复变函数与积分变换试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
与答案
1.(5)复数 与点z ( , )x y 对应,请依次写出 的代数、几何、三角、
指数表达式和 的 3 次方根。
z
z
2.(6)请指出指数函数 、对数函数zew = zw ln= 、正切函数
的解析域,并说明它们的解析域是哪类点集。 zw tan=
3.(9)讨论函数 的可导性,并求出函数 在可
导点的导数。另外,函数 在可导点解析吗?是或否请说明
22 i)( yxzf += )(zf
)(zf
1
理由。
4.(7)已知解析函数 vuzf i)( += 的实部 ,求函数
的表达式,并使
yxyu 23 3−=
vuzf i)( += 0)0( =f 。
5.(6×2)计算积分:
(1) ∫ +−C nzz z 10 )(
d ,
2
其中 为以 为圆心,C 0z r 为半径的正向圆周, 为正整数; n
(2) ∫ = +−3|| 2 d)2()1( ez
z
z
zz
。
6.(5×2)分别在圆环 (1) 1||0 << z ,(2) 1|1|0 <−< z 内将函数
2)1(
1)(
zz
zf −= 展为罗朗级数。
3
7.(12)求下列各函数在其孤立奇点的留数。
(1) 3
sin)(
z
zzzf −= ; (2)
zz
zf
sin
1)( 2= ; (3) 1
1
e)( −= zzzf .
8.(7)分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。
4
9.(6 分)求将上半平面 保形映照成单位圆 的
分式线性函数。
0)Im( fz 1|| pw
10.(5×2)(1)己知 F )()]([ ωFtf = ,求函数 )52( −tf 的傅里叶
变换;
(2)求函数
)i5)(i3(
2)( ωωω ++=F 的傅里叶逆变换。
5
11.(5×2)(1)求函数 的拉普拉斯变换; )2(e)( 2 −= tutf t
(2)求拉普拉斯逆变换L-1 ]
54
[ 2 ++ ss
s 。
12.(6 分)解微积分方程: 。 0)0( ,1d)()('
0
==+ ∫ yyty t ττ
6
答 案
1.(5 分)请依次写出 的代数、几何、三角、指数表达式和 的
3 次方根。
z z
(cos sin )iz x iy re r iθ θ θ= + = = +
2
3
ki
z re
θ π+
=
z : ,r Argz
2. (6 分)请指出指数函数 、对数函数zew = zw ln= 、正切函数
的解析域,并说明它们的解析域是哪类点集。 zw tan=
指数函数 、对数函数 、正切函数zew = zw ln= zw tan= 的解析域
分别为:整个复平面,无界开区域;除去原点及负半实轴,无界
开区域,;除去点
2
z k ππ= + ,无界开区域。
3.(9 分)讨论函数 的可导性,并求出函数 在
可导点的导数。另外,函数 在可导点解析吗?是或否请说
明理由。
22 i)( yxzf += )(zf
)(zf
解: 2 2 0 0=u v u ux y
x y y y
∂ ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ ∂ ,u v, 可微
所以 x y= 时函数可导,且 ( ) 2
x y
f z x=′ = 。
因为函数在可到点的任一邻域均不可导,所以可导点处不解析。
4. (6 分)已知解析函数 vuzf i)( += 的实部 ,求函yxyu 23 3−=
7
数 的表达式,并使vuzf i)( += 0)0( =f 。
解:
3 2
2 2
3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3
6 , 3 3
3
( ) 3 i( 3 )
(0) 0
0
( ) 3 i( 3 )
u y x y
u v uxy y x ,v
x y y x
v x xy c
f z y x y x xy ic
f
c
f z y x y x xy
= −
∂ ∂ ∂= − = = − = −∂ ∂ ∂
∂
∂
∴ = − +
= − + − +
=
∴ =
= − + −
Q
Q
5.(6×2)计算积分:
(1) ∫ +−C nzz z 10 )(
d ,
其中 为以 为圆心,C 0z r 为半径的正向圆周, 为正整数; n
(2) ∫ = +−3|| 2 d)2()1( ez
z
z
zz
。
解 (1)设C的方程为 θi0 erzz += )π20( ≤≤ θ ,则
∫∫ +++ =−
π2
0 )1i(1
i
1
0
d
e
ei
)(
d θθ
θ
nnC n r
r
zz
z
∫= π20 i dei θθnnr
∫ −= π20 d)sini(cosi θθθ nnrn
所以 iπ2d
)(
d
0
1
0
=−=− ∫∫ + CC n zz zzz z (当 0=n 时)
8
0
)(
d
1
0
=−∫ +C nzz z (当 0≠n 时)。
(2) ∫ = +−3|| 2 d)2()1( ez
z
z
zz
∫∫ =+=− +−++−= 21|2| 221|1| 2 d)2()1( ed)2()1( e z
z
z
z
z
zz
z
zz
∫∫ =+=− +−+−+= 21|2|
2
2
1|1| 2
d
2
)1(
e
d
)1(
2
e
z
z
z
z
z
z
zz
z
z
2
2
1 )1(
ei π2)'
2
e(i π2
−== −
⋅++⋅= z
z
z
z
zz
i π)ee2(
9
2i πe
9
2i πe
9
4 22 −− +=+= .
