3第一章变分学

1第第一一部部分分变变分分原原理理2第一章变分学11变分命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 在自然科学和 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术上，常常会遇到确定某一函数的极值问题，这种计算 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 是微积分里大家所熟知的；但是也会研究这样一种抽象的函数—泛函，其值域是实数域，而定义域由某类函数所构成，研究泛函的极值问题是变分法的基本问题。为了便于理解变分的命题，这里先从历史上的一些典型的变分命题讲起。问题1：最速降线问题已知空间中两点A和B，不在同一铅垂线上，A高于B。要求在两点间连一曲线，使得有重物从A沿此曲线自由滑下时，从A到B所需的时间最少摩擦力不计）。此命题是约翰伯怒利JohannBernoulli）于1696年以公开信的形式向他的兄长雅可布伯怒利JacobBernoulli）和其他数学家提出来的，引起了当时科学家们的极大兴趣，如牛顿(Newton)、莱比尼兹(Leibniz)和雅可布伯怒利等都为此作出了努力和贡献。经过100年的努力，才获得比较完善的解答。通过A、B并垂直水平面作一平面，在此平面上取一直角坐标系，以A为原点，x轴水平，y轴向下，设B点坐标为),(ba。令所求曲线为)(xy，已知：0x处，0y；ax处，by111）设),(yxP是曲线上某一点，重物在P点的速度v可由能量守恒原理求得：gyvmgymv2212令ds为曲线的弧长的微分，则gydxygydsdtgyvdtds21222'式中y=dxdy。因此，重物从A滑到B所需时间T为：adxgyyT0221112）上面提出的力学问题最后化为如下的数学问题：在ax0区间找一函数yx）供它满足边界条件111），并使式112）定义的T取最小值。问题2:短程线问题设0),,(zyx为一已知曲面，而),,(111zyxA和),,(222zyxB是曲面上的两定点，在该曲面上过A、B的所有曲线中，试求长度最短的一条曲线。这个问题在1697年由约翰伯怒利所解决，而这类问题的普遍图12图113理论直到后来通过欧拉L.Euler）、拉格朗日L.Lagrange）的努力才解决。曲面0),,(zyx在A、B两点间曲线的长度为21221xxdxdxdzdxdyL113）其中：)(xyy，)(xzz满足约束条件0),,(zyx114）上面提出的问题最后化为如下数学问题：在21xxx区间内决定两个函数)(xyy和)(xzz，使它满足约束条件114），并使113）定义的L取最小值。问题3：周长问题在长度一定的封闭曲线中，什么曲线所围面积最大。这个问题在古希腊时已经知道答案是一个圆，但它的变分特性一直到十八世纪才被欧拉阐述清楚。将所给曲线用参数形式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达为)(sxx，)(syy，因为这条曲线是封闭的，所以有)()(ebsxsx，)()(ebsysy，该曲线的周长为：ebssdsdsdydsdxL22115）其所谓面积A为：ebssSAdsdsdxydsdyxydxxdydxdyA2121116）上面提出的问题最后化为如下数学问题：在满足115）约束条件下，选取一对函数)(sxx、)(syy使116）定义的泛函A为最大值。这三个历史上有名的变分命题，都是17世纪末期提出的，又都是18世纪上半叶解决的。解决过程中，欧拉、拉格朗日等创立了变分法。后来广泛地应用于力学的各个方面，并向其他学科不断的扩展。上述三个变分命题，都有从泛函求极值的共同性，端点或边界都是固定不变的，但有的有约束条件例2、例3），有的没有约束条件例1）。这样的变分命题还有许多，现在再举三个例子。问题4：最小旋转面问题有一条边界点已知),(11yxA、),(22yxB的曲线0)(xyy，使之绕横轴旋转，求所得旋转面面积最小的那个函数)(xyy。即在满足11)(yxy，22)(yxy的端点条件下，求函数)(xyy使以下泛函212'122xxdxyyydsS117）取最小值。问题5：费马原理通过介质的光路，使光线通过这一段光路所需时间为最小。以二维空间为例，设介质的折光率为),(yx，而光线通过介质的速度为yxcyxv,,，其中c为真空中的光速，则4从原点)0,0(到点),(11yx的光行时间为：1021201,1xldxdxdyyxcvdsT(118)求函数xyy，使上式泛函取最小值。