考研数学公式大全

数学笔记 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1数学笔记 三角函数 1． ， ， 2．积化和差： ， ， 3．和差化积： ， ， 4．倍角公式： ， ， ， ， 5．半角公式： ， ， 6．万能公式：设 ，则 ， ， 7．将次公式： ， 8．其他： ， 函数极限的性质 （1）极限唯一；（反证） （2）有界性：若 ，则在某个 内 有界； （3）局部保号性； 推论1：若 ，且A>B，则在某个 内 ； 推论2：若 ，且在某个 内 ，则A≥B。 夹逼定理：若在某个 内u≤v≤w，且 ，则 。 Heine定理： 对 以 为极限的数列 且 ≠ ，都有 。 闭区间上连续函数的性质定理：设 ， （1）有界定理：则 M>0，st ； （2）最值定理：则 ，st ； （3）根值定理：若 ，则 ，st ； 若 ，则 ，st ； （4）介值定理：且 ，则对 ，都 ，st ； Stolz定理：设 且 ，若 (有限值或 )，则 。 推论1：若 ，则 ； 推论2：若 ，且 ，则 ； 推论3：若 ，且 ，则 （补充首项1）。 Cauchy收敛准则Ⅰ： 收敛 对 ，当 时总有 。 Cauchy收敛准则Ⅱ： ，对 ，总有 。 Cauchy收敛准则Ⅲ： 收敛 ，当 时，对 总有 。 Cauchy收敛准则Ⅳ： ，对 ，总有 对 以 第一类间断点： 均存在，其中： （或 不存在），称为可去型； 。称为跳跃型。 第二类间断点： 至少有一个不存在，其中： 若 之中有一个为 ，称为无穷型。 常用极限 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令 ，则 ， 。 等价无穷小量 。 极限趋近速度 双曲函数 （奇）， （偶）， (奇) ， ， ， 反： ， ， 一根两端固定自然下垂的绳索，如两根电线杆间的电线，称为悬链线，其方程为： 常用导数 高阶微分 ， ， 不具有形式不变性： 为自变量时， ； 为中间变量时， 。 误差估计 （1）准确值：A 近似值：a 绝对误差： 相对误差： 。 若 （最大）绝对误差： （最大）绝对误差： 。 （2） ， 的最大绝对误差： 。 常用积分（不定积分已略去常数C） ，其中： 正交性： 广义积分 ； 。 ， ， ， 。 变限积分求导 ， ， ， ，其中： 函数的极值与最值、驻点与拐点 1．极值点的必要条件：若 是 的极值点，则 或 不存在。 充分条件Ⅰ：在 ，若 ①在 内 ，且在 内 ，则 ； ②在 内 ，且在 内 ，则 ； ③在 和 内 正负号相同，则 不是极值点。 充分条件Ⅱ： 设 存在，且 ，则 ①若 ， ； ②若 ， 。 充Ⅱ引申：设 存在，且 ，则 ①若 为偶数，当 ， ；当 ， 。 ②若 为奇数， 不是极值点。 2．最值： ； 。 3．驻点： ，则称 为 的驻点。驻点不一定为极值点。 4．拐点：若① 在 处连续，且②在 和 内 正负号相反，则称 为 的拐点。 或 不存在的点和 的点可能为拐点。 曲线C在拐点 处凹向发生改变。 函数的凸凹 1．所谓凸凹是指朝 向看去的直观结果。 2． ，则： ① 凸函数 向上凹（往上无限） ； ② 凹函数 向下凹（往下无限） 。 3．詹生不等式：若 在 上是凸函数，则有： ，其中 且 。 渐近线、曲率与渐屈线 1．渐近线 ①垂直： 或 ，则直线 即为垂直渐近线； ②斜： ，其中 ； ③水平： ，则直线 即为水平渐近线。 2．弧微分 曲率 ，曲率半径 曲率中心坐标： ， 3．渐屈线（中心轨迹）： ，原曲线为渐开线。 