chapter01

第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10 件产品中有 1件是不合格品，从中任取 2件得 1件不合格品。 (2)一个口袋中有 2个白球、3 个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白 球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记 9 个合格品分别为 ，记不合格为次，则 921 , 正正正 ,,⋯ ,,,,,,,,, )()()(){( 1913121 次正正正正正正正 ⋯=Ω ,,,,,,,,, )()()()( 2924232 次正正正正正正正 ⋯ ,,,,,,, )()()( 39343 次正正正正正 ⋯ )}()()( 9898 次正次正正正 ,,,,,,⋯ =A ){( 1 次正 , ,,, )( 2 次正 )}( 9 次正 ,,⋯ (2)记 2 个白球分别为 ， ，3个黑球分别为 ， ， ，4 个红球分别1ω 2ω 1b 2b 3b 为 ， ， ， 。则 { ， ， ， ， ， ， ， ， }1r 2r 3r 4r =Ω 1ω 2ω 1b 2b 3b 1r 2r 3r 4r (ⅰ) { ， } (ⅱ) { ， ， ， }=A 1ω 2ω =B 1r 2r 3r 4r 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。 (1) 叙述 的意义。CAB (2)在什么条件下 成立？ CABC = (3)什么时候关系式 是正确的？ BC ⊂ (4) 什么时候 成立？BA = 解 (1)事件 表示该是三年级男生，但不是运动员。CAB (2) 等价于 ，表示全系运动员都有是三年级的男生。 CABC = ABC ⊂ (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了 个零件，以事件 表示他生产的第 个零件是合格品n i A i （ ）。用 表示下列事件：ni ≤≤1 i A (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) ; (2) ; (3) ;∩ n i i A 1= ∪∩ n i i n i i AA 11 == = ∪ ∩ n i n ij j ji AA 1 1 )]([ = ≠ = (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 ；∪ n ji ji ji AA ≠ =1, 1.4 证明下列各式： (1) ; ABBA ∪=∪ (2) ABBA ∩=∩ (3) ;=∪∪ CBA )( )( CBA ∪∪ (4) =∩∩ CBA )( )( CBA ∩∩ (5) =∩∪ CBA )( ∪∩ )( CA )( CB∩ (6) ∪∩ n i i n i i AA 11 == = 证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第 10—12 页 （1.5）式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡 片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为 。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、7828 ×=A 13 中的两个，或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以 事件 “所得分数为既约分数”包含 个样本点。于是A 6322 15 1 3 2 3 ××=×+ AAA 。 14 9 78 632 )( = × ×× =AP 1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条， 求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 解 样本点总数为 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必10 3 5 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件 “所取三条线段能构成一 A 个三角形”包含 3个样本点，于是 。 10 3 )( =AP 1.7 一个小孩用 13 个字母 作组字游戏。如TTNMMIIHECAAA ,,,,,,,,,,,, 果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词 的概率为多大？ 解 显然样本点总数为 ，事件 “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含!13 A 个样本点。所以!2!2!2!3 !13 48 !13 !2!2!2!3 )( ==AP 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们 正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 个不同位置，当891109 =−× 它处于和红“车”同行或同列的 个位置之一时正好相互“吃掉”。故所1789 =+ 求概率为 89 17 )( =AP 1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一 层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的 ， 求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的 9层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所 以样本点总数为 。事件 “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于79 A “从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含 个样本点，于是79A 。 7 7 9 9 )( A AP = 1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问 事 件“偶 然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？ 