绝密 ★ 启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的
表
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面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则集合 ＝（ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C．1 D．2 3．圆 与直线 没有公共点的充要条件是（ ） A． B． C． D． 4．复数 的虚部是（ ） A． B． C． D． 5．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．设P为曲线C： 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 ，则点P横坐标的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 8．将函数 的图象按向量 平移得到函数 的图象，则（ ） A． B． C． D． 9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排
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共有（ ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 10．已知点P是抛物线 上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线（ ） A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 12．设 是连续的偶函数，且当x>0时 是单调函数，则满足 的所有x之和为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数 的反函数是__________． 14．在体积为 的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC= ，A，C两点的球面距离为 ，则球心到平面ABC的距离为_________． 15．已知 的展开式中没有常数项， ，且2≤n≤8，则n=______． 16．已知 ，且 在区间 有最小值，无最大值，则 ＝__________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ． （Ⅰ）若 的面积等于 ，求 ； （Ⅱ）若 ，求 的面积． 18．（本小题满分12分） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 （Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； （Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体 中，AP=BQ=b（0
0时，恒有| |>| |． 21．（本小题满分12分） 在数列 ， 中，a1=2，b1=4，且 成等差数列， 成等比数列（ ） （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测 ， 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明： ． 22．（本小题满分14分） 设函数 ． （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式 的解集为（0，+ ）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考
答案
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和评分参考 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分
标准
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制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， ， 又因为 的面积等于 ，所以 ，得 ． 4分 联立方程组 解得 ， ． 6分 （Ⅱ）由题意得 ， 即 ， 8分 当 时， ， ， ， ， 当 时，得 ，由正弦定理得 ， 联立方程组 解得 ， ． 所以 的面积 ． 12分 18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 3分 （Ⅱ） 的可能值为8，10，12，14，16，且 P（ =8）=0.22=0.04， P（ =10）=2×0.2×0.5=0.2， P（ =12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P（ =14）=2×0.5×0.3=0.3， P（ =16）=0.32=0.09． 的分布列为 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 9分 =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 12分 19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分． 解法一： （Ⅰ）证明：在正方体中， ， ，又由已知可得 ， ， ， 所以 ， ， 所以 平面 ． 所以平面 和平面 互相垂直． 4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是 ，是定值． 8分 （III）解：连结BC′交EQ于点M． 因为 ， ， 所以平面 和平面PQGH互相平行，因此 与平面PQGH所成角与 与平面 所成角相等． 与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面 ，因此EM与 的比值就是所求的正弦值． 设 交PF于点N，连结EN，由 知 ． 因为 ⊥平面PQEF，又已知 与平面PQEF成 角， 所以 ，即 ， 解得 ，可知E为BC中点． 所以EM= ，又 ， 故 与平面PQGH所成角的正弦值为 ． 12分 解法二： 以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得 ，故 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得 ， ， ． 因为 ，所以 是平面PQEF的法向量． 因为 ，所以 是平面PQGH的法向量． 因为 ，所以 ， 所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分 （Ⅱ）证明：因为 ，所以 ，又 ，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形． 在所建立的坐标系中可求得 ， ， 所以 ，又 ， 所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为 ，是定值． 8分 （Ⅲ）解：由已知得 与 成 角，又 可得 ， 即 ，解得 ． 所以 ，又 ，所以 与平面PQGH所成角的正弦值为 ． 12分 20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解： （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ， 故曲线C的方程为 ． 3分 （Ⅱ）设 ，其坐标满足 消去y并整理得 ， 故 ． 5分 若 ，即 ． 而 ， 于是 ， 化简得 ，所以 ． 8分 （Ⅲ） ． 因为A在第一象限，故 ．由 知 ，从而 ．又 ， 故 ， 即在题设条件下，恒有 ． 12分 21．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、
总结
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、推理、论证等能力．满分12分． 解： （Ⅰ）由条件得 由此可得 ． 2分 猜测 ． 4分 用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即 ， 那么当n=k+1时， ． 所以当n=k+1时，结论也成立． 由①②，可知 对一切正整数都成立． 7分 （Ⅱ） ． n≥2时，由（Ⅰ）知 ． 9分 故 综上，原不等式成立． 12分 22．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ） ． 2分 故当 时， ， 时， ． 所以 在 单调递增，在 单调递减． 4分 由此知 在 的极大值为 ，没有极小值． 6分 （Ⅱ）（ⅰ）当 时， 由于 ， 故关于 的不等式 的解集为 ． 10分 （ⅱ）当 时，由 知 ，其中 为正整数，且有 ． 12分 又 时， ． 且 ． 取整数 满足 ， ，且 ， 则 ， 即当 时，关于 的不等式 的解集不是 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的取值范围为 ． 14分
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