一个重要的实践问题。此类方法的第二个不足是（尤其对于最近邻法），当从存储器中检索相似的训练样例时，它们一般考虑实例的所有属性。如果目标概念仅依赖于很多属性中的几个时，那么真正最“相似”的实例之间很可能相距甚远。
在下一节我们将介绍k-近邻（k-Nearest Neighbor）法，以及这个广泛应用的方法的几个变体。在此之后我们将讨论局部加权回归法，一种建立目标函数的局部逼近的学习方法，这种方法可以被看作k-近邻法的一般形式。然后我们描述径向基函数（radial basis function）网络，这种网络为基于实例的学习算法和神经网络学习算法提供了一个有趣的桥梁。再下一节讨论基于案例的推理，一种使用符号表示和基于知识的推理（knowledge-based inference）的方法。这一节包括了一个基于案例的推理应用实例，用于解决工程设计问题。最后，我们讨论了本章讲述的消极学习方法和本书其他各章的积极（eager）学习方法间的差异。
8.2 k-近邻法
基于实例的学习方法中最基本的是k-近邻算法。这个算法假定所有的实例对应于n维欧氏空间(n中的点。一个实例的最近邻是根据
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欧氏距离定义的。更精确地讲，把任意的实例x表示为下面的特征向量：
其中ar(x)表示实例x的第r个属性值。那么两个实例xi和xj间的距离定义为d(xi, xj)，其中：
d(xi, xj)(
在最近邻学习中，目标函数值可以为离散值也可以为实值。我们先考虑学习以下形式的离散目标函数f : (n(V。其中V是有限集合{v1, (vs}。表8-1给出了逼近离散目标函数的k-近邻算法。正如表中所指出的，这个算法的返回值
(xq)为对f(xq)的估计，它就是距离xq最近的k个训练样例中最普遍的f值。如果我们选择k=1，那么“1-近邻算法”就把f(xi)赋给
(xq)，其中xi是最靠近xq的训练实例。对于较大的k值，这个算法返回前k个最靠近的训练实例中最普遍的f值。
表8-1 逼近离散值函数f : (n(V的k-近邻算法
训练算法：
· 对于每个训练样例，把这个样例加入列表training_examples
分类算法：
· 给定一个要分类的查询实例xq
· 在training_examples中选出最靠近xq的k个实例，并用x1(xk表示
· 返回
其中如果a=b那么((a, b)=1，否则((a, b)=0。
图8-1图解了一种简单情况下的k-近邻算法，在这里实例是二维空间中的点，目标函数具有布尔值。正反训练样例用“+”和“-”分别表示。图中也画出了一个查询点xq。注意在这幅图中，1-近邻算法把xq分类为正例，然而5-近邻算法把xq分类为反例。
插图——原书页码： 233
图8-1 k-近邻算法
左图画出了一系列的正反训练样例和一个要分类的查询实例xq。1-近邻算法把xq分类为正例，然而5-近邻算法把xq分类为反例。右图是对于一个典型的训练样例集合1-近邻算法导致的决策面。围绕每个训练样例的凸多边形表示最靠近这个点的实例空间（即这个空间中的实例会被1-近邻算法赋予该训练样例所属的分类）。
k-近邻法隐含考虑的假设空间H的特性是什么呢？注意k-近邻算法从来不形成关于目标函数f的明确的一般假设
。它仅在需要时计算每个新查询实例的分类。然而，我们依然可以问：隐含的一般函数是什么？或者说，如果保持训练样例不变，并用X中的每个可能实例查询算法，会得到什么样的分类？图8-1中的右图画出了1-近邻算法在整个实例空间上导致的决策面形状。决策面是围绕每个训练样例的凸多边形的合并。对于每个训练样例，多边形指出了一个查询点集合，它的分类完全由相应训练样例决定。在这个多边形外的查询点更接近其他的训练样例。这种类型的图经常被称为这个训练样例集合的Voronoi图
(Voronoi diagram)。
对前面的k-近邻算法作简单的修改后，它就可被用于逼近连续值的目标函数。为了实现这一点，我们让算法计算k个最接近样例的平均值，而不是计算其中的最普遍的值。更精确地讲，为了逼近一个实值目标函数f:(n((，我们只要把算法中的公式替换为：