解 用 表示“牌照号码中有数字 8”，显然 ，所以 A 44 10 9 10000 9 )( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ==AP -1)( =AP 44 10 9 1 10000 9 1)( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=−=AP 1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 解 (1) 答案为 。 5 1 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答 案为 5 2 10 4 = (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样 本空间包含 个样本点。用事件 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，210 A 则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 ，则该数的立方的最后a 两位数字为 1和 3 的个位数，要使 3 的个位数是 1，必须 ，因此 所包a a 7=a A 含的样本点只有 71这一点，于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人 把 6个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6根草恰好连成一个环的 概率。并把上述结果推广到 根草的情形。 n2 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5个头之一相接，再取 另一头，它又可以与其它未接过的 3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故 对头而言有 种接法，同样对尾也有 种接法，所以样本点总数为135 ⋅⋅ 135 ⋅⋅ 。用 表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有2)135( ⋅⋅ A 135 ⋅⋅ 种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4根草的尾连 接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余 的尾连接成环，故尾的连接法为 。所以 包含的样本点数为 ，24 ⋅ A )24)(135( ⋅⋅⋅ 于是 15 8 )135( )24)(135( )( 2 = ⋅⋅ ⋅⋅⋅ =AP (2) 根草的情形和(1)类似得 n2 1.13 把 个完全相同的球随机地放入 个盒子中（即球放入盒子后，只能n N 区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨 的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 个球 k 的概率为 ， ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −−+ n nN kn knN 1 2 nk ≤≤0 (2)恰好有 个盒的概率为 ，m ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ n nN mN n m N 1 1 1 1−≤≤− NmnN (3)指定的 个盒中正好有 个球的概率为 ，m j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −−+− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −+ n nN jn jnmN m jm 1 1 1 1 .0,1 NjNm ≤≤≤≤ 解 略。 1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是 任意的，求一个乘客候车时间不超过 3分钟的概率。 解 所求概率为 5 3 )( =AP 1.15 在 中任取一点 ，证明 的面积之比大于 的概ABC∆ P ABCABP ∆∆ 与 n n 1− 率为 。 2 1 n 解 截取 ，当且仅当点 落入 之内时 的面CD n DC 1 =′ P BAC ′′∆ ABCABP ∆∆ 与 积 之 比 大 于 ， 因 此 所 求 概 率 为 n n 1− 。 2 2 )( CD DC ABC CBA AP ′ = ∆ ′′∆ = 的面积 有面积 2 2 2 1 CD DC n ′ = 2 1 n = 1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。 设两船停靠泊位的时间分别为 1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待 一段时间的概率。 解 分别用 表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等yx, 待 当 且 仅 当 。 因 此 所 求 概 率 为10,20 ≤−≤≤−≤ xyyx 121.0 24 22 2 1 23 2 1 24 )( 2 222 ≈ ×−×− =AP 1.17 在线段 上任取三点 ，求：AB 321 ,, xxx (1) 位于 之间的概率。2x 31 xx与 (2) 能构成一个三角形的概率。321 ,, AxAxAx 解 (1) (2) 3 1 )( =AP 2 1 1 2 1 3 1 31 )( = ××− =BP 1.18 在平面上画有间隔为 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形， d 该三角形的边长为 （均小于 ），求三角形与平行线相交的概率。cba ,, d 解 分别用 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线321 ,, AAA 相合，两条边与平行线相交，显然 所求概率为 。分别用.0)()( 21 == APAP )( 3AP 表 示 边 ， 二 边 与 平 行 线 相 交 ， 则 bcacabcba AAAAAA ,,,,, cba ,, bcacab ,, 显然 ， ，=)( 3AP ).( bcacab AAAP ∪∪ )( aAP )()( acab APAP + =)( bAP )()( bcab APAP + 。所以=)( c AP )()( bcac APAP + [ ] 2 1 )( 3 =AP +)( aAP +)( bAP )( cAP )(2 2 cba d ++= π )( 1 cba d ++= π （用例 1.12 的结果） 1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可 能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1的线段内随机投 点。