问题6：悬索线问题求长度已知的均匀悬索的悬线形状，悬线形状是由悬线达到最低位能的要求决定的，而悬线的位能则有悬线的重心决定。设悬线各点的铅垂坐标为xy，并通过0,0yA、11,yxB两点，悬索的长度为：1021xdxdxdyL(119)悬索重心高度为：1020111xLcdxdxdyyLydsLy(1110)以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(119)条件的一切曲线中，求使泛函式(1110)取极小值的函数xy。12变分及其特性1.泛函的定义定义给定满足一定条件的函数集合：xy，和实数集合R。设xy是中的函数，V是R中的变量，若和V之间存在一个对应关系，使中的每个函数xy，V中都有唯一的V值与之对应，则称V是函数xy的泛函，记为xyVV。成为泛函的定义域，可变函数xy称为自变函数，依赖自变函数而变的量V，称为自变函数的泛函。为了叙述方便，我们介绍下面的术语：函数类具有某种共同性质的函数集，称为函数类。如在区间10,xx上连续的函数集，称为在区间10,xx上连续的函数类，记为10,xxC。在区间10,xx上n阶导数连续的函数集，称为在区间10,xx上n阶导数连续的函数类，记为10,xxCn，而100,xxC约定为10,xxC。例1设泛函102'1)(dxyyVV，试分别求xy、2xy、chxy的泛函值解：由xy，1'y则22)(10dxxV5由2xy，xy2'则4789.1)412ln(21412141)(10221022xxxxdxxxV由chxy，shxy'则1752.111010102shxchxdxdxxshchxV2.函数间的距离函数的邻域定义设函数xy与xy0都属于],[baCn，则xyxy0，xyxy'0'，，xyxynn0在区间ba,上的最大值，称为函数xy与xy0在ba,上的n级距离，记为nnbaxnyyyyyyyyd0'0'0],[0,,,max,特别，零级距离与一级距离分别为0],[00max,yyyydbax；'0'0],[01,max,yyyyyydbax定义设给定xy0属于],[baCn和正数，如果对于],[baCxyn，有0,yydn，则称xy与xy0具有n阶的接近度。又称集00,,],[],[yydbaCxyxyyNnnn为xy0的n阶邻域。当1,0n时，分别表示y与y0具有零阶与一阶的接近度。对于给定的正数，如果y与y0具有一阶的接近度，那么就蕴含有零阶的接近度，但反之不成立。一般，若两曲线具有n阶的接近度，那么它们将具有任何低于n阶的接近度。显然，接近度的阶数越高，两曲线接近得越好。3.泛函的连续定义设泛函xyV的定义域为：],[baCxyxyn，又0y。如果对于任意给定的正数，都能找到正数，使得对于任意的],[0yNxyn都有xyVxyV0成立，则称泛函xyV在xy0处是具有n阶的接近度的连续泛函。4.泛函的极值泛函的极值定义与函数的极值定义是类似的。定义设xy0是泛函xyV的定义域中的某一函数，若对于中任一函数xy都有xyVxyV0或xyVxyV0）则称泛函xyV在xy0处达到绝对极小值或绝对极大值）。若存在一正数，使对于任一],[00yNxy都有xyVxyV0或xyVxyV0）则称泛函xyV在xy0处达到强相对极小值或强相对极大值）。6若存在一正数，使对于任一],[01yNxy都有xyVxyV0或xyVxyV0）则称泛函xyV在xy0处达到弱相对极小值或弱相对极大值）。极大值和极小值统称极值。在上述绝对极值、强相对极值和弱相对极值的定义中，函数xy0是依次地与较小的函数集里的函数xy相比较而言的，因此，可以得出：绝对极值强相对极值弱相对极值；弱相对极值的必要条件强相对极值的必要条件绝对极值的必要条件。因此，我们推导泛函极值的必要条件时，只对泛函弱极值的必要条件进行推导。在实际问题中，泛函极值的存在性，往往在问题给出时就已肯定了。因此当泛函有极值时，求出满足必要条件的未知函数是我们着重要解决的问题。5.泛函的变分求泛函极值的方法称为变分法。函数极值的方法，求函数极值时需要应用函数的导数或微分，同样求泛函极值时需要用到泛函的变分概念。讨论变分方法之前需先介绍泛函的变分概念。1）函数的变分定义函数xy与另一函数xy的差xyxy称为函数xy的变分，记为y，即xyxyy。显然，函数xy的变分y是x的函数，注意函数的变分y与函数的增量y的差别。后者是同一函数xy由于自变量x的增量而产生的差异。2）泛函的变分定义记泛函xyV的增量为xyVyxyVV，如果V可表示为yyxyyxyLVmax,,其中yxyL,是关于y的线性泛函，ymax表示y的最大值，且当0maxy时，0,yxy。则称yxyL,为泛函xyV在xy上的一阶变分，简称变分。记为V，即yxyLV,。