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2015 年考研数学(一)试题解析
一、选择题 :1 8 小题 ,每小题 4 分 ,共 32 分 .下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项
符合题目要求的 ,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上 .
(1)设函数 ( )f x 在 , 内连续,其中二阶导数 ( )f x 的图形如图所示,则曲线
( )y f x 的拐点的个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】( C)
【解析】拐点出现在二阶导数等于 0,或二阶导数不存在的点,
并且在这点的左右两侧二阶导函数异号 .因此,由 ( )f x 的图形可得,
曲线 ( )y f x 存在两个拐点 .故选( C) .
(2)设 21 1( )
2 3
x xy e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程 xy ay by ce 的一
个特解,则 ( )
(A) 3, 2, 1a b c
(B) 3, 2, 1a b c
(C) 3, 2, 1a b c
(D) 3, 2, 1a b c
【答案】( A)
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题 —— 已知解来确定微分方程
的系数, 此类题有两种解法, 一种是将特解代入原方程, 然后比较等式两边的系数可得待估
系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法 .
【解析】由题意可知,
21
2
x
e 、
1
3
x
e 为二阶常系数齐次微分方程 0y ay by 的解,
所以 2,1 为特征方程 2 0r ar b 的根, 从而 (1 2) 3a , 1 2 2b ,从而原方
程变为 3 2 xy y y ce ,再将特解 xy xe 代入得 1c .故选( A)
(3) 若级数
1
n
n
a 条件收敛,则 3x 与 3x 依次为幂级数
1
( 1)nn
n
na x 的 ( )
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(A) 收敛点,收敛点
(B) 收敛点,发散点
(C) 发散点,收敛点
(D) 发散点,发散点
【答案】( B)
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质 .
【解析】因为
1
n
n
a 条件收敛,即 2x 为幂级数
1
( 1)nn
n
a x 的条件收敛点,所以
1
( 1) nn
n
a x 的收敛半径为 1,收敛区间为 (0, 2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故
1
( 1)nn
n
na x 的收敛区间还是 (0, 2) .因而 3x 与 3x 依次为幂级数
1
( 1)nn
n
na x 的
收敛点,发散点 .故选( B) .
(4) 设 D 是第一象限由曲线 2 1xy , 4 1xy 与直线 y x , 3y x 围成的平面
区域,函数 ,f x y 在 D 上连续,则 ,
D
f x y dxdy ( )
(A)
1
3 sin2
1
4 2sin2
cos , sind f r r rdr
(B)
1
sin23
1
4 2sin2
cos , sind f r r rdr
(C)
1
3 sin2
1
4 2sin 2
cos , sind f r r dr
(D)
1
sin23
1
4 2sin2
cos , sind f r r dr
【答案】( B)
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出 D 的图形,
所以 ( , )
D
f x y dxdy
1
sin23
1
4 2sin2
( cos , sin )d f r r rdr ,
故选( B) x
y
o
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(5) 设矩阵
2
1 1 1
1 2
1 4
A a
a
,
2
1
b d
d
,若集合 1,2 ,则线性方程组 Ax b 有
无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A) ,a d
(B) ,a d
(C) ,a d
(D) ,a d
【答案】 (D)
【解析】
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( , ) 1 2 0 1 1 1
1 4 0 0 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
A b a d a d
a d a a d d
,
由 ( ) ( , ) 3r A r A b ,故 1a 或 2a ,同时 1d 或 2d
.故选( D)
(6)设二次型 1 2 3, ,f x x x 在正交变换为 x Py 下的标准形为 2 2 21 2 32 y y y ,其中
1 2 3, ,P e e e ,若 1 3 2, ,Q e e e ,则 1 2 3, ,f x x x 在正交变换 x Qy下的标准形为
( )
(A) 2 2 21 2 32 y y y
(B) 2 2 21 2 32 y y y
(C) 2 2 21 2 32 y y y
(D) 2 2 21 2 32 y y y
【答案】 (A)
【解析】由 x Py ,故 2 2 21 2 3( ) 2T T Tf x Ax y P AP y y y y .
且
2 0 0
0 1 0
0 0 1
TP AP .
由已知可得 :
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Q P PC
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故有
2 0 0
( ) 0 1 0
0 0 1
T T TQ AQ C P AP C
所以 2 2 21 2 3( ) 2T T Tf x Ax y Q AQ y y y y .选( A)
(7) 若 A,B 为任意两个随机事件,则 ( )
(A) P AB P A P B (B) P AB P A P B
(C)
2
P A P B
P AB (D)
2
P A P B
P AB
【答案】 (C)
【解析】由于 ,AB A AB B ,按概率的基本性质,我们有 ( ) ( )P AB P A 且
( ) ( )P AB P B ,从而 ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
P A P BP AB P A P B ,选 (C) .