则事件 “该点命中 的中点”的概率等于零，但 不是不可能事件。 A AB A 1.20 甲、乙两人从装有 个白球与 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取 ，a b 乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一 随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。 解 表示白， 表示黑白， 表示黑黑白，… ，1ω 2ω 3ω 白黑黑表示 个��� ⋯ b b 1+ω 则样本空间 { ， ，…， }，并且 ，=Ω 1ω 2ω 1+bω ba a P + =})({ 1ω ， ，…， 1 })({ 2 −+ ⋅ + = ba a ba b P ω 21 1 })({ 3 −+ ⋅ −+ − ⋅ + = ba a ba b ba b P ω )1()2( )2( 1 1 })({ −−+ ⋅ −−+ −− ⋅⋅ −+ − ⋅ + = iba a iba ib ba b ba b P i ⋯ω ababa ab P b ⋯)1)(( ! })({ 1 −++ =+ω 甲取胜的概率为 + + +…})({ 1ωP })({ 3ωP })({ 5ωP 乙取胜的概率为 + + +…})({ 2ωP })({ 4ωP })({ 6ωP 1.21 设事件 及 的概率分别为 、 及 ，求 ， ，BA, BA∪ p q r )(ABP )( BAP ，)( BAP )( BAP 解 由 得)()()()( ABPBPAPBAP −+=∪ rqpBAPBPAPABP −+=∪−+= )()()()( ，qrABPAPABAPBAP −=−=−= )()()()( prBAP −=)( rBAPBAPBAP −=∪−=∪= 1)(1)()( 1.22 设 、 为两个随机事件，证明：1A 2A (1) ;)()()(1)( 212121 AAPAPAPAAP +−−= (2) .)()()()()()(1 21212121 APAPAAPAAPAPAP +≤∪≤≤−− 证 明 (1) =−=∪= 1)()( 2121 AAPAAP )( 21 AAP ∪ )()()(1 2121 AAPAPAP +−− (2) 由(1)和 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别0)( 21 ≥AAP 得第二、三个不等式。 1.23 对 于 任 意 的 随 机 事 件 、 、 ， 证 明 ： A B C )()()()( APBCPACPABP ≤−+ 证明 )()()()]([)( ABCPACPABPCBAPAP −+=∪≥ )()()( BCPACPABP −+≥ 1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订 甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%， 同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的有 3%， 求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件 表示订甲报，事件 表示订乙报，事件 表示订丙报。 A B C (1) = =30%))(()( ACABAPCBAP ∪−= )()( ACABPAP ∪− (2) %7)()( =−= ABCABPCABP (3) %23)]()()([)()( =−+−= ABCPBCPABPBPCABP %20)]()()([)()( =−+−= ABCPBCPACPCPBACP + + = + + =73%∪CBAP( CAB )BAC )( CBAP )( CABP )( BACP (4) =++ )( ABCBACCABP %14)()()( =++ ABCPBACPCABP (5) %90)( =++ CBAP (6) %10%901)(1)( =−=++−= CBAPCBAP 1.26 某班有 个学生参加口试，考签共 N张，每人抽到的考签用后即放回，n 在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？ 解 用 表示“第 张考签没有被抽到”， 。要求 。 i A i Ni ,,2,1 ⋯= )( 1 ∪ N i i AP = ， ，……， n i N N AP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 )( n ji N N AAP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 )( 0)( 1 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n N N NN AAP ⋯ n N i i N N N AP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =∑ = 1 1 )( 1 n N N N ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= − 1 1 )1( 11 ，…… n Ni ji N N N AAP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=− ∑ ≤≤ 2 2 )( 1 n N N N ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= − 2 2 )1( 12 所以 n N i i N i i N iN AP ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −=∑ = − = 1 1 1 )1()(∪ 1.27 从 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的n 概率是多少？ 解 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为 ，当n n niii aaa ⋯ 21 21 且仅当 的排列 中存在 使 时这一项包含主对角线元素。n,,2,1 ⋯ )( 21 niii ⋯ k kik = 用 表示事件“排列中 ”即第 个主对角线元素出现于展开式的某项中。 k A ki k = k 则 ，……ni n n AP i ≤≤ − = 1 ! )!1( )( )1( ! )!2( )( nji n n AAP ji ≤<≤ − = 所以 ! 1 )1( ! )!