上面关于函数与泛函的变分定义及公式可推广到多元函数及依赖于多元函数或多个函数泛函的情形。6.变分法的基本预备定理如果函数xF在域21,xx上连续，且对于只满足某些一般条件1、一阶或若干阶可微分；2、在域21,xx的端点处为0；3、εxδy，或εxδy和εxδy'等）的任意选定的函数xδy，有021xxdxxδyxF则在域21,xx上，有0xF。证明：反证法）若xF在［x1,x2］内某点x处不等于零，由xF的连续性，在点x的某个邻域x也不等于零，记1，2，不妨设0xF，],[,2121xxx。由于xy的任意性，当选定xy在此邻域],[21内为正，而在此邻域外恒7为零，可构造函数xy如下：],[],[],[02122212211xxxkxxxxynn这时，xy满足1）到处都12n阶可导；2）在域21,xx的端点处为零；3）如果选取一个很小的k，则一定能使εxδy，或εxδy及εxδy'得到满足。于是有021212221dxxxxFdxxyxFxx这与预备定理的条件矛盾，因此在［x1,x2］上，有0xF。对于多变量的问题也有类似的变分预备定理。13固定边界的变分问题从本节起将讨论泛函极值的必要条件，介绍如何把泛函的极值问题化为微分方程的边值问题，先考虑固定边界简单泛函的变分问题。考虑一类最简单定积分dxyyxf),,(的极值问题，在自变量bxa区间内，决定一个函数)(xy，使它满足边界条件：在ax处，y;在bx处，y，并使泛函：dxyyxFVba),,(取极值。图中),(),,(bHaG是已知两个点，问题是要在G、H间选一条曲线，使泛函V取极值。设这条曲线为GACH，它的方程为)(xyy。设想在其附近另取一条曲线GBDH两条曲线定义为无穷接近，不仅函数本身无限接近，而且各导数也要无限接近<n阶的接近度>），令这条曲线纵坐标为)()(xyxyy是一个无穷小量，称为自变函数的变分。对应这两条曲线，可以得出泛函的两个值：dxyyxFVba),,(badxyyyyxFVV])(,,[=badxyyyyxF])(,,[这里V代表泛函的增量。自变量不变即x不变）而仅仅由于曲线函数）的无穷小变化而引起的纵坐标的增加称为自变函数的变分，记作y；另外仍用高等数学中的定义，曲线不变，由于自变量x的变化dx而引起的纵坐标的增加，称为函数的微分，记作dy。图138这样，图中A、B、C三点的纵坐标为A:yB:y+δyC:y+dy=y+ydx而D点的纵坐标若从C点算过去是dxyyyydxyydxyy)()()(若从B点算过去则是dxyyyydxyyyy])([)()(故有yδ)(δy此式表明，一个函数的微分运算和变分运算的次序是可以交换的，在变分公式推导中常要用到。利用上式，VV可写成VV＝badxyyyyxF),,(于是有badxyyxFyyyyxFV)],,(),,([131）对于力学和工程上经常遇到的泛函，被积函数),,(yyxF是y、y’的连续可导函数，因此当y，y很小时，V也很小，当y，y是无穷小时，V也是无穷小。如果取出等式两端的一阶无穷小量，则有dxyyFyyFVba)(132）V称为V的一阶变分。而V的二阶小量部分称为V的二阶变分V2，记为dxyyFyyyyFyyFVba)2(212222222y和y有内在联系，并不能独立无关地变，设法把y转变为y。用分部积分公式vduuvudv133）取yFu，dxydxydv)(，则dxyFdxddu，yv代入式132）第二项，得9ydxyFdxdyyFdxyyFbababa|134）于是式132）得babayyFydxyFdxdyFV|][135）前面已 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 了函数xy在两端为已知，因此y在两端应为零，即在ax和bx处：y＝0136）则式135）化简为ydxyFdxdyFVba][137）要使V取极值，必须0V，而y在ba,区间不可能处处为零<由变分法的预备定理>，因此xy能使V取极值的必要条件为：0yFdxdyF138）这个方程是函数xy的微分方程，通称称为欧拉方程。解此式并利用边界条件，就能确定函数xy。［例］最速降线问题——前面已讲过这个问题可归结为决定一个函数xy，使它满足边界条件在0x处0y，在ax处by并使泛函dxgyyTa0221取极小值。解：应用欧拉方程138），这里被积函数ypgF2121dxdyp同时2322121ypgyF2121pypgyF代入欧拉方程后得：01212232pypdxdyp把它化简为p对y的微分方程01212dydpppy分离变量1001212dpppdyy积分得cpy2ln)1ln(ln2或cpy2)1(2其中c为积分常数。