函数作图基本步骤 确定定义域 讨论对称性与周期性 求出 ，定出 或不存在的点 列表确定曲线的升降和凹向，算出极值和拐点 讨论渐近线 描出特殊点，绘出曲线。 微分定理 1．Fermat定理 函数 在 内有定义，在 处可导，且在 取局部极值，则 。 2．Roll定理 若函数 ，且： ，则 ， 。 3．Lagrange定理 若函数 ，则 ， ； 变形①则 ， ——微分中值定理； 变形②则 ， ； 变形③记 ，则 ， ——有限增量公式。 推论Ⅰ 若函数 在 内有 ，则在 内 为一常数。 推论Ⅱ 若两函数 及 对 有 ，则 （C为一常数）。 推论Ⅲ 若函数 在 上存在有界导数，则 在 上满足Lipschitz条件。 Lipschitz条件：若函数 在 上有定义，且存在常数 ， 对 有： ， 则称 在 上满足Lipschitz条件。 4．Cauchy定理 若函数 ,且对 ，则 ， 。 微分中值定理的应用（辅助函数的构造） Lagrange格式： 。 Cauchy格式： OR 。 格式：其中 为关于 的轮换对称式。 分离 得到轮换式 ， 。 E.g 1 欲证： 。 ， 。 E.g 2 欲证： 。 ， 。 E.g 3 欲证： 。 。 E.g 4 欲证： 。 令 ， 。 函数的一致性连续 Def 设 在 上有定义，若对 ，总存在只与 有关而与 内的 无关的 ， ，当 ，恒有 ，则称函数 在 上一致连续，否则称非一致连续。 PS 若要证函数 在 上非一致连续，只证： ，对 ，总 ，虽然 ，但。 。或用反证法推出矛盾。 Cantor定理 设 ，则 在闭区间 上一致连续。 判定 对 满足Lipschitz条件： 为常数，则 在 上一致连续。 函数可积条件 定理Ⅰ 闭区间 上的连续函数 是可积的。 定理Ⅱ 在闭区间 上除去有限个点外都连续的有界函数 （即具有有限个第一类间断点）是可积的。 推论 闭区间 上的分段连续函数 是可积的。 定理Ⅲ 闭区间 上的单调函数 必可积。 定积分中值定理 第一定理：设 ，且 在 上不变号，则 ， 。 推论 设 ，则 ， 。 性质 设 在 上可积，则 也可积，且 。 第二定理：设 ，且 在 上不变号，则 ， 。 Taylor公式 1．多项式 ; 2．函数 ，Peano余项 ; 3．函数 ，Lagrange余项 ，其中 ； 注： 具有 阶连续导数和 阶导数，所以证明时 只可以用 次L'Hospital法则，最后一步用Lagrange定理： 。 4．Maclaurin公式 ： ，在 。 5．高阶微分形式： ，( )。 其中 ，仅适用于 为自变量的情况。 关于积分 的处理 令 ， ，则： 尤拉变换：令 ， 。 函数序列的一致收敛性 DefⅠ 设 是定义在区间 上的函数序列，若对 ， 收敛，则称 在 上逐点收敛。 ：对 ， ， ，当 时有： ，则： 。 DefⅡ 设 是定义在区间 上的函数序列，若有定义在 上的函数 ，满足： ，总 ， 当 时，对一切 都有： 则称 在 上一致收敛。 定理Ⅰ(Cauchy一致收敛准则) 在区间 上一致收敛 ，总 ， 当 时，对一切 都有： 。 又叙述为： 在 上一致收敛 ，总 ，当 时，有： ， 。 定理Ⅱ 设 ，且 在 上一致收敛于 ，则有： ① ；② 。 定理Ⅲ 设 在 上收敛于 ， ，且 在 上一致收敛，则有：① ；② 。 无穷级数 定理 若级数 收敛，则不改变项的顺序，而对任意有限项求和后得到的新级数仍收敛，且和数相同。 Def 条件收敛：级数 收敛但 发散；绝对收敛： 收敛。 性质 ① 收敛 收敛。反之不成立；②若用比值判别法证明 发散，则 也发散； ③若 收敛，则 绝对收敛。