( )1()( 1 1 1 1 1 in in i n AP n i i n i i N i i ∑∑ = − = − = −= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=∪ 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩 的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。 解 用 分别表示男孩和女孩。则样本空间为：gb, )},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{( gggbgggbgggbbbgbgbgbbbbb=Ω 其中样本点依年龄大小的性别排列。 表示“有女孩”， 表示“有男孩”，则 A B 7 6 8/7 8/6 )( )( )|( === AP ABP ABP 1.30 设 件产品中有 件是不合格品，从中任取两件， M m (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概 率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概 率。 解（1）设 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取产 A B 品都是不合格品”，则 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 112 )( M mMmm AP ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 )( M m BP === )( )( )( )( )|( AP BP AP ABP ABP 12 1 −− − mM m (2)设 表示“所取产品中至少有一件合格品”， 表示“所取产品中有一 C D 件合格品，一件不合格品”。则 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 211 )( M mMmMm CP ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 11 )( M mMm DP === )( )( )( )( )|( CP DP CP CDP CDP 1 2 −+mM m 1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：n (1)已知前 个人都没摸到，求第 个人摸到的概率；1−k )( nk ≤ k (2)第 个人摸到的概率。k )( nk ≤ 解 设 表示“第 个人摸到”， 。 i A i ni ,,2,1 ⋯= (1) 1 1 )1( 1 )|( 11 +− = −− =− knkn AAAP k k ⋯ (2) =)( k AP =− )( 11 kk AAAP ⋯ nknn n n n 1 1 1 1 21 = +− ⋅⋅ − − ⋅ − ⋯ 1.32 已知一个母鸡生 个蛋的概率为 ，而每一个蛋能孵化成小 k )0( ! >− λ λ λ e k k 鸡的概率为 ，证明：一个母鸡恰有 个下一代（即小鸡）的概率为 。p r p r e r p λ λ − ! )( 解 用 表示“母鸡生 个蛋”， 表示“母鸡恰有 个下一代”，则 k A k B r )|()()( k rk k ABPAPBP ∑ ∞ = = rkr rk k pp r k k e − ∞ = − −⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅=∑ )1( ! λ λ ∑ ∞ = − − − − = rk rkr rk p e r p )!( )]1([ ! )( λλ λ )1( ! )( p r ee r p −− ⋅= λλ λ p r e r p λ λ −= ! )( 1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三 级射手 7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率 分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进 入决赛的概率。 解 用 表示“任选一名射手为 级”， ， 表示“任选一名射手 k A k 4,3,2,1=k B 能 进 入 决 赛 ” ， 则 )|()()( 4 1 k k k ABPAPBP ∑ = = 645.02.0 20 1 5.0 20 7 7.0 20 8 9.0 20 4 =×+×+×+×= 1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占 25%， 35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任 取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？ 解 用 表示“任取一只产品是甲台机器生产”1A 表示“任取一只产品是乙台机器生产”2A 表示“任取一只产品是丙台机器生产”3A 表示“任取一只产品恰是不合格品”。 B 则由贝叶斯 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： 69 25 )|()( )|()( )|( 3 1 11 1 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 69 28 )|()( )|()( )|( 3 1 22 2 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 69 16 )|()( )|()( )|( 3 1 33 3 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一 定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机 床是车床的概率是多少？ 解 则 ， ， ， 15 9 )( 1 =AP 15 3 )( 2 =AP 15 2 )( 3 =AP 15 1 )( 4 =AP ， ， ， 7 1 )|( 1 =ABP 7 2 )|( 2 =ABP 7 3 )|( 3 =ABP 7 1 )|( 4 =ABP 由贝时叶斯公式得 22 9 )|()( )|()( )|( 4 1 11 1 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、 0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 、 、 4 1 3 1 ，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 12 1 解 用 表示“朋友乘火车来”， 表示“朋友乘轮船来”， 表示“朋友乘1A 2A 3A 汽车来”， 表示“朋友乘飞机来”， 表示“朋友迟到了”。