yycdxdyp2dyycyyx22=Dyccycy12cos2曲线xy要满足边界条件0x处0y，代入上式，得0D，则cyccycyx12cos2这个曲线适合用参数来表示。令cyc1cos，则)cos1()sin(cycx这是一组圆滚线族，c为滚轮半径。利用边界条件ax处by，可所以，最速降线为圆滚轮线。［例］最小旋转面问题——求一条边界点为已知的曲线，使之绕横轴旋转所的曲面面积为最小。解：设所求曲线为xy，然横轴x旋转的表面面积为：ydsS2dxyyxx21212代入欧拉方程0yFdxdyF考虑到yFyFdxd[dyFyFdxdydxydyFdxdyyF故0yFyFdxdyF把21yyF代入，整理后得c图14以求出c。]dxyyFdxdyFycyFcyy21令shy，代入上式，得：chcy1而dcshdshcydydx11，从而得：21ccx得到曲线的参数方程解chcyccx121消去参数，得：121ccxchcy这是一族悬链线。绕x轴转一圈即为悬链面。1c和2c等积分常数由下1yy；在2xx处2yy。14变动边界的变分问题前一节我们研究泛函的极值问题时，假定其边界端点是固定的，并且本节我们将研究泛函的容许函数曲线满足另一种边界条件，即边界不定一、变动端点变分问题的自然边界问题以最速降线问题为例，设物体从)0,0(点下滑，下滑曲线的右下端只规定到ax为止，而没有规定)(ay值。这就属于边界不定的情况，如右图15所示。下面讨论更一般性的问题，然后再头来分析上面具体的例子。在bxa区间内，决定一个函数)(xy使泛函badxyyxFV),,((141)取极小值。解题的步骤与以前一样，先求泛函V的一阶变分VbabayyFydxyFdxdyFV|)(11图15面边界条件来得：在1xx处其容许函数曲线都通过该端点。的情况。142）12要使泛函V取极值，V必须为零，因此欧拉方程0yFdxdyF143）仍必须成立，同时在ax及bx处0y，故必须有0|axyF，0|bxyF144）这一边界条件144），并不是事先给定的，而是在求极值曲线中自然要满足的端点条件。这一条件称为自然边界条件。［例］边界条件为0x时0y及ax时y不给定情况下的最速降线问题。解：泛函已在前面求出dxgyyTa0221其一阶变分为aayyFydxyFdxdyFT00|][要使T取极值，必须T＝0，即0yFdxdyFa）0|axyFb）还有边界条件：0x时0yc）由a）、c）两式已求得曲线的参数表达式)cos1()sin(cycx应用式b）确定积分常数c0|121|2axaxyyygyF即：0|axy于是有cos1sin)cos1(sindcdcdxdyy0|2axctg得：ax处，代入式曲线的参数表达式中第一式，求得：ac因此曲线)(xy的最后表达式为)cos1()sin(ayax滚轮半径为a,aaayyax2)cos1()(|。滚轮线见图16所示。图16二、变动端点变分问题的横截条件以下讨论泛函的积分限是可变的情形。设在yx,平面上给定了两条曲线如右图所示。0),(0),(21yxyx145）现在要求在1上选一点111,yxA，在2上选一点),(222yxA，通过1A和2A连接一条曲线xyy146）使定积分泛函dxyyxFVxx),,(21147）取极小值。这个问题的特点是在前面讨论的问题设想在曲线1和只知道1A和2A分别在曲线1和2上，至于是本节问题的一个特例，即曲线1和2是平0021axx2上，分别取1A和2A的邻点),(),(2222211111yyxxByyxxB13它们的具体位置是未知和待求的。行于y轴的两根直线148）14连接1B和2B再做一条与方程146）邻近的曲线)()(xyxyyB149）如上图的虚线所示。这里特别要注意，在一般情况下)(iixyy2,1i）按定义，)(ixy是指横坐标ix不变而仅有曲线变动所引起的纵坐标的增量；而iy是端点纵坐标的增量,即iB相对于iA的纵坐标增量，它包含了曲线变动和横坐标变动两个因素。因而在精确到一阶小量的范围内有iiiixxyxyy)()(2,1i）1410）参见图18。与曲线21AA对应的定积分泛函是式147），与曲线B1B2对应的定积分泛函记为2211),,(xxxxdxyyyyxFVV1411）由此得到V的增量212211),,(),,(xxxxxxdxyyxFdxyyyyxFV21)],,(),,([xxdxyyxFyyyyxF222),,(xxxdxyyyyxF111),,(xxxdxyyyyxF1412）此式右端第一项的一阶小量部分是dxyyFyyFxx)(211413）当),,(yyxF是y和y的连续函数时，在精确到ixi=1,2）的一阶小量时，有ixxxixxFdxyyyyxFiii)(),,(1414）式中)(ixF是))(),(,(iiixyxyxF的缩写。