数列(题目绝对经典）

【典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列 满足 . （1）求 ； （2）证明： . 解：（1） . （2）证明：由已知 ，故 ， 所以证得 . 例题2. 数列 的前 项和记为 （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求 . 解：（Ⅰ）由 可得 ， 两式相减得： ， 又 ∴ 故 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴ （Ⅱ）设 的公比为 ，由 得，可得 ，可得 故可设 ，又 ， 由题意可得 ，解得 ∵等差数列 的各项为正，∴ ∴ ∴ 例题3. 已知数列 的前三项与数列 的前三项对应相同，且 对任意的 都成立，数列 是等差数列. ⑴求数列 与 的通项公式； ⑵是否存在 ，使得 ，请说明理由. 点拨：（1） 左边相当于是数列 前n项和的形式，可以联想到已知 求 的方法，当 时， . （2）把 看作一个函数，利用函数的 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 方法来研究 的取值情况. 解：（1）已知 … ）① 时， … ）② ①－②得， ，求得 ， 在①中令 ，可得得 ， 所以 N*）. 由题意 ， ， ，所以 ， ， ∴数列 的公差为 ， ∴ ， ）. （2） ， 当 时， 单调递增，且 ， 所以 时， ， 又 ， 所以，不存在 ，使得 . 例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵ an、bn为正数， 由②得 ， 代入①并同除以 得： ， ∴ 为等差数列 ∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ∴ ， ∴当n≥2时， ， 又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴ 2. 研究前n项和的性质 例题5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 . （1）求 、 的值及数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 解：（1） 时， .而 为等比数列，得 ， 又 ，得 ，从而 .又 . （2） ， ） ，得 ， . 例题6. 数列 是首项为1000，公比为 的等比数列，数列 满足 ， （1）求数列 的前 项和的最大值；（2）求数列 的前 项和 . 解：（1）由题意： ，∴ ，∴数列 是首项为3，公差为 的等差数列， ∴ ，∴ 由 ，得 ，∴数列 的前 项和的最大值为 . （2）由（1）当 时， ，当 时， ， ∴当 时， 当 时， ∴ . 例题7. 已知递增的等比数列{ }满足 ，且 是 ， 的等差中项. （1）求{ }的通项公式 ；（2）若 ， 求使 成立的 的最小值. 解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q= （舍） ∴an=2·2（n－1）=2n （2） ∵ ，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n） ∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2， 若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5. 例题8. 已知数列 的前n项和为Sn，且 成等差数列， . 函数 . （I）求数列 的通项公式； （II）设数列 满足 ，记数列 的前n项和为Tn，试比较 的大小. 解：（I） 成等差数列， ① 当 时， ②. ①－②得： ， ， 当n=1时，由①得 ， 又 是以1为首项3为公比的等比数列， （II）∵ ， ， ， 比较 的大小，只需比较 与312 的大小即可. ∵ ∴当 时， 当 时， 当 时， . 3. 研究生成数列的性质 例题9. （I） 已知数列 ，其中 ，且数列 为等比数列，求常数 ； （II） 设 、 是公比不相等的两个等比数列， ，证明数列 不是等比数列. 解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 将cn=2n＋3n代入上式，得 [2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2 =[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]， 即[（2－p）2n+（3－p）3n]2 =[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]， 整理得 （2－p）（3－p）·2n·3n=0， 解得p=2或p=3. （Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证 ≠c1·c3. 事实上， =（a1p＋b1q）2= p2＋ q2＋2a1b1pq， c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋ q2＋a1b1（p2＋q2）. 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零， 因此 c1·c3，故{cn}不是等比数列. 例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等 已知a24=1， 求S=a11 + a22 + a33 + … + ann 解： 设数列{ }的公差为d， 数列{ }（i=1，2，3，…，n）的公比为q 则 = a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk－1 依题意得： ，解得：a11 = d = q = ± 又n2个数都是正数， ∴a11 = d = q = ， ∴akk = ， ， 两式相减得： 例题11. 已知函数 的图象经过点 和 ，记 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，若 ，求 的最小值； （3）求使不等式 对一切 均成立的最大实数 . 解：（1）由题意得 ，解得 ， （2）由（1）得 ， ① ② ①－②得 . ， 设 ，则由 得 随 的增大而减小 时， 又 恒成立， （3）由题意得 恒成立 记 ，则 是随 的增大而增大 的最小值为 ， ，即 . （二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列. 例题12. 数列 中， 且满足 ， . ⑴求数列 的通项公式； ⑵设 ，求 ； ⑶设 = ，是否存在最大的整数 ，使得对任意 ，均有 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意， ， 为等差数列，设公差为 ， 由题意得 ， . （2）若 ， 时， 故 （3） ， 若 对任意 成立，即 对任意 成立， 的最小值是 ， 的最大整数值是7. 即存在最大整数 使对任意 ，均有 例题13. 已知等比数列 与数列 满足 N*. （1）判断 是何种数列，并给出证明； （2）若 . 