6.(5×2)分别在圆环 (1) 1||0 << z ,(2) 1|1|0 <−< z 内将函数
2)1(
1)(
zz
zf −= 展为罗朗级数。
解:(1)Q ∑∞
=
=−=− 02 )'()'1
1(
)1(
1
n
nz
zz
, )1|(|
0
<= ∑∞
=
znz
n
n
∴ )1|(|
)1(
11)(
1
1
2 <=−⋅= ∑
∞
=
− znz
zz
zf
n
n .
(2) Q )1|1(| 1)()1(
11
11
0
<−−−=−+= ∑
∞
=
zz
zz
n
n
n ,
∴ ∑∞
=
−−−=−= 022 )1()1()1(
1
)1(
1)(
n
nn z
zzz
zf
. )1|1(| )1()1(
0
2 <−−−= ∑∞
=
− zz
n
nn
7. (12)求下列各函数在其孤立奇点的留数。
9
(1)
3
sin)(
z
zzzf −= ; (2)
zz
zf
sin
1)( 2= ; (3) 1
1
e)( −= zzzf .
解:(1) 0 =zQ 为 的可去奇点, )(zf
0]0 ),(Res[ =∴ zf ;
(2) 0 =zQ 为 的三阶极点, )(zf πkz = ) 2 1( L,,k ±±= 为 的
一阶极点,
)(zf
6
1')'
sin
1(lim
!2
1]0 ),(Res[ 2
3
0
=⋅=∴ → zzzzf z ,
2
π
2 )π(
)1(
cossin2
1]π ),(Res[
kzzzz
kzf
k
kz
−=+=∴ =
;
(3) 1 =zQ 为 的本性奇点, )(zf
∑∞
=
−
−+−= 0
1
1
)1(!
1)11(e
n
n
z
zn
zz ,
2
3]1 ),(Res[ 1 ==∴ −czf 。
8.(7)分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。
分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性的映照特点,
指数函数具有将带形域映照为角形域的映照特点,
幂函数具有将带形域映照带形域的映照特点。
9.(6 分)求将上半平面 保形映照成单位圆 的
分式线性函数。
0)Im( fz 1|| pw
解: 0 0
0
(Im( ) 0)i z zw e z
z z
θ −= >−
10.(5×2)(1)己知 F )()]([ ωFtf = ,求函数 )52( −tf 的傅里叶
变换;
10
(2)求函数
)i5)(i3(
2)( ωωω ++=F 的傅里叶逆变换。
解 (1) FQ =+ )]([ batf )(e
||
1 i
a
F
a
a
b ωω ,
∴ F
2
1)]52([ =−tf )
2
(e
i
2
5 ωω F− ;
(2) ωωω i5
1
i3
1)( +−+=FQ
=∴ )( tf F-1 −+ ]i3
1[ ω F
-1 ]
i5
1[ ω+
⎩⎨
⎧
<
≥−=
−−
;0 , 0
,0 ,ee 53
t
ttt
, tt 0
0
ii e|e ωωω
ω == =
11.(5×2)(1)求函数 的拉普拉斯变换; )2(e)( 2 −= tutf t
(2)求拉普拉斯逆变换L-1 ]
54
[ 2 ++ ss
s 。
解 (1) L L 4e)( =sF st tu 24)2(2 ee)]2([e −− =− )]([e2 tut
2
e )2(2
−=
−
s
s
;
(2)L-1 ]
54
[ 2 ++ ss
s
= L-1 ]
1)2(
22[ 2 ++
−+
s
s
= Lte 2− - ]
1
2[ 2 +
−
s
s
= L{te 2− -1 −+ ]1[ 2s s 2L-1 }]11[ 2 +s
= ( )。 te 2− tt sin2cos −
12.(6 分)解微积分方程: 。 0)0( ,1d)()('
0
==+ ∫ yyty t ττ
解:
s
sY
s
sY 1)(1(s) =+Q ,
1
1)( 2 += ssY , tty sin)( =∴ 。
11