这样，从式1412）等号两边取出一阶小量后，有1122)()()(21xxFxxFdxyyFyyFVxx1415）经过进一步运算，得22)()]([21xxFydxyFdxdyFVxx)()()()()(111122xyxyFxxFxyxyF1416）要使V取极值,即0V，必须有0yFdxdyF1417）0)()()(iiiixyxyFxxF2,1i1418）这里的核心问题是推导边界条件，因为点),(iiyx必须在曲线i上即0),(iiiyx所以ix，iy必须满足变分条件0)()(iiiiiiyxyxxx在把式1410）代入,得()()]()()([iiiiiiiiiyxyxxyxyxx联立1418）、1420）两式，得)()()()(iiiiiiixyxyxyxx即：0)}()()(){()()(iiiiiiiixyxyFxFxyxyFxx微分方程1417）汇同边界条件1421），便可确定所求曲［例］求从定点11,yxA到直线bmxy距离为最短的曲线解：问题可归结为求一曲线xy，始端固定，终端可沿直线bmxy自由移动，即有bmxy22，使泛函dxyLxx2121取极小值。欧拉方程为：0yFdxdyF边界条件为：11)(yxy和()()()[()()(2222222xyxyFxFxyxyFxx，151419）0)ix1420）)()(iixyFxF2,1i1421）线xy。。0)]216把21yF代入欧拉方程，求得21cxcy利用边界条件11)(yxy，有2111cxcy再利用另一个边界条件及bmxy2，得0}|1|1{|)1(1222222cyyyyymxxx再以21cxcy代入，得0)11(1121121211ccccccm得mc11求得1c后，可进一步求得：mxyc112于是最后得)(111mxyxmy这是一条通过A点与bmxy垂直的直线。15含多个未知函数泛函的变分问题上面两节讨论的泛函，只涉及一个自变函数。如果泛函中包含二个或二个以上可以独立变化的函数，可以用相同的方法导出一组微分方程和相应的边界条件。把自变量记作t，待求的独立变化的自变函数记作nqqq,,,21，它们的一阶导数记作1q，2q，nq。这样，问题就归结为求自变函数)(1tq，)(2tq，)(tqn，使泛函dtqqqqqqtLVnnba),,,,,,(2121取极值。其中V是具有连续的一阶和二阶偏导数的连续函数。求V的一阶变分dtqqLqqLViniiibanii)(11利用分部积分，得到17bainiiiibaniiqqLdtqqLdtdqLV|][})]([{11151）由此得到n个微分方程0)qL(dtdqLii),2,1(ni152）以及多种可能的边界条件。方程组152）称为欧拉泊松EulerPoisson）方程。引入拉格朗日UTL，则式152）即是理论力学中著名的拉格朗日方程组，它是具有n个自由度的保守系统的运动方程。［例］利用哈密尔顿原理Hamilton）推导如图110所示保守力系作用下的质点系的运动方程：二个质量相同并用三个弹簧互相联结在一起的质点系的运动方程，摩擦不及。哈密尔顿原理：质点系的运动满足某些约束条件），必使积分“作用量”12ttdtUTV成极值最小值）。其中T、U分别表示质点系的动能和位能，t为时间。依据以上原理可知：22.21.2121xMxMT2212122211212121xKxxKxKU则有：21221212221122.21.2121ttdtxKxxKxKxxMV根据式152），可求得质点系的运动方程组为0012222..212211..1xxKxKxMxxKxKxM16含高阶导数泛函的变分问题一、未知函数具有二阶导数的泛函极值问题。badxyyyxFV),,,(161）现在把这个问题化为微分方程的边值问题，求V的一阶变分dxyyFyyFyyFVba)(162）前已证明。用分部积分公式可将式162）第二项变为：图11018ydxyFdxdyyFdxyyFbababa)(|163）类似地，连续用两次分部积分公式，可将式162）第三项变为dxyyFdxdyyFdxyyFbababa)(|ydxyFxddyyFdxdyyFbababa)(|)(|22164）将式163）、164）代入式162），归并同类项后得ydxyFxddyFdxdyFVba)]()([22babayyFyyFdxdyF||)]([165）V取极值的必要条件是0V，从式165）第一项即可推出0)yF(xdd)yF(dxdyF22166）上式称为欧拉－泊松EulerPoisson）方程。一般而言，上式是关于xy的四阶常微分方程，它的解含有四个任意常数，这些常数由边界条件决定。