人教版高中数学《三角函数》全部教案

第四章 三角 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：“三角函数” 回忆 初中 初中体育教案免费下载初中各年级劳动技术教案初中阶段各学科核心素养一览表初中二次函数知识点汇总初中化学新课程标准 学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．​ 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．​ 讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于 轴正半轴 3．​ “正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角 或 可以简记成 4．​ 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1 角有正负之分 如：=210 =150 =660 2 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） 3 还有零角 一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30 390 330是第Ⅰ象限角 300 60是第Ⅳ象限角 585 1180是第Ⅲ象限角 2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与 个周角的和 390=30+360 330=30360 30=30+0×360 1470=30+4×360 1770=305×360 3．所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 4．例一 （P5 略） 五、小结： 1 角的概念的推广 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： P7 练习1、2、3、4 习题1.4 1 第三教时 教材：弧度制 目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集 一一对应关系的概念。 过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2rad 1．​ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．​ 角的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径） 3．​ 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad ∴ 1= 例一 把 化成弧度 解： ∴ 例二 把 化成度 解： 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1终边在 轴上的角的集合 2终边在 轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解：1终边在 轴上的角的集合 2终边在 轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 例四 老《精编》P118-119 4、5、6、7 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3 第四教时 教材：弧度制（续） 目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。 过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答《教学与测试》P101-102练习题 1—5 并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二 二、由公式： 比相应的公式 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式 其中 是扇形弧长， 是圆的半径。 证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 弧长为 的扇形圆心角为 ∴ 比较这与扇形面积公式 要简单 例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵ 解： ⑴： ⑵： ∴ 例三 如图，已知扇形 的周长是6cm，该扇形 的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r，弧长为 ，则有 ∴ 扇形的面积 例四 计算 解：∵ ∴ ∴ 例五 将下列各角化成0到 的角加上 的形式 ⑴ ⑵ 解： 例六 求图中公路弯道处弧AB的长 （精确到1m） 图中长度单位为：m 解： ∵ ∴ 三、练习：P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6 四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10 P12-13 习题4.2 5—14 《教学与测试》P102 7、8及思 考题 安全员b证考试题库金融学机考题库消防安全技术实务思考题答案朝花夕拾考题答案excel基本考题 第五教时 教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1．​ 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离 （图示见P13略） 2．