（8.1）
8.2.1 距离加权最近邻算法
对k-近邻算法的一个显而易见的改进是对k个近邻的贡献加权，根据它们相对查询点xq的距离，将较大的权值赋给较近的近邻。例如，在表8-1逼近离散目标函数的算法中，我们可以根据每个近邻与xq的距离平方的倒数加权这个近邻的“选举权”。方法是通过用下式取代表8-1算法中的公式来实现：
（8.2）
其中：
（8.3）
为了处理查询点xq恰好匹配某个训练样例xi，从而导致分母为0的情况，我们令这种情况下的
(xq)等于f(xi)。如果有多个这样的训练样例，我们使用它们中占多数的分类。
我们也可以用类似的方式对实值目标函数进行距离加权，只要用下式替换表8-1中的公式：
（8.4）
其中wi的定义与公式（8.3）中相同。注意公式（8.4）中的分母是一个常量，它将不同权值的贡献归一化（例如，它保证如果对所有的训练样例xi，f(xi)=c，那么
(xq)(c）。
注意以上k-近邻算法的所有变体都只考虑k个近邻以分类查询点。如果使用按距离加权，那么允许所有的训练样例影响xq的分类事实上没有坏处，因为非常远的实例对
(xq)的影响很小。考虑所有样例的惟一不足是会使分类运行得更慢。如果分类一个新的查询实例时考虑所有的训练样例，我们称此为全局（global）法。如果仅考虑最靠近的训练样例，我们称此为局部（local）法。当公式（8.4）的法则被应用为全局法时，它被称为Shepard法（Shepard 1968）。
8.2.2 对k-近邻算法的说明
按距离加权的k-近邻算法是一种非常有效的归纳推理方法。它对训练数据中的噪声有很好的鲁棒性，而且当给定足够大的训练集合时它也非常有效。注意通过取k个近邻的加权平均，可以消除孤立的噪声样例的影响。
k-近邻算法的归纳偏置是什么呢？通过分析图8-1中的示例，可以很容易地理解这种算法分类新查询实例的根据。它的归纳偏置对应于假定：一个实例的分类xq最相似于在欧氏空间中它附近的实例的分类。
应用k-近邻算法的一个实践问题是，实例间的距离是根据实例的所有属性（也就是包含实例的欧氏空间的所有坐标轴）计算的。这与那些只选择全部实例属性的一个子集的方法不同，例如决策树学习系统。为了理解这种策略的影响，考虑把k-近邻算法应用到这样一个问题：每个实例由20个属性描述，但在这些属性中仅有2个与它的分类是有关。在这种情况下，这两个相关属性的值一致的实例可能在这个20维的实例空间中相距很远。结果，依赖这20个属性的相似性度量会误导k-近邻算法的分类。近邻间的距离会被大量的不相关属性所支配。这种由于存在很多不相关属性所导致的难题，有时被称为维度灾难（curse of dimensionality）。最近邻方法对这个问题特别敏感。
解决该问题的一个有趣的方法是，当计算两个实例间的距离时对每个属性加权。这相当于按比例缩放欧氏空间中的坐标轴，缩短对应于不太相关属性的坐标轴，拉长对应于更相关的属性的坐标轴。每个坐标轴应伸展的数量可以通过交叉验证的方法自动决定。具体做法如下，首先假定使用因子zj伸展（乘）第j根坐标轴，选择zj的各个值z1(zn以使学习算法的真实分类错误率最小化。其次，这个真实错误率可以使用交叉验证来估计。所以，一种算法是随机选取现有数据的一个子集作为训练样例，然后决定z1(zn的值使剩余样例的分类错误率最小化。通过多次重复这个处理过程，可以使加权因子的估计更加准确。这种伸展坐标轴以优化k-近邻算法的过程，提供了一种抑制无关属性影响的机制。
另外一种更强有力的方法是从实例空间中完全消除最不相关的属性。这等效于设置某个缩放因子zj为0。Moore & Lee（1994）讨论了有效的交叉验证方法，为k-近邻算法选择相关的属性子集。确切地讲，他们探索了基于“留一法”（leave-one-out）的交叉验证，在这种方法中，m个训练实例的集合以各种可能方式被分成m-1个实例的训练集合和1个实例的测试集合。这种方法在k-近邻算法中是容易实现的，因为每一次重新定义训练集时不需要额外的训练工作。注意上面的两种方法都可以被看作以某个常量因子伸展坐标轴。另外一种可选的做法是使用一个在实例空间上变化的值伸展坐标轴。这样增加了算法重新定义距离度量的自由度，然而它也增加了过度拟合的风险。所以，局部伸展坐标轴的方法是不太常见的。