边界条件是：看式165）第二项，如果边界上y已知固定边界），则0||bxaxyy，于是第二项恒等于零。如边界上y为未知变动边界），则0|,0|bxaxyy，那么应该使0|)]([bxaxyFdxdyF再看式5）第三项，如边界上y为已知固定边界），则0||bxaxyy，于是第二项恒等于零。如边界上y为未知变动边界），就应该使0|bxaxyF归纳起来，本问题的边界条件为：在ax及bx处00yFy)yF(dxdyFy或已知或已知167）二、含有更高阶导数的泛函极值问题bandxyyyxFV),,,()(168）求V的一阶变分为19dxyyFyyFyyFVnnba)()()(169）用分部积分法进行运算，最后整理得ydxyFxddyFxddyFdxdyFVnnnnba)]()1()()([)(22bannnnyyFdxdyFxddyFdxdyF|)]()1()()([)(11122bannbannnnyyFyyFdxdyFdxdyF||)]()1()([)1()()(2221610）由0V可得函数xy应满足的微分方程欧拉－泊松方程）0)yF(dxd1)()yF(xdd)yF(dxdyF(n)nnn221611）边界条件:在ax及bx处y已知，或0)()1()()()(11122nnnnyFdxdyFxddyFdxdyFy已知，或0)()1()()(22)2(nnnnyFdxdyFdxdyF)1(ny已知，或0)(nyF1612）［例］如图所示两端固支的弹性梁，长为l，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q作用，问梁取怎样的挠度曲线时，这个系统的总位能最小？解：根据弹性力学知识梁的总位能为：llqydxdxyEI020''2另外，由题意可知梁的边界条件为：000000''lylyyy根据式1611）的欧拉－泊松方程可得qEIy''''其通解为图11120xcxcxcxEIqy32231424代入边界条件，可确定上式中的待定系数，于是求得使系统总位能最小的挠度曲线为：2234241224xEIqlxEIqlxEIqy17含多元函数重积分泛函的变分问题在许多力学和物理问题中，常碰到含多元函数的重积分泛函的极值问题。例如弹性力学的平面问题、板的弯曲、轴对称问题和平面电磁场问题等都包含两个自变量yx,；空间弹性力学包含三个自变量zyx,,；平面热传导、板的振动、平面电磁波等包含三个自变量tyx,,；而空间弹性体振动、热传导、电磁波则包含四个自变量tzyx,,,。以下着重介绍二元函数的泛函极值问题。设在yx,平面内有一区域Ω，它的边界是C，要求在Ω区域内找一函数yxw,，使下面重积分表示的泛函取极值dxdywwwyxFJyx),,,,(式中：yww,xwyxw关于边界条件如图112所示，假设在2C上：w自由变化，在其余部分1C上：w已知，即ww。现在来导出上述泛函取极值应满足的必要条件，即所应满足的偏微分方程。求泛函J的一阶变分dxdywwFwwFwwFJyyxx)(171）根据函数变分的定义，有wxxwwx；wyywwy，而且wFywwFxwwFxwwFwwFyxxyyxx则式171）可以改写成wdxdywFywFxwFJyxdxdwwFywwFxyx根据格林公式GreenFormula），对于函数yxu,,yxv,两个连续函cdsvudxdyyvxucossin)(wwFywyy172）数有21其中s是边界曲线C的弧长，逆时针为正，顺时针为负。边界切线与x轴的夹角。运用格林公式，则式172）右端第二项为cyxyxwdswFwFdxdywwFywwFxcossin将上式代入式172），并考虑在1C上，w为已知，即0w，得wdswFwFwdxdywFywFxwFJycxyx)cossin()]()([2173）J取极值的必要条件是0J，则有0)()(yxwFywFxwF174）在边界2C上有0coswFsinαwFyx175）方程174）即为使泛函取极值应满足的偏微分方程，这个方程称为奥斯特洛格拉得斯基方程，简称奥氏方程。奥氏方程、边界条件175）和原有1C上的边界条件一起，构成一个完整的二阶偏微分方程的边值问题。属于上述这种类型的变分问题在物理和工程上碰到很多，下面举一些实例。［例1］求泛函dxdyywxwV])()[(22取极值时w应满足的微分方程。解：由奥氏方程0)()(yxwFywFxwF即02222ywxw或02w这就是平面问题的拉普拉斯Laplace）方程。平面问题的热传导微分方程为TatT2而平面稳定温度场问题则为02T［例2］求泛函22dxdyyxwywxwV)],(2)()[(22取极值时w应满足的微分方程。