比值 叫做的正弦 记作： 比值 叫做的余弦 记作： 比值 叫做的正切 记作： 比值 叫做的余切 记作： 比值 叫做的正割 记作： 比值 叫做的余割 记作： 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数 ④ ，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 解： ∴sin= cos= tan= cot= sec= csc= 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ ⑷ 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当= 时 ∴sin =1 cos =0 tan 不存在 cot =0 sec 不存在 csc =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数 的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上 ∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2 …………ⅢⅣ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0 例四 《教学与测试》P103 例二 ⑴ 已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值 ⑵已知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值 解：⑴由定义 ： sin= cos= ∴2sin+cos= ⑵若 则sin= cos= ∴2sin+cos= 若 则sin= cos= ∴2sin+cos= 三、小结：定义及有关注意内容 四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3 《教学与测试》P104 4、5、6、 7 第六教时 教材：三角函数线 目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。 过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值” 二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义： 用单位圆中的线段表示三角函数值 三、新授： 2．​ 介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆 3．​ 作图：（课本P14 图4-12 ） 此处略 …… …… ……… …… …… 设任意角的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点 过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于S 4．​ 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示） “有向线段”（带有方向的线段） 方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例：有向线段OM，OP 长度分别为 当OM=x时 若 OM看作与x轴同向 OM具有正值x 若 OM看作与x轴反向 OM具有负值x 5．​  有向线段MP,OM,AT,BS分别称作 角的正弦线,余弦线,正切线,余切线 四、例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1 与 2 tan 与tan 3 cot 与cot 解： 如图可知： tan tan cot cot 例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角 1 sin≥ 2 tan 解： 1 2 30≤≤150 30 90或210 270 例三 求证：若 时，则sin1 sin2 证明： 分别作1,2的正弦线x的终边不在x轴上 sin1=M1P1 sin2=M2P2 ∵ ∴M1P1 M2P2 即sin1 sin2 五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线 六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 补充：解不等式：( ) 1sinx≥ 2 tanx 3sin2x≤ 第七教时 教材：三角函数的值在各象限的符号 目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。 过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值 二、提出课题 然后师生共同操作： 1．​ 第一象限： ∴sin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc 0 第二象限： ∴sin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc 0 第三象限： ∴sin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc 0 第四象限： ∴sin 0,cos 0,tan 0,cot 0,sec 0,csc 0 记忆法则： 为正 全正 为正 为正 2．​ 由定义：sin(+2k)=sin cos(+2k)=cos tan(+2k)=tan cot(+2k)=co sec(+2k)=sec csc(+2k)=csc 三、例一 （P18例三 略） 例二 （P18例四）求证角为第三象限角的充分条件是 证：必要性： 若是第三象限角，则必有sin 0,tan 0 充分性： 若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin 0 则角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴 若tan 0，则角的终边可能位于第一或第三象限 ∵⑴ ⑵ 都成立 ∴角的终边只能位于第三象限 ∴角为第三象限角 例三 （P19 例五 略） 四、练习： 1．​ 若三角形的两内角，满足sincos 0，则此三角形必为…………（B） A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能 2．​ 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B） A：sin+cos 0 B：tansin 0 C：coscot 0 D：cotcsc 0 3．​ 已知是第三象限角且 ，问 是第几象限角？ 解：∵ ∴ 则 是第二或第四象限角 又∵ 则 是第二或第三象限角 ∴ 必为第二象限角 4．​ 已知 ，则为第几象限角？ 