定积分求面积统一公式

第28卷第6期 2007年 12月 华 北 水 利 水 电 学 院 学 报 Journal of North China]nstitute of Water Conservancy and Hydroelectric Power V01．28 No．6 Dec． 2007 文章编号 ：1002—5634(2007)O6—0105一O3 定积分求面积统一公式 杨 乔，朱善迎 (华北水利水 电学院 ，河南 郑州 450011) 摘 要：利用非标准分析(NSA)的方法建立参数坐标下统一面积公式 ，并以此推导出极坐标下的面积公式 ， 将直角坐标和极坐标下的面积公式统一归纳到参数坐标之下，解决了一般数学分析书中3种坐标系下面积公 式不能融合 的问题． 关 键 词 ：非标准分析 ；无穷和定理 ；闭曲线 ；面积 中图分类号 ：O175．5 文献标识码 ：A 一 般的数学分析教材¨。 ，对于极坐标下定积 分求面积公式的推导均是按照定积分 的基本思想 ， 依微元法 (取 扇形微元 )进行 的．这 样做 的优 点在 于：几何意义明确，符合一般的思想逻辑，易于接受． 但是 ，这样以来 ，作为参数坐标特殊情况的极坐标下 的面积公式 ，就无法直接推导出来 ，从而影响了参数 坐标积分求面积的一致性． 参照文献 [4—6]建立以下定义和定理． 定 义 1 如果2个超实数 n与 b的差 n—b是一 个无穷 小 ，就 称这 2个超 实 数彼 此 无限 接 近，记 作n—b． 定义 2 设 n为一个有限的超实数 ，n的标准部 记作 st(n)，st(n)是一个无限接近 n的实数 ，一个无 穷大的超实数没有标准部． 定义 3 设 s，6是 2个无穷小 ，Ax是一个非零 一 。 的无穷小 ，若— 一 O，则在和 Ax相比较的情况下 ，s ‘ ‘ 和 6彼此无限接近． 定理 1(无穷和定理 ) 如果 ： @l厂( )在闭区间[n，b]上连续； ②当“， ， ∈[n，b]时，A(“， )是 2个 自变量 “， 的实值函数，并且具有可加性，即当 “< < 时，有 A(“， )=A(“， )+A( ， )； ③在(n，b)内的任何一个长度为非零的无穷小 区间 [ ， +缸 ]上，在 和 Ax相 比较 的情 况 下， AA( ， +Ax)和厂( )Ax彼此无限接近，则有 ，6)=r 圳 ． 1 参数坐标表示的曲线面积求解 定理2 设曲线c：{ ：；，t∈ ，卢 ；在 [ ，卢]上 ， (t)连续且 (t)≥0， (t)连续可微且 (t)>0，则曲线 C与 t= ，t=JB所围图形 的面积 为A=I (t) (t)dt． 证明 由 (t)>10，Vt∈[ ，卢]知 ， ： (t)在 [ ，JB]上存在反函数 t= I1( )， ∈[n，b]，其中 n = ( )，b= (JB)，且 ( )是正值函数，严格单 调增．此时曲线 c可化为 Y= (t)=( 。 )( )． 设 △t是一个正无穷小 ，并设 t+△t是 ，JB之间 的一个超实数．在无穷小 区间[t，￡+△￡]上考 虑．由 于 Y= (t)的连续性 ，可知 (t)在 [t，t+△t]上取最 大值 和最小值 m，且 M一 (t)，m一 (t)，即 M一 ( 。 )( )，m一( 。 )( )． 与[t，t+△t]相对应的区间为区间[ (t)， (t+ △t)]，此区间上小薄片 △A的面积满足 m△ ≤AA≤ △ ，在和无穷小 At相 比较 的情 况下，有 m ≤ ≤ ，取它的标准部 ，则有 收稿 日期 ：2007—07—12；修订 日期 ：2007—09—09 作者简介：杨 乔(1955一)，男，河南夏邑人，华北水利水电学院教授，硕士，主要从事微分方程及系统分析方面的研究 维普资讯 http://www.cqvip.com lO6 华 北 水 利 水 电 学 院 学 报 2007年 12月 t )一( t)≤ △ ， ＼△， sl( t( 即 ( ) ( )≤st( )≤ ( ) ( )，所以 )． 由无穷和定理得 A=f (f) (f)dt． 定理证毕． 不考虑 = (t)的单调性 ，有 A：f (f)『 (f)『dt 于是，可以以A=f (f)『 (f)『dt来定义 (t)≥0时曲线 C与t= ，t=』B所围图形的面积． 1种特殊 的情 况 ：当 = ，_y=f( )≥0时， A=I，( )dx，此即直角坐标表示的曲线y=，( )与 =a， =6和 轴所 围图形的面积公式． 2 闭曲线所围图形面积的求解 先规定闭曲线 厂 的正方向 ：当沿 厂行走时 ，所 围区域总在它的左边． 设闭曲线厂：{： ； t；， ∈[ ，JB]，其中 ( ) 【y= () ’ = (JB)， ( )= (JB)，且在 ( ，JB)内曲线 自身不 相交．曲线图形如图 1所示，设 A点对应参数t： ，t = JB，B点对应参数 t=y，F取正 向．显然 ，图形的面 积是上下两条曲线分别与 =a， =6和 轴所围面 积 之差 ． ( ) r r — (户 ) ! 2 O 口 6 图 1 曲线 f 示 薏 图 分 2步 ，分别应用定理 2： 1．