令 ，则 绝对收敛。 ④ 在 时收敛，在 是发散。 函数项级数的一致收敛性 ，总 ，当 时，有： ， 。 M—判别 存在收敛级数 ， 在区间 上有 ，则 在区间 上一致收敛。 关于幂级数 1．幂级数的收敛区间≠收敛域，收敛区间为不包括端点的开区间，收敛域可能为闭区间。 2．幂级数在收敛区间内一致收敛，在收敛域内收敛，但在半径点收敛性不定（绝对or条件or发散）。 3．常用幂级数公式 ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， Fourier级数 1． ， ，其中： 。 2．正弦级数（奇式延拓） 。需给出间断点和端点收敛值，其中端点收敛于0。 余弦级数（偶式延拓） 。只给出间断点收敛值即可。 3．周期函数 以 为周期的F-级数为： ； ； 。 4．将 展成F-级数得： ， 。 进一步可得： ， 。 F-级数的复数形式 ， ， ； 。 微分方程 1．分离变量型 ； 齐次型 ； ； ① ② ，其中： ， 2．高阶微分方程 ； ； 3．一阶线性 ； (1) （齐次） (2) (3) Bernoulli： 4．二阶常系数线性 ； (1) 齐次— 特征方程： ① ② ③ (2) 非齐次 情形一 ① ② ③ 即若 为 的 重根，则方程特解 。 采用待定系数法求得。 (3) 非齐次 情形二 OR Step1．求 的特解： 若 为 的 重根，则 ； Step2．原方程特解 OR 。 非齐次方程通解 ，其中 为对应齐次方程的通解。 (4) 一般情况——常数变易法 ，设 。 5．Euler方程 ， ； 。 6．一阶线性方程组 ，特征方程： （齐次）； 对于非齐次用消元法。 7．R-C回路 由于 R-C-L回路 其中： ， ， 。 多元函数微分学 1． 。 2．隐函数求导： ，其中 ； ， 。 3．方向导数： ，其中： 。 4．空间曲线 的切线方程： ， 切向量： ，其中 法平面方程： 。 5．空间曲面 的法线方程： ， 法向量： ， 切平面方程： 。 多元函数的极值 定理 设 ，令 ，当 ① 时，若 ，则 为极大值点；若 ，则 为极小值点。 ② 时，则 不是极值点。 ③ 时，则 不确定是否是极值点。 Lagrange法求约束型极值 Obj： St： ， 构造辅助函数 求导： ， ； ， 求得上述(m+n)元方程组的解 代入目标函数验证。 坐标变换 1．极坐标系 ； 2．广义极坐标系 ； 3．柱面坐标系 表示半径为C的圆， 表示过z轴且与+x方向成 角的半平面， 表示平行于xoy面的平面， ； 4．球面坐标系 表示以原点为圆心半径为C的球面， 表示过z轴且与+x方向成 角的半平面， 表示以原点为顶点，以与+z方向成 角的射线为母线的半圆锥面，（范围可由x、y和z的取值范围确定）， ； 5．广义球面坐标系 ； 6．一般坐标变换 ， 其中Jacobi行列式； 。 几种曲线图形 极坐标 ① 表示半径为 的圆； ② 表示心形线； ③ 表示圆心在x轴上且直径为 的圆； 表示圆心在y轴上且直径为 的圆； 注： ，图形绕原点旋转 ，故 为以y轴为对称轴的心形线。 ④ 表示钮形线，其中 ； ⑤ 表示的图形为 图形绕原点旋转 ； ⑥ 表示三叶玫瑰线。 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 方程 ⑦摆线： ，一拱表示： ； ⑧星形线： 。 定积分的应用 旋转面面积 空间曲面 曲线积分 曲面积分 梯度、散度、旋度 Guass公式 Stokes公式 万有引力 电场强度 有势场、无源场 未完待续啊！！！如果有人补完了发给我。