解： 由 ∴sin2 0 ∴2k 2 2k+ ∴k k+ ∴为第一或第三象限角 五、小结：符号法则，诱导公式 六、作业： 课本 P19 练习4,5,6 P20-21习题4.3 6-10 第八教时 教材：同角三角函数的基本关系 目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。 过程： 1、​ 复习任意角的三角函数的定义： 计算下列各式的值： 二、1．导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导） 引导猜想： 2．理论证明：（采用定义） 3．推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有： 这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有： 这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有： 4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。 5．注意： 1“同角”的概念与角的表达形式无关， 如： 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。 3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。 3、​ 例题： 例一、（课本P25 例一） 略 注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。 例二、（课本P25 例二） 略 注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。 例三、（课本P25 例三） 略 实际上： 即 而 4、​ 小结：三种关系，八个公式 5、​ 作业：P27 练习 1—4 P27—28 习题4．4 1—4 第九教时 教材：同角三角函数的基本关系(2)——求值 目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧。 过程： 2、​ 复习同角的三角函数的基本关系： 练习：已知 解：若在第一、二象限，则 若在第三、四象限，则 6、​ 例一、（见P25 例四）化简： 解：原式 例二、已知 ，求 解： 强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化1法” 例三、已知 ，求 解：将 两边平方，得： 例四、已知 解：由题设： ∴ ( ) 例五、已知 ，求 解：1 由 由 联立： 2 例六、已知 求 解：∵sin2 + cos2 = 1 ∴ 化简，整理得： 当m = 0时， 当m = 8时， 7、​ 小结：几个技巧 8、​ 作业：《课课练》P12 例题推荐 1、2、3 P13 课时练习 6、7、8、9、10 P14 例题推荐 1 《精编》P35 14 第十教时 教材：同角三角函数的基本关系(3)——证明 《教学与测试》第50课 目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。 过程： 3、​ 复习同角的三角函数的基本关系： 例：（练习、《教学与测试》P25 例一） 已知 ，求 解： 即： 9、​ 提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简） 例一、（见P25 例四）化简： 解：原式 例二、已知 （《教学与测试》例二） 解： （注意象限、符号） 例三、求证： （课本P26 例5） 证一： （利用平方关系） 证二： （利用比例关系） 证三： （作差） 例三、已知方程 的两根分别是 ， 求 （《教学与测试》 例三） 解： （化弦法） 例四、已知 证：由题设： 例五、消去式子中的 解：由 由 （平方消去法） 例六、（备用）已知 解：由题设： ① ② ①/②： ③ ①+③： 10、​ 小结：几种技巧 11、​ 作业：课本P27 练习 5，6， P28 习题4.4 8，9 《教学与测试》P106 4，5，6，7，8，思考题 第十一教时 教材：诱导公式（1） 360 k + , 180 , 180 + , 360 , 目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。 过程： 1、​ 诱导公式的含义： 任意角的三角函数 0到360角的三角函数 锐角三角函数 2、​ 诱导公式 1．​ 公式1：（复习） 2．​ 对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角） （以下设为任意角） 3．​ 公式2： 设的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+终边与单位圆交于点P’(-x,-y) ∴ sin(180+) = sin, cos(180+) = cos. tan(180+) = tg, cot(180+) = ctg. sec(180+) = sec, csc(180+) = csc 4．公式3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin() = sin, cos() = cos. tan() = tan, cot() = cot. sec() = sec, csc() = csc 5．​ 公式4： sin(180) = sin[180+()] = sin() = sin, cos(180) = cos[180+()] = cos() = cos, 同理可得： sin(180) = sin, cos(180) = cos. tan(180) = tan, cot(180) = cot. sec(180) = sec, csc(180) = csc 6．公式5： sin(360) = sin, cos(360) = cos. tan(360) = tan, cot(360) = cot. sec(360) = sec, csc(360) = csc 三、小结：360 k + , 180 , 180 + , 360 , 的三角函数值等于的同名三角函数值再加上一个把看成锐角时原函数值的符号 4、​ 例题：P29—30 例一、例二、例三 P31—32 例四、例五、例六 略 5、​ 作业：P30 练习 P32 练习 P33 习题4.5 第十二教时 教材：诱导公式（2） 90 k ± , 270 ± , 目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。 