应用k-近邻算法的另外一个实践问题是如何建立高效的索引。因为这个算法推迟所有的处理，直到接收到一个新的查询，所以处理每个新查询可能需要大量的计算。目前已经开发了很多方法用来对存储的训练样例进行索引，以便在增加一定存储开销情况下更高效地确定最近邻。一种索引方法是kd-tree（Bentley 1975；Friedman et al. 1977），它把实例存储在树的叶结点内，邻近的实例存储在同一个或附近的结点内。通过测试新查询xq的选定属性，树的内部结点把查询xq排列到相关的叶结点。
8.2.3 术语注解
在关于最近邻法和局部加权回归法的很多文献中，使用了一些来自统计模式识别领域的术语。在阅读这些文献时，知道下列术语是有帮助的：
· 回归（Regression）的含义是逼近一个实值目标函数。
· 残差（Residual）是逼近目标函数时的误差
(x)- f(x)。
· 核函数（Kernel function）是一个距离函数，它用来决定每个训练样例的权值。换句话说，核函数就是使wi=K(d(xi, xq))的函数K。
8.3 局部加权回归
前一节描述的最近邻方法可以被看作在单一的查询点x=xq上逼近目标函数f(x)。局部加权回归是这种方法的推广。它在环绕xq的局部区域内为目标函数f建立明确的逼近。局部加权回归使用附近的或距离加权的训练样例来形成这种对f的局部逼近。例如，我们可以使用线性函数、二次函数、多层神经网络或者其他函数形式在环绕xq的邻域内逼近目标函数。“局部加权回归”名称中，之所以叫“局部”是因为目标函数的逼近仅仅根据查询点附近的数据，之所以叫“加权”是因为每一个训练样例的贡献是由它与查询点间的距离加权的，之所以叫“回归”是因为统计学习界广泛使用这个术语来表示逼近实数值函数的问题。
给定一个新的查询实例xq，局部加权回归的一般方法是建立一个逼近
，使
拟合环绕xq的邻域内的训练样例。然后用这个逼近来计算
(xq)的值，也就是为查询实例估计的目标值输出。然后
的描述被删除，因为对于每一个独立的查询实例都会计算不同的局部逼近。
8.3.1 局部加权线性回归
下面，我们先考虑局部加权回归的一种情况，即使用如下形式的线性函数来逼近xq邻域的目标函数f：
(x)=w0+w1a1(x)+(+wnan(x)
和前面一样，ai(x)表示实例x的第i个属性值。
回忆第4章中我们讨论的梯度下降方法，在拟合以上形式的线性函数到给定的训练集合时，它被用来找到使误差最小化的系数w0(wn。在那一章中我们感兴趣的是目标函数的全局逼近。所以当时我们推导出的权值选择方法是使训练集合D上的误差平方和最小化，即：
（8.5）
根据这个误差定义，我们得出了以下梯度下降训练法则：
(wj=(
(f(x)-
(x))aj(x)
（8.6）
其中(是一个常数，称为学习速率。而且这个法则已经被重新表示，修改了其中第4章中的记号以匹配当前的记号（也就是，t( f(x)，o(
(x)，xj( aj(x)）。
我们应该如何修改这个过程来推导出局部逼近呢？简单的方法是重新定义误差准则E以着重于拟合局部训练样例。下面给出了三种可能的误差准则。注意我们把误差写为E(xq)，目的是为了强调目前的误差被定义为查询点xq的函数。
1. 只在k个近邻上的误差平方和最小化：
2. 使整个训练样例集合D上的误差平方和最小化，但对每个训练样例加权，权值为关于相距xq距离的某个递减函数K：
3. 综合1和2：
准则2或许是最令人满意的，因为它允许每个训练样例都对xq的分类产生影响。然而这种方法所需的计算量随着训练样例数量线性增长。准则3很好地近似了准则2并且具有如下优点：计算开销独立于训练样例总数，而仅依赖于所考虑的最近邻数k。
如果使用上面的准则3，并使用与第4章相同的推理方式重新推导梯度下降法则，可以得到以下训练法则：