解：由奥氏方程得),(2yxw这个方程称为泊桑Poisson）方程。弹性力学中某截面直杆的扭转问题，求应力函数的微分方程为c2［例3］设一拉紧了的均匀膜，张力为T，求其在分布载荷yxq,作用下，挠度w的微分方程。解：按题意，膜在载荷作用下被拉伸后，所具有的的应变能与面积增量成正比，加上外力位能其总位能为DyxwdxdyyxqwwTV,1122由泰勒公式，取近似值22222111yxyxwwww于是上式化为DyxqwdxdywwTV222由奥氏方程，可推出薄膜在分布载荷yxq,作用下，挠度w的微分方程Tyxqw),(2［例4］如上题中假定薄膜在边界上受有线密度为sp，方向垂直于薄膜平面的外力作用，且每单位弧长的恢复力为s。求其在分布载荷yxq,作用下的挠度w的微分方程和边界条件。解：系统的总位能为SDyxdspwwqwdxdywwTV22222求其变分可得SyxDyxwdspwwwTwdxdyqwwTVcossin22由式174）和175），可得挠度w的微分方程和边界条件Tyxqw),(2pwwwTyxcossin23dxdywwwyxFJyx),,,,(的推广，如果把上式向三维问题、二维问题包括高阶导数，以及三维动力学问题推广，则奥氏方程可用类似方法推出。1．dxdydzwwwwzyxFJzyVx),,,,,,(求J的一阶变分dxdydzwwFwwFwwFwwFJzzyyxxV)(176）由函数变分的定义有：wxxwwx；wyywwy；wzzwwz则zzyyxxwwFwwFwwFwwFzwwFzwwFywwFywwFxwwFxzzyyxx所以，式176）可以写成wdxdydzwFzwFywFxwFJzyxV))()()((VzyxdxdydzwwFzwwFywwFx177）应用格林定理或高斯定理）dxdydzzRyQxPV)(dRQP)coscoscos(其中P、Q、R为V中和上都连续的函数，为闭域V的界面，、、为界面的外法线和x、y、z轴之间的方向角。则式177）为wdxdydzwFzwFywFxwFJzyxV))()()((wdwFwFwFzyx)coscoscos(178）令0J，得奥氏方程为0)()()(zyxwFzwFywFxwF179）而边界条件为：如在V的界面上zyxw,,已知，则0w；对界面上zyxw,,未知部分，则要24满足0coscoscoszyxwFwFwF1710）2、dxdywwwwwwyxFJyyxyxxyx),,,,,,,(其一阶变分为dxdywwFwwFwwFwwFwwFwwFJyyyyxyxyxxxxyyxx)(1711）应用格林公式，得dxdywwFwwFyyxx)(wdswFwFwdxdywFywFxcyxyxcossin)]()([dxdywwFwwFwwFyyyyxyxyxxxx)(dxdywwFwwFwwFwwFyyyyxyxyxyxyxxxx)]21()21[(dxdywwFywFxwwFywFxyyyxyxxyxx})]()21([)]21()({[cyyyxyxxyxxdswwFwFwwFwFcossin21cos21sinwdxdywFywFyxwFyxwFxyyxyxyxx)]()21()21()([222222wdswFywFywFxwFxcyyxyxyxxcos)()21(sin)21()(cnyyxyxyxxdswwFwFwFwFcoscossin21sincos21sin所以式1711）可以写成wdxdywFywFyxwFxwFywFxwFJyyxyxxyx][2222225wdswFywFywFwFxwFxwFcyyxyyxxxyxcos21sin21cnyyxyxxdswwFwFwF22coscossinsin泛函取极值时，应满足0J，得奥氏方程022222yyxyxxyxwFywFyxwFxwFywFxwF1712）以及边界条件：当w已知时，则0w，否则可导出边界条件0cos21sin21yyxyyxxxyxwFywFywFwFxwFxwF1713a）当nw已知时，则0nw，否则可导出边界条件0coscossinsin22yyxyxxwFwFwF1713b）3、dxdydzdtwwwwwtzyxFJtzyttVx),,,,,,,,(21J取极值的必要条件为0J，得奥氏方程：0)()()()(tzyxwFtwFzwFywFxwF1714）其边界条件为：若tzyxw,,,在V的边界上已知，即在边界上不论在21,tt内哪个时间，0w；若tzyxw,,,的起始、终止条件，1,,,tzyxw和2,,,tzyxw已知，即在1t,，2t时，V的任意点有0w。这类问题应用很广，现举若干实例。