过程： 3、​ 复习诱导公式一至五： 练习：1．已知 解： 2．已知 解： 4、​ 诱导公式 1．​ 公式6：（复习） 2．​ 公式7： 如图，可证： 则 sin(90 +) = M’P’ = OM = cos cos(90 +) = OM’ = PM = MP = sin 从而： 或证：sin(90 +) = sin[180 (90 )] = sin(90 ) = cos cos(90 +) = cos[180 (90 )] = sin(90 ) = cos 3．​ 公式8：sin(270 ) = sin[180+ (90 )] = sin(90 ) = cos （其余类似可得， 学生自己完成） 4．​ 公式9： （学生证明） 三、小结：90± , 270 ± 的三角函数值等于的余函数的值，前面再加上一个把看成锐角时原函数值的符号 6、​ 例一、 证： 左边 = 右边 ∴等式成立 例二、 解： 例三、 解： 从而： 例四、 解： 7、​ 作业：1. 2. 《课课练》P16—17 课时9 例题推荐 1—3 练习 6—10 第十三教时 教材：诱导公式(3)——综合练习 目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。 过程： 4、​ 复习：诱导公式 12、​ 例一、（《教学与测试》 例一）计算：sin315sin(480)+cos(330) 解：原式 = sin(36045) + sin(360+120) + cos(360+30) = sin45 + sin60 + cos30 = 小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤： 1用“ ”公式化为正角的三角函数 2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数 3用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函数 例二、已知 （《教学与测试》例三） 解： 小结：此类角变换应熟悉 例三、求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则： ∴原式成立 小结：注意讨论 例四、已知方程sin( 3) = 2cos( 4)，求 的值。 （《精编》 38例五） 解： ∵sin( 3) = 2cos( 4) ∴ sin(3 ) = 2cos(4 ) ∴ sin( ) = 2cos( ) ∴sin = 2cos 且cos 0 ∴ 例五、已知 （《精编》P40 例八） 解：由题设： 由此：当a 0时，tan < 0, cos < 0, 为第二象限角， 当a = 0时，tan = 0, = k, ∴cos = ±1， ∵ ∴cos = 1 , 综上所述： 例六、若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x sinx + a = 0 即 2 2sin2x sinx + a = 0 ∴ ∵ 1≤sinx≤1 ∴ ； ∴a的取值范围是[ ] 13、​ 作业：《教学与测试》P108 5—8，思考题 《课课练》P46—47 23，25，26 第十三教时 教材：单元复习 目的：复习整节内容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。 过程： 5、​ 复习：梳理整节内容： 14、​ 处理《教学与测试》P109 第52课 略 1．“基础训练题” 1—4 2．例题 1—3 3．口答练习题 1，2 15、​ 处理《课课练》P20 第11课 1．“例题推荐” 1—3 注意采用讲练结合 2．口答“课时练习” 1—4 16、​ 备用例题： 《精编》P40—41 例九，例十一 a)​ 已知sin( ) cos( + ) = (0<<)，求sin( + ) + cos(2 )的值 解：∵sin( ) cos( + ) = 即：sin + cos = ① 又∵0< <1，0<< ∴sin>0, cos<0 令a = sin( + ) + cos(2 ) = sin + cos 则 a<0 由①得：2sincos = b)​ 已知2sin( ) cos( + ) = 1 (0<<)，求cos(2 ) + sin( + )的值 解：将已知条件化简得：2sin + cos = 1 ① 设cos(2 ) + sin( + ) = a , 则 a = cos sin ② ①②联立得： ∵sin2 + cos2 = 1 ∴ ∴5a2 + 2a 7 = 0, 解之得：a1 = , a2 = 1(舍去)(否则sin = 0, 与0<<不符) ∴cos(2 ) + sin( + ) = 17、​ 作业：《教学与测试》P109—110 练习题3—7 《课课练》P21 课时练习 8—10 第十五教时 教材：两角和与差的余弦（含两点间距离公式） 目的：首先要求学生理解平面上的两点间距离公式的推导过程，熟练掌握两点间距离公式并由此推导出两角和与差的余弦公式，并能够运用解决具体问题。 过程：一、提出课题：两角和与差的三角函数 二、平面上的两点间距离公式 5．​ 复习：数轴上两点间的距离公式 2．平面内任意两点 ， 间的距离公式。 从点P1,P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0) 再从点P1,P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2与y轴交于点N1,N2 直线P1N1,P2N2与相交于Q点则：P1Q= M1M2=|x2-x1| Q P2= N1N2=|y2-y1| 由勾股定理： 从而得 ， 两点间的距离公式： 3．练习：已知A(-1,5),B(4,-7) 求AB 解： 三、两角和与差的余弦 含意：cos(±)用、的三角函数来表示 1．推导：(过程见 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 上P34-35) cos(+)=coscossinsin ① 熟悉公式的结构和特点； 嘱记 ②此公式对任意、都适用 ③公式代号C+ 6．​ cos()的公式，以代得： cos()=coscos+sinsin 同样，嘱记，注意区别，代号C 四、例一 计算① cos105 ②cos15 ③cos cos sin sin 解：①cos105=cos(60+45)=cos60cos45sin60sin45 = ②cos15 =cos(6045)=cos60cos45+sin60sin45 = ③cos cos sin sin = cos( + )=cos =0 例二 《课课练》P22 例一 已知sin= ，cos= 求cos()的值。 