（8.7）
注意这个新的法则和公式（8.6）给出的法则的差异是，实例x对权值更新的贡献现在乘上了一个距离惩罚项K(d(xq, x))，并且仅对k个最邻近的训练实例的误差求和。事实上，如果要使一个线性函数拟合固定的训练样例集合，那么有一些比梯度下降更高效的方法，它们直接求解所需要的系数w0(wn。Atkeson et al.（1997a）和Bishop（1995）调查了几个这样的方法。
8.3.2 局部加权回归的说明
上面我们考虑了使用一个线性函数在查询实例xq邻域内逼近f。关于局部加权回归的文献中，在对训练样例距离加权方面包含大量的可选方法，还包含大量的目标函数局部逼近方法。在大多数情况下是通过一个常量、线性函数或二次函数来局部逼近目标函数。更复杂的函数形式不太常见，原因是（1）对每个查询实例用更复杂的函数来拟合，其代价十分高昂；（2）在足够小的实例空间子域上，使用这些简单的近似已能相当好地模拟目标函数。
8.4 径向基函数
另一种函数逼近的方法是使用径向基函数（radial basis function），这种方法与距离加权回归和人工神经网络都有着紧密联系（Powell 1987；Broomhead & Lowe 1988；Moody & Darken 1989）。在这种方法中，待学习的假设是一个以下形式的函数，
（8.8）
其中每个xu是X中一个实例，核函数Ku(d(xu, x))被定义为随距离d(xu, x)的增大而减小。这里的k是用户提供的常量，用来指定要包含的核函数的数量。尽管
(x)是对f(x)的全局逼近，但来自每个Ku(d(xu, x)) 项的贡献被局部化到点xu附近的区域。一种很常见的做法是选择高斯函数（Gaussian function）（见表5-4）作为每个核函数Ku(d(xu, x))，高斯函数的中心点为xu，方差是
。
Ku(d(xu, x)) =
下面我们来集中讨论这个常见的高斯核函数。根据Hartman et al.（1990）所指出的，公式（8.8）这样的函数形式能够以任意小的误差逼近任何函数，只要以上高斯核的数量k足够大，并且可以分别指定每个核的宽度(2。
公式（8.8）给出的函数可以被看作是描述了一个两层的网络，第一层计算不同的Ku(d(xu, x))，第二层计算第一层单元值的线性组合。图8-2画出了一个径向基函数网络的例子。
插图——原书页码： 239
图8-2 一个径向基函数网络
每个隐藏单元产生一个激发（activation），它由以某个实例xu为中心的高斯函数决定。所以，除非x靠近xu，否则它的激发接近于0。输出单元产生的输出是隐藏单元激发的线性组合。尽管这里画出的网络仅有一个输出，但是也可以包含多个输出。
给定了目标函数的训练样例集合，一般分两个阶段来训练RBF网络。首先，决定隐藏单元的数量k，并通过选取用来定义核函数Ku(d(xu, x))的xu、
值定义每个隐藏单元。第二，使用式（8.5）给出的全局误差准则来训练权值wu，使网络拟合训练数据程度最大化。因为核函数在第二阶段是保持不变的，所以线性权值wu可以被非常高效地训练得到。
人们已经提出了几种方法来选取适当的隐藏单元或者说核函数的数量。一种方法是为每一个训练样例分配一个高斯核函数，此高斯函数的中心点被设为xi。所有高斯函数的宽度(2可被赋为同样的值。通过这种方法，RBF网络学习目标函数的全局逼近，其中每个训练样例都只在xi的邻域内影响
的值。这样选择核函数的一个优点是它允许RBF网络精确地拟合训练数据。也就是说，对于任意m个训练样例集合，为了合并m个高斯核函数的权值w0(wm可以被设置为使得对于每一个训练样例都满足
(xi)=f(xi)。