［例1］求泛函dxdydzzwywxwJV])()()[(222取极值时zyxw,,应满足的微分方程。解：由0J，可得0)()()(222zwywxw即02w26是w的三维拉普拉斯方程。三维稳定温度场的热传导微分方程为02T属于这种类型。［例2］求泛函wdxdyyxqdxdyyxwywxwwDJ),(]})()[1(2){(222222222取极值时yxw,应满足的微分方程。解：由0J，可得Dyxqywyxwxw),(24422444或Dyxqw),(22或Dyxqw),(4上式为板横向弯曲时的平衡微分方程。式中：D—板的抗弯刚度，—泊桑比，yxq,—横向分布载荷。［例3］梁的振动问题解：梁弯曲振动时，梁的弹性变形能即势能为梁U；而梁的动能为梁T，梁U和梁T分别为dxxwEIUl202221梁；ldxtwT0221梁其中为梁单位长度的质量，txw,为梁的弯曲位移。则有dxdtxwEItwdtUTVttltt21210222221梁梁根据哈密尔顿原理0V，则可得梁的振动方程0222222twxwEIx当EI为常数时，EI可从上式括号中移出。当端点条件w、xw和起始终结条件w未知时，还可推出相应的自然边界条件：1）0tw，当1tt、2tt）2）022xw，当0x、lx）273）022xwEIx，当0x、lx）其中1）相当于梁的起始终结速度为零；2）相当于梁的端点弯矩为零；3）相当于梁的端点剪力为零。而条件2）和3）加在一起，相当于自由端的条件。［例4］薄板弯曲振动问题解：设薄板的抗弯刚度为D、挠度为yxw,、泊松比为v。板的弯曲应变能等于dxdyywxwyxwvywxwDU222222222221221板的动能等于dxdytwyxT2,21根据哈密尔顿原理，泛函为2122222222222212,21ttdxdydtywxwyxwvDywxwDtwyxV由其一阶变分为零，并且如果在边界上w、xw已知，起始和终结条件也已知，则可得板的振动方程0224twwD如果在边界上w、xw未知，则可得相应的边界条件。18含约束条件的泛函变分问题在泛函的变分问题中，容许函数有时还会受到各种约束条件的限制，例如1）函数的边界条件或端点条件、2）积分域内函数的约束条件等，这就是所谓的含约束条件的泛函变分问题。这些变分约束条件都可以用拉式乘子法把它们吸收进泛函中去，从而建立新的、不再有约束的变分泛函，人们把这些解除了约束条件的泛函的变分问题称为广义变分问题。一、把泛函dxyyxFVba),,(181）在端点条件ax时，ay；bx时，by182）约束下的变分问题，用待定拉式乘子法变为无条件的广义变分问题的泛函。解：用拉式乘子1、2把两个端点条件引入泛函V，建立新的广义变分泛函V28])([])([),,(21byaydxyyxFVba183）现在来识别1和2。由泛函变分的极值条件0V，得0)()(])([])([|)(2111byaybyayyFydxFdxdFbayybay或0])([])([)(])([)(])([)(2112byayayaFbybFydxFdxdFyyybay由于21,,y(a),y(b),y都是代表独立的变分，所以要0V，必须b)x(a0FdxdFyy184a）(a)Fy1184b）(b)Fy2184c）y(a)184d）y(b)184e）式184b）、184c）给出了待定的拉式乘子，式184a）是原泛函的欧拉方程，式184d）、184e）是原泛函的边界条件。把1，2代入式183），可得解除了约束条件的广义变分泛函])()[(])()[(),,(bybFayaFdxyyxFVybay185）如果对上式变分求极值，很易证明，它的极值条件可得原泛函的欧拉方程184a）和有关端点条件184d）、184e）。［例］最速降线问题：泛函是dxgyyVba212端点条件为0x时，00y；ax时，bay试求广义变分泛函。解：用拉式乘子构造新的泛函])([]0)0([21bayyVV求拉式乘子1、2：22021)0(1)0(2)0(|12)0(ygyyygyyFxy29222)(1)(2)()(ayagyayaFy将识别后的拉式乘子1、2代新泛函，得广义变分泛函为])([)(1)(2)()0(1)0(2)0(21222bayayagyayyygyydxgyyVab二、变分约束条件为另一函数时的泛函极值问题短程线问题是其中一个典型的例子：求已知曲线0),,(zyx上所给两点111,,zyxA、222,,zyxB间长度最短的曲线。这一变分问题称为短程线问题，它可归纳为在端点条件：1xx时，11yxy、11zxz；当2xx时，22yxy、22zxz和已知约束曲面：0),,(zyx的约束下，求使下列泛函2121),,,,()()(122xxxxdxzyzy