曲线 f 与 =a， =6和 轴所 围面积，此时 = (t)单增，则 r7 A =J (t) (t)dt J n 2．曲线 f 与 =a， ：6和 轴所 围面积，此时 = ( )单减 ，则 A2=一J (t) (t)dt J 7 于是 ，闭曲线 厂所围图形的面积 r ，7 A=A 一A =一f (f) (f)dt—f (f) (f)dt= n 一 ( ) ( )dt=一 ydy —f (f) (f) =一十 n ，， 分部积分得 一 ) ) = 嘶 将二者结合 ，得到取正方向的闭曲线的面积 A ÷( dy一 yd )、 (1) 这正是由格林公式求得的面积公式． 一 般上述闭曲线可以由一段或几段逐段光滑的 曲线首尾相接组成． 3 极坐标表示的曲线面积求解 设曲线 C：r：r(0)，0∈[ ， ]，其 中 r(0)在[ ， JB]上连续 ，』B— ~<2-rr．显然，图形是由逐段光滑的曲 线 0： ，r=r(0)和 0= 组成的闭曲线 围成 ，如图 2 所示 ． O 图 2 曲线 C示意图 fC ： ： ，y： f i ，f∈[0， ] I l C2： ：r(f)cost，y=r(f)sint，f∈[ ，JB] 1 C3：x： (2一c)c哦 l y= (2盯_f)si ， ∈[ 盯] ÷( 一yd ) 引1 J0ot s d( n )+ )cos“l(r(f)sinc)+ (2盯_f)c ( (2盯_f)si )一 ，一 is s )一 吲 一 维普资讯 http://www.cqvip.com 第28卷第6期 杨 乔等： 定积分求面积统一公式 l07 c2"I1"-t d( c2"I1"-t )】= ÷ ㈤cos州 )sin )sin )c0 ]= r ㈩ r ㈩ d 这与文献[1—3]用微元法所得到的面积公式相同 参 考 文 献 [1]沐定夷．数学分析(上册)[M]．上海：上海交通大学出 版社 ，1993． [2]邓东皋，尹小玲．数学分析简 明教程 (上册)[M]．北 京：高等教育出版社，2000． [3]欧阳光中，姚允龙 ，周渊．数学分析(上册)[M]．上海： 复旦大学出版社 ，2002． [4]边均伯，张茂根．极限的新概念 [M]．北京：宇航出版 社 ，1988． [5] [美 ]A鲁宾逊．非标 准分析 [M]．北京 ：科学 出版 社 ，1980． [6]MICHAE SPIVAK．Calculus on Manifolds[M]．LLC：Per— seus Books Publishing，2006． One Formula on Computing Area by Integration YANG Qiao，ZHU Shan—ying (North China Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power，Zhengzhou 4500 1 1，China) Abstract：The area formula is established under parameter coordinate formula for parameter，polar and perpendicular coordinate systems and in most mathematical analysis is eliminated． system by non—standard analysis method．It gives a unitary area the inconsistency of area form ula for different coordinate systems Key words：non—standard analysis；infinite sum theorem ；closed curve；area (上接第 104页) The Convergence Estimates for Variational Problems of Bilinear Form a(·，．) ZHAO Zhong-jian，SHANG Song—pu (North China Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power，Zhengzhou 45001 1，China) Abstract：The existence of solutions and approximational estmates of variational probliems for bilinear form 口(．，．)is considered．By new methods，the existence and convergence of solutions for nonsymmetric varational problems is proved ，and error esemate results is op— tima1． Key words：variational problems；dual space；contraction mapping principle 维普资讯 http://www.cqvip.com