解：∵sin= >0，cos= >0 ∴可能在一、二象限，在一、四象限 若、均在第一象限，则cos= ，sin= cos()= 若在第一象限，在四象限，则cos= ，sin= cos()= 若在第二象限，在一象限，则cos= ，sin= cos()= 若在第二象限，在四象限，则cos= ，sin= cos()= 五、小结：距离公式，两角和与差的余弦 六、作业： P38-39 练习2中(3)(4) 3中(2)(3) 5中(2)(4) P40-41 习题4.6 2中(2)(4) 3中(3)(4)(6) 7中(2)(3) 补充：1．已知cos()= 求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。 2．sinsin= ，coscos= ，(0, ),(0, ),求cos()的值 第十六教时 教材：两角和与差的正弦 目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 过程：一、复习：两角和与差的余弦 练习：1．求cos75的值 解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30 = 2．计算：1 cos65cos115cos25sin115 2 cos70cos20+sin110sin20 解：原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1 原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=0 3．已知锐角,满足cos= cos(+)= 求cos. 解：∵cos= ∴sin= 又∵cos(+)= <0 ∴+为钝角 ∴sin(+)= ∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin = （角变换技巧） 二、两角和与差的正弦 7．​ 推导sin(+)=cos[ (+)]=cos[( )] =cos( )cos+sin( )sin=sincos+cossin 即： sin(+)=sincos+cossin （S+） 以代得： sin()=sincoscossin （S） 8．​ 公式的分析，结构解剖，嘱记 9．​ 例一 不查表，求下列各式的值： 1 sin75 2 sin13cos17+cos13sin17 解：1原式= sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45 = 2原式= sin(13+17)=sin30= 例二 求证：cos+ sin=2sin( +) 证一：左边=2( cos+ sin)=2(sin cos+cos sin) =2sin( +)=右边 （构造辅助角） 证二：右边=2(sin cos+cos sin)=2( cos+ sin) = cos+ sin=左边 例三 〈精编〉P47-48 例一 已知sin(+)= ,sin()= 求 的值 解： ∵sin(+)= ∴sincos+cossin= ① sin()= ∴sincoscossin= ② ①+②：sincos= ①②：cossin= 三、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式” 四、作业： P38 练习2中①② 3中① 5中①③ P40-41 习题4.6 2中①③ 3中①②⑤⑦⑧ 7中①④⑤ 〈精编〉P60-61 2、3、4 第十七教时 教材：两角和与差的正切 目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。 过程：一、复习：两角和与差的正、余弦公式C+ ,C ,S+ ,S 练习：1．求证：cosx+sinx= cos(x ) 证：左边= ( cosx+ sinx)= ( cosxcos +sinxsin ) = cos(x )=右边 又证：右边= ( cosxcos +sinxsin )= ( cosx+ sinx) = cosx+sinx=左边 2．已知 ，求cos() 解： ①2: sin2+2sinsin+sin2= ③ ②2: cos2+2coscos+cos2= ④ ③+④: 2+2(coscos+sinsin)=1 即：cos()= 二、两角和与差的正切公式 T+ ,T 10．​ tan(+)公式的推导（让学生回答） ∵cos (+)0 tan(+)= 当coscos0时 分子分母同时除以coscos得： 以代得： 2．注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。 2注意公式的结构，尤其是符号。 3．引导学生自行推导出cot(±)的公式—用cot，cot表示 cot(+)= 当sinsin0时 cot(+)= 同理，得：cot()= 3、​ 例一求tan15，tan75及cot15的值： 解：1 tan15= tan(4530)= 2 tan75= tan(45+30)= 3 cot15= cot(4530)= 例二 已知tan= ，tan=2 求cot()，并求+的值，其中0<<90, 90<<180 。 解：cot()= ∵ tan(+)= 且∵0<<90, 90<<180 ∴90<+<270 ∴+=135 例三 求下列各式的值：1 2tan17+tan28+tan17tan28 解：1原式= 2 ∵ ∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1 四、小结：两角和与差的正切及余切公式 五、作业： P38-39 练习2中 P40-41 习题4.6 1-7中余下部分 及9 第十八教时 教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑴ 目的：通过例题的讲解，使学生对上述公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧。 