(8)设随机变量 ,X Y 不相关,且 2, 1, 3EX EY DX ,则 2E X X Y
( )
(A) 3 (B) 3 (C) 5 (D) 5
【答案】 (D)
【解析】 2 2[ ( 2)] ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( )E X X Y E X XY X E X E XY E X
2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )D X E X E X E Y E X
23 2 2 1 2 2 5,选 (D) .
二、填空题: 9 14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 .请将答案写在答题纸...指定位置上 .
(9) 20
ln coslim _________.
x
x
x
【答案】
1
2
【分析】此题考查
0
0
型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换 .
【解析】方法一: 20 0 0
sin
ln(cos ) tan 1coslim lim lim .
2 2 2x x x
x
x xx
x x x
方法二:
2
2 2 2 20 0 0 0
1
ln(cos ) ln(1 cos 1) cos 1 12lim lim lim lim .
2x x x x
xx x x
x x x x
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(10) 2
2
sin( )d ________.
1 cos
x
x x
x
【答案】
2
π
4
【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简 .
【解析】
2
2 2
0
2
sin
2 .
1 cos 4
x
x dx xdx
x
(11)若函数 ( , )z z x y 由方程 cos 2xe xyz x x 确定,则 (0,1)d ________.z
【答案】 dx
【分析】此题考查隐函数求导 .
【解析】令 ( , , ) cos 2zF x y z e xyz x x ,则
( , , ) 1 sin , , ( , , ) zx y zF x y z yz x F xz F x y z e xy
又当 0, 1x y 时 1ze ,即 0z .
所以 (0,1) (0,1)
(0,1,0)(0,1,0)
1, 0(0,1,0) (0,1,0)
yx
z z
FFz z
x F y F
,因而 (0,1) .dz dx
(12)设 是由平面 1x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则
( 2 3 ) __________.x y z dxdydz
【答案】
1
4
【分析】 此题考查三重积分的计算, 可直接计算, 也可以利用轮换对称性化简后再计算 .
【解析】由轮换对称性,得
1
0
( 2 3 ) 6 6
zD
x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ,
其中 zD 为平面 z z 截空间区域 所得的截面,其面积为
21 (1 )
2
z
.所以
1 12 3 2
0 0
1 1( 2 3 ) 6 6 (1 ) 3 ( 2 ) .
2 4
x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz
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(13) n阶行列式
2 0 0 2
1 2 0 2
___________.
0 0 2 2
0 0 1 2
【答案】 12 2n
【解析】 按第一行展开得
1 1
1 1
2 0 0 2
1 2 0 2
2 ( 1) 2( 1) 2 2
0 0 2 2
0 0 1 2
n n
n n nD D D
2 2 1
2 22(2 2) 2 2 2 2 2 2 2n nn nD D 12 2n
(14)设二维随机变量 ( , )x y 服从正态分布 (1,0 ;1,1,0)N ,则
{ 0} ________.P XY Y
【答案】
1
2
【解析】由题设知, ~ (1,1), ~ (0,1)X N Y N ,而且 X Y、 相互独立,从而
{ 0} {( 1) 0} { 1 0, 0} { 1 0, 0}P XY Y P X Y P X Y P X Y
1 1 1 1 1{ 1} { 0 } { 1} { 0 }
2 2 2 2 2
P X P Y P X P Y .
三、解答题: 15~23 小题 ,共 94 分 .请将解答写在答题纸...指定位置上 .解答应写出文字说
明、
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
过程或演算步骤 .
(15)( 本题满分 10 分 ) 设函数 ln(1 ) sinf x x a x bx x , 3( )g x kx ,若 f x 与
g x 在 0x 是等价无穷小,求 , ,a b k 的值 .
