第2讲　直接证明与间接证明

第2讲　直接证明与间接证明 【2013年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 会这样考】 1．在历年的高考中，证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是常考 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题． 2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法． 【复习指导】 在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．　　 基础梳理 1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：→→→…→ (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)． (2)分析法 ①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法． ②框图表示：→→→…→ . 2．间接证明 一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t. t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法． 一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用． 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的． (2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)． A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不确定 解析　q＝ ≥ ＝＋＝p，当且仅当＝时取等号． 答案　B 2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　)． A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b 解析　a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1. ∴a＞b. 答案　A 3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)． A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 解析　∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确． 答案　D 4．(2012·广州调研)设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是(　　)． A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0 C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0 解析　∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0. 答案　D 5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确． 例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类． 答案　∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP　　 考向一　综合法的应用 【例1】►设a，b，c＞0，证明：＋＋≥a＋b＋c. [审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式． 证明　∵a，b，c＞0，根据均值不等式， 有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． 当且仅当a＝b＝c时取等号． 即＋＋≥a＋b＋c. 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 【训练1】 设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：＋＞4. 证明　＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4. 又a与b不相等．故＋＞4. 考向二　分析法的应用 【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤. [审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式． 证明　∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要证原不等式成立， 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立， 故原不等式得证． 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． 【训练2】 已知a，b，m都是正数，且a＜b. 求证：＞. 证明　要证明＞，由于a，b，m都是正数， 只需证a(b＋m)＜b(a＋m)， 只需证am＜bm， 由于m＞0，所以，只需证a＜b. 已知a＜b，所以原不等式成立． (说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法) 考向三　反证法的应用 【例3】►已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)用反证法证明f(x)＝0没有负根． [审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可． 证明　(1)法一　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0. 所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以－＝＝＞0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0， 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 法二　f′(x)＝axln a＋＞0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－，又0＜ax0＜1，所以0＜－＜1，即＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根． 当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器． 【训练3】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行． 证明　假设向量a＋b与a－b平行， 即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立， 则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行， ∴得 所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．　　 规范解答24——怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行. 【解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定. 【示例】►(本题满分12分)(2011·安徽)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0. (1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上． 第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证． [解答示范] 证明　(1)假设l1与l2不相交， 则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，(2分) 代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.(4分) 这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(6分) (2)由方程组 解得交点P的坐标(x，y)为(9分) 从而2x2＋y2＝22＋2 ＝＝＝1， 此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．(12分) 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理， 即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的． 【试一试】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． [尝试解答]　(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an， 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝. (2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)， 则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.① 又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*. 所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．