《误差理论与数据处理》练习题
参考答案
1
第一章 绪论
1-1 测得某三角块的三个角度之和为 180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差
解:
绝对误差等于:
相对误差等于:
1-6 检定 2.5 级(即引用误差为 2.5%)的全量程为 l00V 的电压
表
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,发现 50V 刻度点的
示值误差 2V 为最大误差,问该电表是否合格?
解:
依题意,该电压表的示值误差为 2V
由此求出该电表的引用相对误差为 2/100=2%
因为 2%<2.5%
所以,该电表合格。
1-9 多级弹导火箭的射程为 10000km时,其射击偏离预定点不超过 0.lkm,优秀射手能在
距离 50m远处准确地射中直径为 2cm的靶心,试评述哪一个射击精度高?
解:
多级火箭的相对误差为:
射手的相对误差为:
多级火箭的射击精度高。
第二章 误差的基本性质与处理
2-4 测量某电路电流共 5次,测得数据(单位为 mA)为 168.41,168.54,168.59,168.40,
168.50。试求算术平均值及其
标准
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差、或然误差和平均误差。
解:
)(49.168
5
5
1 mA
I
I i
i
08.0
15
)(
5
1
i
IIi
21802000180 oo
%000031.010000030864.0
064800
2
0660180
2
180
2
=
o
%001.000001.0
10000
1.0
%002.00002.0
50
01.0
50
1
m
m
m
cm
2
05.008.0
3
2
15
)(
3
2
5
1
i
IIi
06.008.0
5
4
15
)(
5
4
5
1
i
IIi
2—5 在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量 5次,测得数据(单位为 mm)为 20.0015,
20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若测量值服从正态分布,试以 99%的置信概率确
定测量结果。
解:
求算术平均值
求单次测量的标准差
求算术平均值的标准差
确定测量的极限误差
因 n=5 较小,算术平均值的极限误差应按 t分布处理。
现自由度为:ν=n-1=4; α=1-0.99=0.01,
查 t 分布表有:ta=4.60
极限误差为
写出最后测量结果
2-8 用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差σ=0.001mm,若要求测量的允许极限
误差为±0.0015mm,而置信概率 P为 0.95时,应测量多少次?
解:根据极限误差的意义,有
0015.0
n
tt x
根据题目给定得已知条件,有
5.1
001.0
0015.0
n
t
mm
n
l
x
n
i
i
0015.201
mm
n
v
n
i
i
4
8
1
2
1055.2
4
1026
1
mm
n
x
4
4
1014.1
5
1055.2
=
mmtx x
44
lim 1024.51014.160.4
mmxxL 4lim 1024.50015.20
3
查教材附录表 3有
若 n=5,v=4,α=0.05,有 t=2.78,
24.1
236.2
78.2
5
78.2
n
t
若 n=4,v=3,α=0.05,有 t=3.18,
59.1
2
18.3
4
18.3
n
t
即要达题意要求,必须至少测量 5次。
2-19 对某量进行两组测量,测得数据如下:
xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57
yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
解:
按照秩和检验法要求,将两组数据混合排列成下表:
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20
yi 0.99 1.12 1.21
T 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xi 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41
yi 1.25 1.31 1.31 1.38
T 21 22 23 24 25 26 27 28
xi 1.57
yi 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
现 nx=14,ny=14,取 xi的数据计算 T,得 T=154。由
203)
2
)1(
( 211
nnn
a ; 474)
12
)1(
( 2121
nnnn
求出:
1.0
aT
t
现取概率 2 95.0)( t ,即 475.0)( t ,查教材附表 1有 96.1t 。由于 tt ,因此,
可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章 误差的合成与分配
3—3 长方体的边长分别为α1,α2, α3 测量时:①标准差均为σ;②标准差各为σ1、σ2、
σ3 。试求体积的标准差。
4
解:
长方体的体积计算公式为: 321 aaaV
体积的标准差应为: 23
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
)()()(
a
V
a
V
a
V
V
现可求出: 32
1
aa
a
V
; 31
2
aa
a
V
; 21
3
aa
a
V
若: 321
则有: 2
3
2
2
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
)()()()()()(
a
V
a
V
a
V
a
V
a
V
a
V
V
2
21
2
31
2
32 )()()( aaaaaa
若: 321
则有: 23
2
21
2
2
2
31
2
1
2
32 )()()( aaaaaaV
3—9 按公式 V=πr2h 求圆柱体体积,若已知 r 约为 2cm,h 约为 20cm,要使体积的相对
误差等于 1%,试问 r和 h测量时误差应为多少?
解:
若不考虑测量误差,圆柱体积为
322 2.25120214.3 cmhrV
根据题意,体积测量的相对误差为 1%,即测定体积的相对误差为:
%1
V
即 51.2%12.251%1 V
现按等作用原则分配误差,可以求出
测定 r的误差应为:
cm
hrrV
r 007.0
2
1
41.1
51.2
/
1
2
测定 h的误差应为:
cm
rhV
h 142.0
1
41.1
51.2
/
1
2
2
5
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球的半径为 r,若重复 10 次测量得 r±σr =(3.132±0.005)cm,试求该圆球
最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度,置信概率 P=99%。
解:①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为: rD 2
其标准不确定度应为: 22222
2
005.014159.342
rr
r
D
u
=0.0314cm
确定包含因子。查 t分布表 t0.01(9)=3.25,及 K=3.25
故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为:
U=Ku=3.25×0.0314=0.102
②求圆球的体积的测量不确定度
圆球体积为: 3
3
4
rV
其标准不确定度应为:
616.0005.0132.314159.3164 2422222
2
rr r
r
V
u
确定包含因子。查 t分布表 t0.01(9)=3.25,及 K=3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U=Ku=3.25×0.616=2.002
4—6 某数字电压表的说明书指出,该表在校准后的两年内,其 2V 量程的测量误差不超
过±(14×10-6 读数+1×10-6×量程)V,相对标准差为 20%,若按均匀分布,求 1V 测量时
电压表的标准不确定度;设在该表校准一年后,对标称值为 1V的电压进行 16次重复测量,
得观测值的平均值为 0.92857V,并由此算得单次测量的标准差为 0.000036V,若以平均值
作为测量的估计值,试
分析
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影响测量结果不确定度的主要来源,分别求出不确定度分量,
说明评定
方法
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的类别,求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。