解：（1）设 的公比为q，∵ ，∴ 。 所以 是以 为公差的等差数列. （2）∵ 所以由等差数列性质可得 … 2. 由简单递推关系证明等差等比数列 例题14. 已知数列 和 满足： ， ， ， （ ）， 且 是以 为公比的等比数列. （I）证明： ； （II）若 ，证明：数列 是等比数列； （III）求和： . 解法1：（I）证：由 ，有 ， . （II）证：∵ ， ， ， . 是首项为5，公比为 的等比数列. （III）解：由（II）得 ， ，于是 . 当 时， . 当 时， . 故 解法2：（I）同解法1（I）. （II）证： ，又 ， 是首项为5，公比为 的等比数列. （III）由解法1中（II）的类似方法得 ， ， ， . ∴ . 例题15. 设数列 （1）证明：数列 是等比数列； （2）设数列 的公比 ，数列 满足 ，bn=f （bn－1）（n∈N*，n≥2），求数列 的通项公式； （3）设 ， ，求数列 的前n项和Ｔn. （1）证明：由 相减得： ∴数列 是等比数列 （2）解： 是首项为 ，公差为1的等差数列，∴ . . （3）解： 时 ① ② ①－②得： ∴ 所以： . 例题16. 的各个顶点分别为 ，设 为线段 的中点， 为线段OC的中点， 为线段 的中点. 对每一个正整数 为线段 的中点. 令 的坐标为 ， . （1）求 及 ； （2）证明： （3）记 ，证明： 是等比数列. （1）解：因为y1=y2=y4=1， y3= ，y5= ，所以 得a1=a2=a3=2. 又由 ，对任意的正整数n有 an+1= = = =an 恒成立，且a1=2， 所以{an}为常数数列， an=2，（n为正整数） （2）证明：根据 ， 及 =an=2， 易证得yn+4=1－ （3）证明：因为bn+1= =（1－ ）－（1－ ）= ， 又由b1= =1－ y4= ， 所以{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列. 【模拟 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 】 一、填空题 1. 在等差数列｛a ｝中，已知a =2，a +a =13，则a +a +a 等于= . 2. 已知数列的通项 ，则其前 项和 . 3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差 的取值范围是 . 4. 在等比数列 中， 和 是二次方程 的两个根，则 的值为 . 5. 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= . 6. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________ 7. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为A 和 ，且 ， = ，若 为正整数，n的取值个数为___________。 8. 已知数列 对于任意 ，有 ，若 ，则 . 9. 记数列 所有项的和为 ，第二项及以后各项的和为 ，第三项及以后各项的和为 ，第 项及以后各项的和为 ，若 ， ， ， ，则 等于 . 10. 等差数列 共有 项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_____. 11. 等差数列 中， ，若 且 ， ，则 的值为 . 12. 设 为等差数列 的前 项和. 已知 ，则 等于 . 13. 已知函数 定义在正整数集上，且对于任意的正整数 ，都有 ，且 ，则 __ __. 14. 三个数 成等比数列，且 ，则b的取值范围是 . 15. 等差数列 中，前 项和为 ，首项 . （1）若 ，求 （2） 设 ，求使不等式 的最小正整数 的值. 点拨：在等差数列中 知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项 与公差 ，把 分别用首项 与公差 ， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示即可. 对于求和公式 ， 采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如：已知 判断 的正负. 问题2在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{ }的前 项和为 ， ， . （I）求数列{ }的通项 与前 项和为 ； （II）设 （ ），求证：数列{ }中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 17. 在直角坐标平面上有一点列 ，对一切正整数n，点 位于函数 的图象上，且 的横坐标构成以 为首项， ​为公差的等差数列 . ⑴求点 的坐标； ⑵设抛物线列 中的每一条的对称轴都垂直于 轴，第 条抛物线 的顶点为 ，且过点 ，设与抛物线 相切于 的直线的斜率为 ，求： . ⑶设 ，等差数列{ }的任一项 ，其中 是 中的最大数， ，求{ }的通项公式. 18. 已知数列 满足 ， （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 （n∈N*），证明： 是等差数列. 【试题答案】 1. 42 2. 3. 4. 5. 10 6. 210 7. 8.5；5个 解法一：点拨 利用等差数列的求和公式 及等差数列的性质 “若 ，则 ” 解析： = 解法2： 点拨 利用“若{ }为等差数列，那么 ”这个结论，根据条件 找出 和 的通项. 解析：可设 ， ，则 ， ，则 = 由上面的解法2可知 = ，显然只需使 为正整数即可， 故 ，共5个. 点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思 小班合家欢主题反思小班合家欢主题审议反思小班合家欢反思恩怨历尽后的反思下载恩怨历尽后的反思下载 ：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1. 8. 4 9. 解： . 10. 解：依题意，中间项为 ，于是有 解得 . 11. 解：由题设得 ，而 ， ，又 ， ， . 12. 解： ， ， . ∴ 。 13. 解：由 知函数 当 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列， 形成一个首项为2，公差为4的等差数列， . 14. 解：设 ，则有 . 当 时， ，而 ， ； 当 时， ，即 ，而 ， ，则 ， 故 . 15. 解：（1）由 ，得： ， 又由 . 即 ，得到 . （2）由 若 ≤5，则 ≤ ，不合题意 故 >5， 即 ，所以 ≥15，使不等式成立的最小正整数 的值为15 16. 解答：（I）由已知得 ， ， 故 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . 假设数列 中存在三项 （ 互不相等）成等比数列，则 . 即 . ， . 与 矛盾. 17. 解：（1） （2） 的对称轴垂直于 轴，且顶点为 . 设 的方程为： 把 代入上式，得 ， 的方程为： . ， = . （3） ， T 中最大数 . 设 公差为 ，则 ，由此得 18. （1）解： 是以 为首项，2为公比的等比数列. 即 . （2）证： ① ② ②－①，得 即 ③ ④ ③－④，得 即 是等差数列.