第二种方法是选取一组数量少于训练样例数量的核函数。这种方法可以比第一种方法更有效，特别是在训练样例的数量巨大的时候。核函数被分布在整个实例空间X上，它们的中心之间有均匀的间隔。或者也可以非均匀地分布核函数中心，特别是在实例本身在X上非均匀分布的时候。在后一种情况下，可以随机选取训练样例的一个子集作为核函数的中心，从而对实例的基准分布进行采样。或者，我们可以标识出实例的原始聚类（prototypical cluster），然后以每个聚类为中心加入一个核函数。这种方式的核函数布置可以通过非监督的聚类算法来实现，其中把训练实例（不包含目标值）拟合到混合高斯。6.12.1节讨论的EM算法提供了一种从k个高斯函数的混合中选择均值，以最佳拟合观测到实例的方法。在EM算法中，均值的选取方法是：对给定的k个估计的均值，使观测到实例xi的概率最大化。注意在无监督的聚类方法中，实例的目标函数值f(xi)不参与核函数中心的计算。目标值的惟一作用是决定输出层的权值wu。
概而言之，用多个局部核函数的线性组合表示的径向基函数网络提供了一种目标函数的全局逼近。仅当输入x落入某个核函数的中心和宽度所定义的区域内时，这个核函数的值才是不可忽略的。因此，RBF网络可以被看作目标函数的多个局部逼近的平滑线性组合。RBF网络的一个关键优点是，与反向传播算法训练的前馈网络相比，它的训练更加高效。这是因为RBF网络的输入层和输出层可以被分别训练。
8.5 基于案例的推理
k-近邻算法和局部加权回归都是基于实例的方法，它们具有三个共同的关键特性。第1，它们是消极学习方法，都把在训练数据上的泛化推迟至遇到一个新的查询实例时。第2，它们通过分析相似的实例来分类新的查询实例，而忽略与查询极其不同的实例。第3，它们把实例表示为n维欧氏空间中的实数点。基于案例的推理（Case-based reasoning，CBR）这种学习范型基于前两个原则，但不包括第3个。在CBR中，一般使用更丰富的符号描述来表示实例；相应地，用来检索实例的方法也更加复杂。CBR已被应用于解决很多问题，比如，根据数据库中存储的以前的设计图纸，来进行机械设备的总体设计（Sycara et al. 1992）；根据以前的裁决来对新的法律案件进行推理（Ashley 1990）；通过对以前的相似问题的解决
方案
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的复用或合并，来解决规划和调度问题（Veloso 1992）。
作为以后讨论的基础，让我们考虑基于案例的推理系统的一个例子。CADET系统（Sycara et al. 1992）采用基于案例的推理来辅助简单机械设备（例如水龙头）的总体设计。它使用一个数据库，其中包含大约75个以前的设计或设计片断，来推荐符合新的设计规格的总体设计。内存中每一个实例是通过它的结构和定性的功能来表示的。相应的，新的设计问题是通过所要求的功能和结构来表示的。图8-3画出了这个问题。图的上半部分显示了一个典型的存储案例，被称为T型接头管。它的功能被表示为输入和输出点的流量和温度间的定性关系。在右侧的功能描述中，标有“+”的箭头表明箭头头部的变量随着箭头尾部的变量上升。例如，输出流量Q3随着输入流量Q1增长。类似地，“-”标记表明箭头头部的变量随着箭头尾部的变量下降。这幅图的下半部分画出了一个新的设计问题，它通过新设计中所要求的功能来描述。这个功能描绘了一种水龙头的行为特征。这里Qc指进入龙头的冷水流量，Qh指热水的输入流量，Qm指流出龙头的单一混合流量。类似地，Tc、Th和Tm分别指热水、冷水和混合水流的温度。变量Ct表示输入到龙头的温度控制信号，Cf表示对水流的控制信号。注意，所要求的功能描述中指出，这些控制信号Ct和Cf用来影响水流Qc和Qh，从而间接影响龙头的输出流量Qm和温度Tm。
插图——原书页码： 241
A stored case: T-junction tube- 一个存储的案例：T型接头管
Structure-结构
Function-功能
A problem specification: Water faucet- 一个问题的规格说明：水龙头
Structure-结构
Function-功能
图8-3 一个存储的案例和一个新问题
上半部分描绘了CADET案例库中一个典型的设计片断。它的功能是通过T型接头变量间的定性依赖关系图表示的（在正文中具体描述）。下半部分显示了一个典型的设计问题。
