概率公式总结

概率公式总结 1．随机事件及其概率吸收律： AABA AA A =∪ =∅∪ Ω=Ω∪ )( ABAA A AA =∪∩ ∅=∅∩ =Ω∩ )( )(ABABABA −==− 反演律： BABA =∪ BAAB ∪= IU n i i n i i AA 11 == = UI n i i n i i AA 11 == = 2．概率的定义及其计算： )(1)( APAP −= 若 BA⊂ )()()( APBPABP −=−⇒ 对任意两个事件 ...

1．随机事件及其概率吸收律： AABA AA A =∪ =∅∪ Ω=Ω∪ )( ABAA A AA =∪∩ ∅=∅∩ =Ω∩ )( )(ABABABA −==− 反演律： BABA =∪ BAAB ∪= IU n i i n i i AA 11 == = UI n i i n i i AA 11 == = 2．概率的定义及其计算： )(1)( APAP −= 若 BA⊂ )()()( APBPABP −=−⇒ 对任意两个事件 A, B, 有 )()()( ABPBPABP −=− 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()()( ABPBPAPBAP −+=∪ )()()( BPAPBAP +≤∪ )()1()()()()( 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAPAAPAPAP LLU − ≤<<≤≤<≤== −+++−= ∑∑∑ 3．条件概率 ( )=ABP )( )( AP ABP 乘法公式 ( ) )0)(()()( >= APABPAPABP ( ) ( ) )0)(( )()( 121 12112121 > = − − n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP L LLL 全概率公式 ∑ = = n i iABPAP 1 )()( )()( 1 i n i i BAPBP ⋅= ∑ = Bayes公式 )( ABP k )( )( AP ABP k= ∑ = = n i ii kk BAPBP BAPBP 1 )()( )()( 4．随机变量及其分布分布函数计算 )()( )()()( aFbF aXPbXPbXaP −= ≤−≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()( 1 =−== − kppkXP kk (2) 二项分布若 P ( A ) = p ),( pnB nkppCkXP knkkn ,,1,0,)1()( L=−== − * Possion定理 0lim >=∞→ λnn np 有 L,2,1,0 ! )1(lim = =− −−∞→ k k eppC k kn n k n k nn λλ (3) Poisson 分布 )(λP L,2,1,0, ! )( === − k k ekXP kλλ 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),( baU ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <<−= 其他,0 ,1 )( bxa abxf ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − −= 1 , ,0 )( ab axxF (2) 指数分布 )(λE ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >= − 其他,0 0, )( xe xf xλλ ⎩⎨ ⎧ ≥− <= − 0,1 0,0 )( xe x xF xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞<<∞−= −− xexf x 2 2 2 )( 2 1)( σ μ σπ ∫ ∞− −−= x t texF d 2 1)( 2 2 2 )( σ μ σπ * N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞−= − xex x 2 2 2 1)( πϕ +∞<<∞−=Φ ∫ ∞− − xtex x t d 2 1)( 2 2 π 7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ∫ ∫∞− ∞−= x y dvduvufyxF ),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数 ∫ ∫∞− +∞∞−= xX dvduvufxF ),()( ∫+∞∞−= dvvxfxf X ),()( ∫ ∫∞− +∞∞−= yY dudvvufyF ),()( ∫+∞∞−= duyufyfY ),()( 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈= 其他,0 ),(,1),( GyxAyxf (2) 二维正态分布 +∞<<−∞+∞<<∞− × − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −+−−−−−− yx eyxf yyxx , 12 1),( 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 )())(( 2 )( )1(2 1 2 21 σ μ σσ μμρσ μ ρ ρσπσ 9. 二维随机变量的条件分布 0)()()(),( >= xfxyfxfyxf XXYX 0)()()( >= yfyxfyf YYXY ∫∫ +∞∞−+∞∞− == dyyfyxfdyyxfxf YYXX )()(),()( ∫∫ +∞∞−+∞∞− == dxxfxyfdxyxfyf XXYY )()(),()( )( yxf YX )( ),( yf yxf Y = )( )()( yf xfxyf Y XXY= )( xyf XY )( ),( xf yxf X = )( )()( xf yfyxf X YYX= 10. 随机变量的数字特征数学期望 ∑+∞ = = 1 )( k kk pxXE ∫+∞∞−= dxxxfXE )()( 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 ) X 的 k 阶绝对原点矩 ( kXE )|(| kXE X 的 k 阶中心矩 X 的方差 )))((( kXEXE − )()))((( 2 XDXEXE =− X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 )( lkYXE ( )lk YEYXEXE ))(())(( −− X ,Y 的二阶混合原点矩 X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差)(XYE ( )))())((( YEYXEXE −− X ,Y 的相关系数 XYYDXD YEYXEXE ρ=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− )()( ))())((( X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) )()()( 22 XEXEXD −= 协方差 ( )))())(((),cov( YEYXEXEYX −−= )()()( YEXEXYE −= ( ))()()( 2 1 YDXDYXD −−±±= 相关系数 )()( ),cov( YDXD YX XY =ρ

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