【答案】 , , .a b k1 11
2 3
【解析】 法一 :原式 30
ln 1 sin
lim 1
x
x a x bx x
kx
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2 3 3
3 3
30
2 3 6
lim 1
x
x x x
x a x o x bx x o x
kx
2 3 4 3
30
1
2 3 6lim 1
x
a a b
a x b x x x o x
kx
即 1 0, 0, 1
2 3
a a
a b
k
1 11, ,
2 3
a b k
法二 : 30
ln 1 sin
lim 1
x
x a x bx x
kx
20
1 sin cos
1lim 1
3x
a b x bx x
x
kx
因为分子的极限为 0,则 1a
2
0
1 2 cos sin
1
lim 1
6x
b x bx x
x
kx
,分子的极限为 0,
1
2
b
0
2 2 sin sin cos
1 3
lim 1
6x
b x b x bx x
x
k
,
1
3
k
1 1
1, ,
2 3
a b k
(16)( 本题满分 10 分 ) 设函数 f x 在定义域 I 上的导数大于零, 若对任意的 0x I ,由
线 =y f x 在点 0 0,x f x 处的切线与直线 0x x 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4,且
0 2f ,求 f x 的表达式 .
【答案】 f x
x
8( )
4
.
【解析】设 f x 在点 0 0,x f x 处的切线方程为: 0 0 0 ,y f x f x x x
令 0y ,得到 0 0
0
f x
x x
f x
,
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故由题意, 0 0
1
4
2
f x x x ,即 00
0
1
4
2
f x
f x
f x
,可以转化为一阶微分方
程,
即
2
8
yy ,可分离变量得到通解为: 1 1
8
x C
y
,
已知 0 2y ,得到 1
2
C ,因此 1 1 1
8 2
x
y
;
即
8
4
f x
x
.
(17)( 本题满分 10 分 )
已知函数 ,f x y x y xy ,曲线 C: 2 2 3x y xy ,求 ,f x y
在曲线 C 上的最大方向导数 .
【答案】 3
【解析】因为 ,f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模 .
' , 1 , ' , 1x yf x y y f x y x ,
故 , 1 ,1gradf x y y x ,模为 2 21 1y x ,
此题目转化为对函数
2 2
, 1 1g x y y x 在约束条件 2 2: 3C x y xy 下
的最大值 .即为条件极值问题 .
为了计算简单,可以转化为对
2 2( , ) 1 1d x y y x 在约束条件
2 2
: 3C x y xy 下的最大值 .
构造函数:
2 2 2 2
, , 1 1 3F x y y x x y xy
2 2
2 1 2 0
2 1 2 0
3 0
x
y
F x x y
F y y x
F x y xy
,得到 1 2 3 41,1 , 1, 1 , 2, 1 , 1,2M M M M .
1 2 3 48, 0, 9, 9d M d M d M d M
所以最大值为 9 3 .
(18)( 本题满分 10 分 )
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( I)设函数 ( ) ( )u x , v x 可导,利用导数定义证明 u x v x u x v x u x v x[ ( )( )] ( )( ) ( ) ( )
( II)设函数 ( ) ( ) ( )1 2 nu x , u x , , u x 可导, nf x u x u x u x1 2( ) ( ) ( ) ( ) ,写出 ( )f x
的求导公式 .
【解析】( I)
0
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim
h
u x h v x h u x v x
u x v x
h
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
h
u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x
h
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( )
h h
v x h v x u x h u x
u x h v x
h h
( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x
( II)由题意得
1 2( ) [ ( ) ( ) ( )]nf x u x u x u x
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nu x u x u x u x u x u x u x u x u x
(19)( 本题满分 10 分 )
已知曲线 L 的方程为
2 22 ,
,
z x y
z x
起点为 0, 2,0A ,终点为 0, 2,0B ,
计算曲线积分 2 2 2 2d d ( )d
L
I y z x z x y y x y z .
【答案】
2
π
2
【解析】由题意假设参数方程
cos
2 sin
cos
x
y
z
, π π:
2 2
π
22
π
2
[ ( 2 sin cos )sin 2sin cos (1 sin )sin ]d
π
2 22
π
2
2 sin sin cos (1 sin )sin d
π
22
0
2
2 2 sin d π
2
(20) (本题满 11 分 )
设向量组 1 , 2 3,α α α 内
3R 的一个基, 1 1 3=2 +2kβ α α, 2 2=2β α , 3 1 3= + +1kβ α α .
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( I)证明向量组 1 2 3 为
3R 的一个基 ;
( II)当 k 为何值时, 存在非 0 向量 ξ在基 1 , 2 3,α α α与基 1 2 3 下的坐标相同, 并
求所有的 ξ.
【答案】
【解析】 (I) 证明:
1 2 3 1 3 2 1 3
1 2 3
, , 2 +2 ,2 , + 1
2 0 1
, , 0 2 0
2 0 1
k k
k k
2 0 1
2 1
0 2 0 2 4 0
2 1
2 0 1
k k
k k
故 1 2 3, ,ββ β为
3R 的一个基 .
