空间距离的求法

空间距离的求法 空间距离的求法 一、直接法 根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解。 例1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF//CD，AM=EF，且AD=1，PA=2，求异面直线AB与PC之间的距离。 解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD 又∵CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD，故侧面PCD⊥侧面PAD 又∵AE⊥PD，PD=侧面PCD∩侧面PAD ∴AE⊥侧面PCD，∴AE⊥PC 又∵EF∥CD∥AB，且AM=EF ∴AMFE为平行四边形，故MF∥AE，∴MF⊥PC 又AB⊥AD，AB⊥PA，∴AB⊥平面PAD，故AB⊥AE ∴MF⊥AB，即MF为异面直线AB与PC的公垂线 又∵AD=1，PA=2，∴PD= ∴ 故异面直线AB与PC之间的距离是 点评：这里直接找出了公垂线MF，要注意两点：公垂线与两异面直线都相交；公垂线与两异面直线都垂直。 例2．已知平面 和平面 交于直线 ，P是空间一点，PA⊥ ，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在 内的射影与点B在 内的射影重合，则点P到 的距离为____________. 解：若A在平面 上的射影为C 则AC⊥ ，PB⊥ ，AC∥PB 同理，若B在平面 上的射影也为C 则PA⊥ ，BC⊥ ，PA∥BC ∴四边形APBC是一个平行四边形 又∵AC⊥ ，BC ，∴AC⊥BC 故∠ACB是 二面角的平面角，∴ ∴四边形PACB是一个矩形，故可正确地作出图形（如图） ∵ ⊥平面ACBP， ⊥PC ∴PC即为所求P到 的距离，PC是边长为1，2的矩形的对角线， ∴PC ，故填 点评：求点到直线的距离，就是直接从该点向直线作垂线，如果垂足的位置不易确定，有时也可借助三垂线定理来作。 例3．如图，在棱长为4的正方体 中，点P在棱CC1上，且 ，求点P到平面 的距离。 解：连结 ， 在平面 中，过点P作 于点Q， ∵AB⊥平面 ，PQ 平面 ， ∴PQ⊥AB，PQ⊥平面 ∴PQ即为点P到平面 的距离 在Rt△ 中，∠ ，∠ ， ∴ ，∴点P到平面 的距离为 点评：在直接作点到平面的距离时，要注意确定垂足的位置，以便于计算，本题中将平面 延伸至 是解题的关键。 例4．如图，A、B两点间在北纬45°圈上，点A在东经120°，点B在西经150°，设地球的半径为R，求A、B两地之间的球面距离。 解：∵A、B同在北纬45°圈上， ∴纬度圈的半径 ， 又点A在东经120°，点B在西经150° ∴A、B两地的经度差为90° 设 为纬度圈的圆心，则 故在△ 中，可得AB = R ∴在△AOB中，AO = BO = AB = R，∴ ∴A、B两地之间的球面距离为 点评：求在同一纬度圈上的两点间的球面三角形面距离的一般步骤是：①由纬度大小求出纬度圈的半径； ②结合经度求得两地的边线线段长； ③再结合球的半径求出球心角的大小；④用球心解的弧度数乘以地球的半径即得两地间的球面距离。 二、转化法 如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解。 例5．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为 ，且∠A1AD = ∠A1AB = 60°，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是_________. 解：连结A1C1、AC，设A1C1与B1D1交于点E1，AC与BD交于点E，连结E1E， 连结A1C，交EE1于O点，连结A1E， ∵∠A1AD = ∠A1AB = 60°，AB = A1A = AD = ∴A1B = A1D = A1B1 = A1D1 = 又∵四边形ABCD为正方形，∴BE = 又A1A在平面ABCD的射影在∠BAD平分线即对角线AC上， ∴BD⊥平面A1ACC1，∴BE⊥A1E， ∴Rt△A1EB中，A1E A1E1 ∴△A1EE1为等腰三角形，∴A1O⊥EE1 又A1A∥平面BB1D1D， 故A1A与平面BB1D1D的距离即为点A1到该平面的距离 正方形A1B1C1D1中，A1C1 ， ∴A1E1 在Rt△A1E1O中，OE1 ∴A1O ∴A1A与平面BB1D1D的距离为 。 点评：本题将直线与平面的距离转化为点面距离来求，这是常用方法。 例6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB = 90°，AC=1，AA1 ，连结A1B、A1C，求点B1到平面A1BC的距离。 解：∵B1C1∥BC，BC 平面A1BC，B1C1 平面A1BC， ∴B1C1∥平面A1BC ∴点B1到平面A1BC的距离就是点C1到平面A1​BC的距离， 又BC⊥C1C，BC⊥AC，C1C AC = C，∴BC⊥平面ACC1A1， 而BC 平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1A1， 过点C1作C1F⊥A1C于F，则C1F⊥平面A1BC， 又∵∠A1C1C = 90°，∴A​1C 在Rt△A1C1C中，A1C•C1F = A1C1•C1C，∴C1F ， 故点B1到平面A1BC的距离为 。 点评：本题将点B1到平面A1BC的距离 线B1C1到平面A1BC的距离 点C1到平面A1BC的距离 点C1到线A1C的距离。 例7．如图，CD、AB是两条异面直线，它们夹在两平行平面α和β间的部分AB、CD在平面β内的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差的绝对值是45°，求AC与BD之间的距离。 解：∵AC 平面α，BD 平面β，平面α∥平面β， ∴平面α与平面β的距离为异面直线AC与BD间的距离， 设此距离为 cm，则AA′= CC′= cm，过D点作DEAB交平面α于E， 则四边形ABDE是平行四边形， 令∠CDC′=θ1，∠ABA′=θ2，则 ， ∴ ，∴ ， 即 ，亦即 整理得 ，解得 ， 故异面直线AC与BD之间的距离是4cm或6cm。 点评：本题目是将两条异面直线的距离转化为异面直线所在的两个平行平面的距离来解决的。 