给定新设计问题的功能说明，CADET从它的案例库中搜索存储的例，使它的功能描述和新设计问题相匹配。如果发现了一个精确的匹配，表明某个存储案例精确实现了所要求的功能，那么可以返回这个案例作为新设计问题的建议方案。如果没有发现精确的匹配，CADET可能找到匹配所需功能的不同子图的案例。例如，在图8-3中T型接头的功能匹配了水龙头功能图的一个子图。更一般地讲，CADET在两个功能图间搜索同构子图（isomorphisms subgraph），以发现一个案例的某部分，使它匹配设计规格说明的相应部分。此外，系统可以加工原始的功能说明图，产生等价的子图以匹配更多的案例。它使用关于物理感应的一般知识来创建这样的加工过的功能图。例如，利用一种重写规则可以把这个感应：
A
B
重写为
A
x
B
这个重写规则可以被解释为：如果B随A上升，那么一定可以找到某个x，满足B随x上升而且x随A上升。这里x是一个全称量化的变量，它在功能图与这个案例库匹配时约束到确定值。事实上，图8-3中的水龙头的功能图就是应用这个重写规则从原来的功能说明中加工得到的。
通过检索匹配不同子图的多个案例，有时可以拼接得到整个设计。一般来说，从多个检索到的案例产生最终方案的过程可以很复杂。为了合并存储案例中的检索到的部分，可能需要从头设计系统的各个部分。也可能需要回溯以前的设计子目标，从而丢弃前面检索到的案例。CADET合并和自适应已检索到案例并形成最终设计的能力很有限，它主要依赖用户来做自适应阶段的处理。正如Sycara et al.（1992）所描述的，CADET是一个研究用的原型系统，用来探索基于案例的推理在总体设计中的潜在作用。它不具备用来把这些抽象的总体设计提炼成最终设计的分析算法。
对于CADET的问题框架和基于实例的方法（例如k-近邻算法）的一般框架，分析它们之间的对应之处是有益的。在CADET中每个存储的训练样例描绘了一个功能图以及实现该功能的结构。新的查询对应新的功能图。因此，我们可以把CADET的问题映射到标准的学习问题定义中。其中实例空间X定义为所有功能图的空间。目标函数f映射到实现这些功能的结构。每个存储训练样例是一个序偶，描述某个功能图x和实现x的结构f(x)。系统必须学习训练案例，以输出满足功能图查询输入xq的结构f(xq)。
上面关于CADET系统简要描述，说明了基于案例的推理系统区别于k-近邻这样的方法的若干一般特征：
· 实例或案例可以用丰富的符号描述表示，就像CADET中使用的功能图。这可能需要不同于欧氏距离的相似性度量，比如两个功能图的最大可共享子图的大小。
· 检索到的多个案例可以合并形成新问题的解决方案。这与k-近邻方法相似——多个相似的案例用来构成对新查询的回答。然而，合并多个检索到的案例的过程与k-近邻有很大不同，它依赖于知识推理而不是统计方法。
· 案例检索、基于知识的推理和问题求解间是紧密耦合在一起的。例如CADET系统在尝试找到匹配的案例过程中，它使用有关物理感应的一般知识重写了功能图。人们已经开发出很多其他的系统，这些系统更加完整地把基于案例的推理集成到基于搜索的问题求解系统中。ANAPRON（Golding & Rosenbloom 1991）和Prodigy/Analogy（Veloso 1992）是两个例子。
概括地讲，基于案例的推理是一种基于实例的学习方法，在这种方法中，实例（案例）可以是丰富的关系描述；而且在该方法中，为了解决当前查询，案例检索和合并过程可能依赖于知识推理和搜索密集的问题求解方法。目前关于基于案例的推理研究的一个课题是，改进索引案例的方法。这里的中心问题是句法相似度量（例如，功能图之间的子图同构）仅能近似地指出特定案例与特定问题的相关度。当CBR系统试图复用检索到的案例时，它可能遇到句法相似度量中没有捕捉到的难点。例如，在CADET中，检索到的多个设计片断可能彼此不兼容，使得它们无法被合并到一个统一的最终设计中。一般当这种情况发生时，CBR系统可回溯搜索另外的案例以适应现有的案例，或者求助于其他的问题求解方法。重要的是，当检测到这样的难点时，它们也提供了用来改进相似性度量（或等价的，案例库索引结构）的训练数据。确切地讲，如果根据相似性度量检索到了一个案例，但在进一步的分析中发现这个案例与当前的设计是无关的，那么这个相似性度量会被改进，以便对于以后的类似查询拒绝这个案例。