过程：一、复习：1两角和与差的正、余弦、正切公式 2处理（以阅读、提问为主）课本P36-38例一、例二、例三 二、关于辅助角问题 例一 化简 解：原式= 或解：原式= 例二 《教学与测试》P111 例2 已知 ，求函数 的值域 解： ∵ ∴ ∴ ∴函数y的值域是 4、​ 关于角变换 例三 已知 ， 求 的值 解：∵ 即： ∵ ∴ 从而 而： ∴ 例四 《教学与测试》P111例3 已知 求证tan=3tan(+) 证：由题设： 即： ∴ ∴tan=3tan(+) 例五 《精编》P48-49 例三 已知 ， ， ，求sin2的值 解：∵ ∴ ∴ ∴ 又： ∴ ∴sin2= = 四、小结： 五、作业：课本 P41-42 9-17 第十九教时 教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑵ 目的：通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。 过程：一、公式的应用 例一 在斜三角形△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 证一：在△ABC中，∵A+B+C= ∴A+B=C 从而有 tan(A+B)=tan(C) 即： ∴tanA+tanB=tanC+tanAtanBtanC 即：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 证二：左边= tan(A+B)(1tanAtanB) +tanC=tan(C) (1tanAtanB) +tanC =tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边 例二 求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)……(1+tan44) 解： (1+tan1)(1+tan44)=1+tan1+tan44+tan1tan44 =1+tan45(1 tan1tan44)+ tan1tan44=2 同理：(1+tan2)(1+tan43)=2 (1+tan3)(1+tan42)=2 …… ∴原式=222 例三 《教学与测试》P113例一 （略）口答 例四 《教学与测试》P113例二 已知tan和 是方程 的两个根，证明：pq+1=0 证：由韦达定理：tan+ =p ，tan• =q ∴ ∴pq+1=0 例五 《教学与测试》 例三 已知tan= ，tan()= (tantan+m)又,都是钝角，求+的值 解：∵两式作差，得：tan+tan= (1tantan 即： ∴ 又：,都是钝角 ∴<+<2 ∴+ 二、关于求值、求范围 例六 已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求 的值。 解：∵ tan，tan是方程x2+px+2=0的两实根 ∴ ∴ 例七 求 的值。 解：原式= = 三、作业：《教学与测试》 P111-114 53、54课中练习题 第二十教时 教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶ 目的：进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。（采用《精编》例题） 过程：一、求值问题（续） 例一 若tan=3x，tan=3x, 且= ，求x的值。 解：tan()=tan = ∵tan=3x，tan=3x ∴ ∴3•3x3•3x=2 即： ∴ (舍去) ∴ 例二 已知锐角, , 满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。 解： ∵sin+sin=sin ∴sin sin = sin <0 ① ∴sin 0，x[0, ]时，-5≤f (x)≤1，设g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。 解： f (x)=-acos2x- asin2x+2a+b=-2a[ sin2x+ cos2x]+2a+b =-2asin(2x+ )+2a+b ∵x[0, ] ∴ ∴ 又： a>0 ∴-2a<0 ∴ ∴ ∴ ∵-5≤f (x)≤1 ∴ ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t- )2- ∵t[-1,0] ∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3 三、作业：《精编》 P61 6、7、11 P62 20、22、23、25 P63 30 第二十一教时 教材：二倍角的正弦、余弦、正切 目的：让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 过程： 6、​ 复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 18、​ 提出问题：若 ，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。 让学生板演得下述二倍角公式： 剖析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的， 如： 是 的倍角。 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次） 3．特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用 19、​ 例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin2230’cos2230’= 2． 3． 4． 例二、1． 2． 3． 4． 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 例四、条件甲： ，条件乙： ， 那么甲是乙的什么条件？ 解： 即 当在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一）已知 ，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵ ∴ ∴sin2 = 2sincos = cos2 = tan2 = 20、​ 小结：公式，应用 21、​ 作业：课本P44 练习 P47 习题4.7 1，2 第二十二教时 教材：二倍角公式的应用 目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。 过程： 7、​ 复习公式： 例一、（板演或提问）化简下列各式： 1． 2． 3．2sin2157.5 1 = 4． 