三、体积法 对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三棱锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的。 例8．如图，在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形， 平面SAC⊥平面ABC，SA = SC = ，M、N分别为AB、SB的中点， （1）证明：AC⊥SB； （2）求二面角N—CM—B的大小； （3）求点B到平面CMN的距离。 （1）证明：取AC中点D，连结SD、DB， ∵SA = SC，AB = BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD， ∴AC⊥平面SDB， 又SB 平面SDB，∴AC⊥SB （2）解：∴AC⊥平面SDB，AC 平面ABC， ∴平面SDB⊥平面ABC 过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC； 过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM， ∴∠NFE为二面角的N—CM—B平面角， ∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC， 又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD ∵SN = NB， ∴NE ，且ED = EB 在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF ， 在Rt△NEF中， ∴二面角N—CM—B的大小是 （3）解：在Rt△NEF中，NF ∴S△CMN ， S△CMB 设点B到平面CMN的距离为 ∵VB—CMN = VN—CMB，NE⊥平面CMB ∴ ∴ ，即点B到平面CMN的距离为 。 点评：第3问中利用三棱锥B—CMN的体积不变，求出点B到平面CMN的距离，避免了从B点向平面CMN作垂线，垂足不易确定的问题，解法摆脱常规思维，大大简化了解题过程。 例9．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. D. 解：∵AB、AC、CB的球面距离均为 ， ∴∠AOB = ∠AOC = ∠COB = ∵球半径为1，∴AO = BO = CO = 1，AB = AC = BC = ∴VO—ABC = VA—OBC 又VO—ABC ，∴ ，故 ∴球心O到截面ABC的距离为 ，故选B。 点评：正确理解球面距离是解答本题目的关键。 例10．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB ，BB1 ，BC ，求异面直线AB与A1C之间的距离。 解：∵AB∥A1B1，∴AB∥平面A1B1C， ∴AB与平面A1B1C之间的距离即为异面直线AB与A1C之间的距离， 设AB上一点B到平面A1B1C的距离为 ， 利用等体积关系，有 ， 即 ， 解得 故AB与A1C之间的距离为 。 点评：本题直接作两条异面直线的距离有困难，首先进行转化，将两异面直线的距离转化为点到平面的距离，然后再利用等体积法求得。 四、向量法 在立体几何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法来求就会很方便。 例11．如图，已知正方形ABCD的边长是4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC = 2，求点B到平面EFG的距离。 分析：由题设可知CG、CB、CD两两垂直，由此可以建立空间直角坐标系，用向量法求解，即求出过点B垂直于平面EFG的向量，它的模长即为点B到平面EFG的距离。 解：如图，以C为原点，CB、CD、CG所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ， 则有 , , , , , , ， ， ， 设向量 ⊥平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面， 故存在实数 使 即 由 ⊥平面GEF，得 ， ∴ 即 整理得 ，解之得 ， ∴ ， ， ∴点B到平面GEF的距离为 。 点评：用向量法求点到平面的距离，避免了作垂线段时垂足不易确定的问题，只需利用垂足点与平面内的其他三点共面及垂线段所代表的向量与其他两共点向量垂直即可求得垂线段的坐标表达式。 例12．如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的边长为4，M、N、E、F分别是A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点， （1）求证：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离. （1）证明：依题意建立如图坐标系，则 ， ， ， ， , ， , 即MN之中点G及EF之中点K，BD之中点Q， 则 ， ， ∴ ∴ 故MN∥EF，AG∥QK， 又EF 平面EFBD，QK 平面EFBD ∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD， ∴平面AMN∥平面EFBD （2）解：设n ,又 ， ∴n ① n ② 联立①②解得， ，∴ ， 故两平面之间的距离 点评：本题充分体现了利用空间向量解决立体几何问题的快捷性，灵活性和实用性，因此，在学习中应强化运用向量方法解决问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性。 五、极值法 立体几何中的各种距离所共同具备的性质是最小性，若能建立所求的两个对象上任一点之间距离的目标函数，则该函数的最小值即为所求的这两对象之间的距离。 例13．棱长为 的正方体AC1中，求异面直线BD与B1C之间的距离。 解：如图，在B1C上任取一点M，作MH⊥BC于H， 再过H作HN⊥BD于N，连结MN， ∵平面BC1⊥平面AC，∴MH⊥平面AC， ∴MH⊥HN， 设MC ，则MH ，HC ， ∴BH ，∴HN 在△MHN中，∵∠MHN = 90°， ∴ ， ∴当且仅当 时， ，即 ， ∴BD与B1C之间的距离为 . 点评：极值法多适用于两异面直线之间的距离，其背景是易于由其中一条直线上的任意一点向另一条直线作垂线，而且该垂线段的长度能够表示成某一变量的函数。