8.6 对消极学习和积极学习的评论
在这一章中我们考虑了三种消极学习（lazy learning）方法：k-近邻算法、局部加权回归和基于案例的推理。之所以称这些方法是消极的，是因为它们延迟了如何从训练数据中泛化的决策，直到遇到一个新的查询。本章讨论了一种积极学习方法：学习径向基函数网络的方法。之所以称这种方法是积极的，是因为它在见到新的查询之前就做好了泛化的工作——在训练时提交了定义其目标函数逼近的网络结构和权值。根据同样的理解，本书其他章节讨论的所有其他算法都是积极学习算法（例如，反向传播算法、C4.5）。
在算法能力方面，消极方法和积极方法有明显差异吗？我们先区分两种差异：计算时间的差异，和对新查询的分类差异。在计算时间方面消极方法和积极方法显然有差异。例如，消极方法在训练时一般需要较少的计算，但在预测新查询的目标值时需要更多的计算时间。
更基本的问题是，在归纳偏置方面消极和积极方法是否有实质性的差异呢？在这方面两种方法的关键差异是：
· 消极方法在决定如何从训练数据D中泛化时考虑查询实例xq。
· 积极方法不能做到这一点，因为在见到查询实例xq前，它们已经选取了对目标函数的（全局）逼近。
这个区别会影响学习器的泛化精度吗？如果要求消极的和积极的学习器采用同一个假设空间H，那么答案是肯定的。为了说明这一点，考虑由线性函数组成的假设空间。前面讨论的局部加权回归算法是基于这样的假设空间的消极学习方法。对于每个新查询xq，它根据xq附近的训练样例选择一个新的假设从训练数据中泛化。相反，一个使用同样的线性函数假设空间的积极学习器必须在见到查询之前选择对目标函数的逼近。所以积极学习器必须提交单个的线性函数假设，以覆盖整个实例空间和所有未来的查询。消极学习方法有效地使用了更丰富的假设空间，因为它使用很多不同的局部线性函数来形成对目标函数的隐含的全局逼近。注意其他的一些学习器和假设空间也符
合同
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样的情况。例如反向传播算法的消极版本，可以对每个独立的查询点学习不同的神经网络。这与第4章讨论的反向传播算法的积极版本形成对照。
上面一段的核心观点是，消极的学习器可以通过很多局部逼近的组合（隐含地）表示目标函数，然而积极的学习器必须在训练时提交单个的全局逼近。因此积极学习的和消极学习之间的差异意味着对目标函数的全局逼近和局部逼近的差异。
使用多个局部逼近的积极方法，可以产生与消极方法的局部逼近同样的效果吗？径向基函数网络可以被看作向这个目标的尝试。RBF学习方法是在训练时提交目标函数全局逼近的积极方法。然而，一个RBF网络把这个全局函数表示为多个局部核函数的线性组合。不过，因为RBF学习方法必须在知道查询点之前提交假设，所以它们创建的局部逼近不能达到像消极学习方法中那样特别针对查询点。代替地，RBF网络是从以训练样例为中心的局部逼近中被“积极”建立的，或者说是以训练样例的聚类为中心，不是以未知的未来查询点为中心。
概而言之，消极学习方法可以对于每一个查询实例选择不同的假设（或目标函数的局部逼近）。使用同样假设空间的积极方法是更加受限制的，因为它们必须提交一个覆盖整个实例空间的单一假设。当然，积极的方法可以使用合并了多个局部逼近的假设空间，就象RBF网络一样。然而，即使是这些合并的局部逼近，也不能使积极方法完全具有消极方法那种针对未知查询作出假设的能力。
8.7 小结和补充读物
这一章的要点包括：
· 基于实例的学习方法不同于其他的函数逼近方法，因为它们推迟处理训练样例，直到必须分类一个新查询实例时。因此，它们不必形成一个明确的假设来定义整个实例空间上的完整目标函数。相反，它们可以对每个查询实例形成一个不同的目标函数局部逼近。