5．cos20cos40cos80 = 例二、求证：[sin(1+sin)+cos(1+cos)]×[sin(1sin)+cos(1cos)] = sin2 证：左边 = (sin+sin2+cos+cos2)×(sinsin2+coscos2) = (sin+ cos+1)×(sin+cos 1) = (sin+ cos)2 1 = 2sincos = sin2 = 右边 ∴原式得证 22、​ 关于“升幂”“降次”的应用 注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。（以下四个例题可视情况酌情选用） 例三、求函数 的值域。（《教学与测试》P115例一） 解： ——降次 ∵ ∴ 例四、求证： 的值是与无关的定值。 证： ——降次 ∴ 的值与无关 例五、化简： ——升幂 解： 例六、求证： (P43 例二) ——升幂 证：原式等价于： 左边 右边 23、​ 三角公式的综合运用 例七、利用三角公式化简： (P43—44 例三) 解：原式 24、​ 作业：课本P47 习题4.7 3 《精编》P73—74 11，12，18，19，23 第二十三教时 教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式 目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。 过程： 8、​ 解答本章开头的问题：（课本 P3） 令AOB = , 则AB = acos OA = asin ∴S矩形ABCD= acos×2asin = a2sin2≤a2 当且仅当 sin2 = 1， 即2 = 90， = 45时, 等号成立。 此时，A,B两点与O点的距离都是 9、​ 半角公式 在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的 例1、​ 求证： 证：1在 中，以代2， 代 即得： ∴ 2在 中，以代2， 代 即得： ∴ 3以上结果相除得： 注意：1左边是平方形式，只要知道 角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4还有一个有用的公式： （课后自己证） 10、​ 万能公式 例2、​ 求证： 证：1 2 3 注意：1上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆） 2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 即： 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁 3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 例三、已知 ，求3cos 2 + 4sin 2 的值。 解：∵ ∴cos 0 (否则 2 = 5 ) ∴ 解之得：tan = 2 ∴原式 11、​ 小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主） 12、​ 作业：《精编》P73 16 补充： 1．已知sin + sin = 1，cos + cos = 0，试求cos2 + cos2的值。(1) （《教学与测试》P115 例二） 2．已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + 的大小。 3．已知sinx = ，且x是锐角，求 的值。 4．下列函数何时取得最值？最值是多少？ 1 2 3 5．若、、为锐角，求证： + + = 6．求函数 在 上的最小值。 第二十四教时 教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式 目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。 过程： 13、​ 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程： 例1、​ 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + （《教学与测试》P115 例三） 解： ∴ 又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴ ， ∴ ∴2 + = 例2、​ 已知sin cos = ， ，求 和tan的值 解：∵sin cos = ∴ 化简得： ∴ ∵ ∴ ∴ 即 25、​ 积化和差公式的推导 sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )] sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )] cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )] cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )] 这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下） 例3、​ 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32 证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2 = (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2 = cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2 = cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1) = cos22cos22 = cos32 = 右边 ∴原式得证 26、​ 和差化积公式的推导 若令 + = ， = φ，则 ， 代入得： ∴ 这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。 