( II)由题意知, 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 , 0k k k k k k
即 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0, 0, 1,2,3ik k k k i
1 1 3 1 2 2 2 3 1 3 3
1 1 3 2 2 3 1 3
2 +2 2 + +1 0
+2 + 0
k k k k k
k k k k k 有非零解
即 1 3 2 1 3+2 , , + 0k k
即
1 0 1
0 1 0 0
2 0k k
,得 k=0
1 1 2 2 3 1
2 1 3
0
0, 0
k k k
k k k
1 1 1 3 1, 0k k k
(21) (本题满分 11 分 )
设矩阵
0 2 3
1 3 3
1 2 a
A 相似于矩阵
1 2 0
0 0
0 3 1
bB = .
(I) 求 ,a b 的值;
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( II)求可逆矩阵 P ,使 1P AP 为对角矩阵 ..
【解析】 (I) ~ ( ) ( ) 3 1 1A B tr A tr B a b
0 2 3 1 2 0
1 3 3 0 0
1 2 0 3 1
A B b
a
1 4
2 3 5
a b a
a b b
(II)
0 2 3 1 0 0 1 2 3
1 3 3 0 1 0 1 2 3
1 2 3 0 0 1 1 2 3
A E C
1 2 3 1
1 2 3 1 1 2 3
1 2 3 1
C
C 的特征值 1 2 30, 4
0 时 (0 ) 0E C x 的基础解系为 1 2(2,1,0) ; ( 3,0,1)T T
5 时 (4 ) 0E C x 的基础解系为 3 ( 1, 1,1)T
A 的特征值 1 :1,1,5A C
令 1 2 3
2 3 1
( , , ) 1 0 1
0 1 1
P ,
1
1
1
5
P AP
(22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为
2 ln 2, 0,
0, 0.
x
x
f x
x
对 X 进行独立重复的观测 ,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止 .记 Y 为观测次数 .
(I) 求 Y 的概率分布 ;
(II) 求 EY
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【解析】 (I) 记 p 为观测值大于 3 的概率,则
3
13 2 2
8
( ) lnxp P X dx ,
从而 1 2 2 21
1 7
1 1
8 8
n n
nP Y n C p p p n{ } ( ) ( )( ) ( ) , 2 3, ,n
为 Y 的概率分布;
(II) 法一 :分解法 :
将随机变量 Y 分解成 =Y M N 两个过程 ,其中 M 表示从 1到 ( )n n k 次试验观测值大
于 3首次发生, N 表示从 1n 次到第 k 试验观测值大于 3首次发生 .
则 M Ge n p~ ( , ) , N Ge k n p( , ) (注: Ge 表示几何分布 )
所以
1 1 2 2
16
1
8
E Y E M N E M E N
p p p
( ) ( ) ( ) ( )
.
法二 :直接计算
2 2 2 1
2 2 2
1 7 7 7 7
1 1 2
8 8 8 8 8
n n n n
n n n
E Y n P Y n n n n n( ) { } ( )( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ]
记 21
2
1 1 1( ) ( ) n
n
S x n n x x ,则
2 1
1 3
2 2 2
2
1
1
n n n
n n n
S x n n x n x x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
1 2
2 1 3
2 2
2
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n
xS x n n x x n n x xS x
x
,
2
2 2 2
3 1 3
2 2
21 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n
xS x n n x x n n x x S x
x
,
所以
2
1 2 3 3
2 4 2 2
2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x xS x S x S x S x
x x
,
从而
7
16
8
E Y S( ) ( ) .
(23) (本题满分 11 分 )设总体 X 的概率密度为:
x
f x
1
, 1,( , ) 1
0, 其他 .
其中 为未知参数, 1 2 nx , x , , x 为来自该总体的简单随机样本 .
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(I) 求 的矩估计量 .
(II) 求 的最大似然估计量 .
【解析】 (I)
1 1 1
1 2
( ) ( ; )E X xf x dx x dx ,
令 ( )E X X ,即 1
2
X ,解得
1
1
2 1
n
i
i
X X X
n
, 为 的矩估计量;
(II) 似然函数
1
1
1
1
0
,( ) ( ; )
,
n
n
i
i
i
x
L f x
其他
,
当 1ix 时,
1
1 1
1 1
( ) ( )
n
n
i
L ,则 1ln ( ) ln( )L n .
从而
dln
d 1
L n( )
,关于 单调增加,
所以 1 2min nX X X{ , , , } 为 的最大似然估计量 .
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