4A B 则 2 1 )|()( )|()( )|( 4 1 11 1 == ∑ =k kk ABPAP ABPAP BAP 1.37 证明：若三个事件 、 、 独立，则 、 及 都与 独 A B C BA∪ AB BA − C 立。 证明 （1） )()()())(( ABCPBCPACPCBAP −+=∪ = )()( CPBAP ∪ （2） )()()()()() CPABPCPBPAPPABC == （3） =)())(())(( ABCACPCABAPCBAP −=−=− )()( CPBAP − 1.38 试举例说明由 不能推出 一)()()()( CPBPAPABCP = )()()( BPAPABP = 定成立。 解 设 ， ， ，},,,,{ 54321 ωωωωω=Ω 64 1 })({ 1 =ωP 64 18 })({ 5 =ωP ， ， ，=})({ 2ωP =})({ 3ωP 64 15 })({ 4 =ωP },{ 21 ωω=A },{ 31 ωω=A 则 ，},{ 41 ωω=A 4 1 64 15 64 1 )()()( =+=== CPBPAP )()()( 64 1 })({)( 1 CPBPAPPABCP === ω 但是 )()( 64 1 })({)( 1 BPAPPABP ≠== ω 1.39 设 为 个相互独立的事件，且 ，求下 n AAA ,,, 21 ⋯ n )1()( nkpAP kk ≤≤= 列事件的概率： (1) 个事件全不发生；n (2) 个事件中至少发生一件；n (3) 个事件中恰好发生一件。n 解 (1) ∏∏ === −== n k k k k n k k pAPAP n 111 )1()()(∩ (2) ∏ === −−=−= n k k n k k n k k pAPAP 111 )1(1)(1)( ∩∪ (3) .])1([)()]([ 11 111 1 ∐∩∪ ∩ n kj j j n kj j n k k j n k k n k n kj j j k ppAAAAP ≠ = ≠ = === ≠ = −== ∑∑ 1.40 已知事件 相互独立且互不相容，求 （注：BA, ))(),(min( BPAP 表示 中小的一个数）。),min( yx yx, 解 一方面 ，另一方面 ，即0)(),( ≥BPAP 0)()()( == ABPBPAP )(),( BPAP 中至少有一个等于 0，所以 .0))(),(min( =BPAP 1.41 一个人的血型为 型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03，ABBAO ,,, 现在任意挑选五个人，求下列事件的概率 (1)两个人为 型，其它三个人分别为其它三种血型； O (2)三个人为 型，两个人为 型； O A (3)没有一人为 。 AB 解 (1)从 5个人任选 2 人为 型，共有 种可能，在其余 3 人中任选一人 O ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 5 为 型，共有三种可能，在余下的 2人中任选一人为 型，共有 2种可能，另一 A B 人为 型，顺此所求概率为： AB 0168.013.011.040.046.023 2 5 2 ≈××××××⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ (2) 1557.040.046.0 3 5 22 ≈××⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ (3) 8587.0)03.01( 5 ≈− 1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是 0.6，求同时发射一发炮 弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击 中它，问至少需要多少门高射炮。 解 用 表示“第 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， ， 表 k A k ⋯,2,1=k B 示“击中飞机”。则 ， 。6.0)( = k AP ⋯,2,1=k (1) 84.04.01)(1)( 22121 =−=−=∪ AAPAAP (2) ,99.04.01)(1)( 1 1 >−=−=∪ = n n k k n APAAP ∩⋯ 026.5 4.0lg 01.0lg ≈>n 取 。至少需要 6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证 99%的概率击中6=n 飞机。 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为 ，求在成功 次之前p n 已失败了 次的概率。m 解 用 表示“在成功 次之前已失败了 次”， 表示“在前 次试 A n m B 1−+mn 验中失败了 次”， 表示“第 次试验成功”m C mn + 则 ppp m mn CPBPBCPAP mn ⋅−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ === − )1( 1 )()()()( 1 mn pp m mn )1( 1 −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ = 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任n 取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有 根火柴（ ）的 r nr ≤≤1 概率。 解 用 表示“甲盒中尚余 根火柴”， 用 表示“乙盒中尚余 根火柴”， i A i j B j 分别表示“第 次在甲盒取”，“第 次在乙盒取”， 表示取DC, rn −2 rn −2 CBA r0 了 次火柴，且第 次是从甲盒中取的，即在前 在甲盒中取了 rn −2 rn −2 12 −− rn ，其余在乙盒中取。所以1−n 2 1 2 1 2 1 1 12 )( 1 0 ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −− = −− rnn r n rn CBAP 由对称性知 ，所求概率为：)()( 00 DBAPCBAP rr = =∪ )( 00 DBACBAP rr 12 0 2 1 1 12 )(2 −− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −− = rn r n rn CBAP