例4、​ 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值 解：∵cos cos = ，∴ ① sin sin = ，∴ ② ∵ ∴ ∴ ∴ 27、​ 小结：和差化积，积化和差 28、​ 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3 P38—39 例题推荐 1—3 P40 例题推荐 1—3 第二十五教时 教材：综合练习课 目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万能公式，逐渐培养熟练技巧。 过程： 14、​ 小结本单元内容——俗称“加法定理” 1．​ 各公式罗列，其中和、差、倍角公式必须记忆，要熟知其结构、特点 2．​ 了解推导过程（回顾） 3．​ 常用技巧： 1化弦 2化“1” 3正切的和、积 4角变换 5“升幂”与“降次” 6辅助角 29、​ 例题： 例一、《教学与测试》 基础训练题 1．​ 函数 的最小值。 （辅助角） 解： 2．​ 已知 （角变换） 解： 3．​ 计算：(1 + )tan15 （公式逆用） 解：原式= (tan45+ tan60)tan15 =tan105(1tan45tan60)tan15 = (1 ) tan105 tan15 = (1 )×( 1) = 1 4．​ 已知sin(45 ) = ，且45 < < 90，求sin （角变换） 解：∵45 < < 90 ∴45 < 45 < 0 ∴cos(45) = cos2 = sin(902) = sin[2(45)] = 2sin(45)cos(45) = 即 1 sin2 = ， 解之得：sin = 例二、已知是三角形中的一个最小的内角， 且 ，求a的取值范围 解：原式变形： 即 ，显然 （若 ，则 0 = 2） ∴ 又∵ ，∴ 即： 解之得： 例三、试求函数 的最大值和最小值。 若 呢？ 解：1．设 则 ∴ ∴ ∴ 2．若 ，则 ，∴ 即 例四、已知tan = 3tan( + )， ，求sin(2 + )的值。 解：由题设： 即sin cos( + ) = 3sin( + )cos 即sin( + ) cos + cos( + )sin = 2sin cos( + ) 2cossin( + ) ∴sin(2 + ) = 2sin 又∵ ∴sin ∴sin(2 + ) = 1 三、作业：《教学与测试》P117—118 余下部分 第二十六教时 教材：正弦、余弦函数的图象 目的：要求学生掌握用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，继而学会用诱导公式平移正弦曲线获得余弦函数图象。通过分析掌握五点法画正（余）弦函数图象。 过程： 15、​ 提出课题：正弦、余弦函数的图象——解决的方法：用单位圆中的正弦线（几何画法）。 16、​ 作图：边作边讲（几何画法）y=sinx x[0,2] a)​ 先作单位圆，把⊙O1十二等分（当然分得越细，图象越精确） b)​ 十二等分后得对应于0, , , ,…2等角，并作出相应的正弦线， c)​ 将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形” d)​ 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 e)​ 描图（连接）得y=sinx x[0,2] f)​ 由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x[2k,2(k+1)] kZ,k0 与函数y=sinx x[0,2]图象相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2单位长 17、​ 正弦函数的五点作图法 y=sinx x[0,2] 介绍五点法 五个关键点(0,0) ( ,1) (,0) ( ,-1) (2,0) 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 18、​ 作y=cosx的图象 与正弦函数关系 ∵y=cosx=cos(-x)=sin[ -(-x)]=sin(x+ ) 结论：1．y=cosx, xR与函数y=sin(x+ ) xR的图象相同 2．将y=sinx的图象向左平移 即得y=cosx的图象 3．也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) ( ,0) (,-1) ( ,0) (2,1) 4．类似地，由于终边相同的三角函数性质y=cosx x[2k,2(k+1)] kZ,k0的图象与 y=cosx x[0,2] 图象形状相同只是位置不同（向左右每次平移个单位长度） 5．例P52 例一 略 19、​ 小结：1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 20、​ 作业：P50练习P57习题4．8 1 补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象 2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象 3．用五点法作出y=cosx,x[0,2]的图象 第二十七教时 教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域 目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。 过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法 二、研究性质： 1．​ 定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R 2．​ 值域： 1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论 ∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1] 2对于y=sinx 当且仅当x=2k+ kZ时 ymax=1 当且仅当时x=2k- kZ时 ymin=-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k kZ时 ymax=1 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=-1 3．​ 观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知 当2k0 当(2k-1)0 当2k+