· 基于实例的方法的优点包括：通过一系列不太复杂的局部逼近来模拟复杂目标函数的能力；不会损失训练样例中蕴含的任何信息（因为事例本身被直接地存储起来）。主要的实践问题包括：分类新实例的效率（所有的处理都在查询期进行而不是事先准备好）；难以选择用来检索相关实例的合适的距离度量（特别是当实例是用复杂的符号表示描述的时候）；无关特征对距离度量的负作用。
· k-近邻是用来逼近实数值或离散值目标函数的基于实例算法，它假定实例对应于n维欧氏空间中的点。一个新查询的目标函数值是根据k个与其最近的训练样例的值估计得到的。
· 局部加权回归法是k-近邻方法的推广，在这种方法中，为每个查询实例建立一个明确的目标函数的局部逼近。目标函数的局部逼近可以基于像常数、线性函数或二次函数这样的大量的函数形式，也可以基于空间局部化的核函数。
· 径向基函数（RBF）网络是一类由空间局部化核函数构成的人工神经网络。它可被看作是基于实例的方法（每个核函数的影响是被局部化的）和神经网络方法（在训练期形成了对目标函数的全局逼近，而不是在查询期形成局部逼近）的混合。径向基函数网络已被成功地应用到很多课题，比如视觉场景分析（interpreting visual scenes），其中假定空间局部的影响是很合理的。
· 基于案例的推理也是一种基于实例的学习方法，但这种方法使用复杂的逻辑描述而不是欧氏空间中的点来表示实例。给定实例的符号描述，人们已经提出了大量的方法用于把训练样例映射成新实例的目标函数值。基于案例的推理方法已经应用到很多实际问题中，比如模拟法律推理，以及在复杂的生产和运输规划问题中引导搜索。
k-近邻算法是机器学习中被分析得最透彻的算法之一，原因一部分是由于它出现的较早，另外也由于它的简明性。Cover & Hart（1967）提出了早期的理论结果，Duda & Hart（1973）提供了一个很好的概观。Bishop（1995）讨论了k-近邻算法以及它与概率密度估计的关系。Atkeson et al.（1997）对局部加权回归方法给出了一个非常好的纵览。Atkeson et al.（1997b）调查了这些方法在机器人控制方面的应用。
Bishop（1995）提供了一个对径向基函数的全面讨论。其他论述由Powell（1987）和Poggio & Girosi（1990）给出。本书的6.12小节讨论了EM算法和它在选择混合高斯均值方面的应用。
Kolodner（1993）提供了对基于案例的推理的一般介绍。以下文献给出了其他的一些关于近来的研究成果的纵览和汇集：Aamodt et al.（1994），Aha et al.（1991），Haton et al.（1995），Riesbeck & Schank（1989），Schank et al.（1994），Veloso and Aamodt（1995），Watson（1995），Wess et al.（1994）。
习题
8.1 对于公式（8.7）中的目标函数的一个距离加权局部线性逼近，推导梯度下降法则。
8.2 思考以下为解决局部加权回归中的距离度量的另一种方法。如下建立一个虚拟的训练样例集合D(：对于原始训练数据集合D中的每一个训练样例，在D(中创建出一定数量（可能是分数）的的拷贝，其中拷贝的数量是K(d(xq, x))。现在训练一个线性逼近来最小化以下误差准则：
这里的想法是对靠近查询实例的训练样例产生较多的拷贝，距离远的拷贝较少。推导出这个误差准则的梯度下降法则。把这个法则表示成在D的成员上的求和，而不是在D(的成员上求和，并把它和公式（8.6）和（8.7）中的法则进行比较。
8.3 决策树学习算法ID3（见第3章）是积极的学习方法，提出这种算法的一个消极版本。与本来的积极算法相比，你的消极算法有什么优点和缺点？
参考文献
�译注：又称梯森多边形（Thiessen Polygons），可以理解为对空间的一种分割方式，一个梯森多边形内的任一点到本梯森多变形中心点的距离都小于到其他梯森多边形中心点的距离。
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