口段明达
(温岭市蔡洋中学，浙江温岭317502)
不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数
学中具有举足轻重的地位．不等式的证明可分为推理性问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
或探索性问题．推理性问题即是指在特定条件下，阐述
论证过程，揭示内在规律，基本
方法
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有比较法、分析法、综
合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采
用观察一归纳一猜想—证明的思路，以数学归纳法完成
证明．本文主要介绍不等式证明中的另外三种方法：换元
法、构造法、放缩法．
一、换元法
换元法在数学解题中有着广泛的应用，可以起到化
难为易，化繁为简的作用．在不等式证明中，有些问题直接
证明较为困难，但如果通过换元的思想与方法去解决就
方便多了．
1．增量换元法
一般的，对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和
给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，常用增量法进行
换元，换元的目的是通过换元达到减元的目的，使问题化
难为易，化繁为简．
例1 已知x>y>o，求证：、／了一、／丁<、／；可．．
证明由x>y>O，可令X可4-t(t>O)．
因为)，+K汁t+2N／页-=(、／歹+、／丁)2，
所以师<、／丁+、／丁，
故、／了一、／丁
O，，>0，卅2尸1求证：}+}≥3+2、／丁．
证明 令好---．．．．COS201，2y------sin2a，a∈(0，-15‘-)，则
}+厂1=面1虿+i而1
=l+蜘+2+2c罐洳=3+蜘+2c@
55
一>3+2X／t92。2ct92cE=8+2、／2．
(当且仅当a铆c唔秒丁时，聋2i专虿，2y。
j鹆：，取“：，号)
1+、／2
3．比值换元法
对于那些在已知条件中含有若干个等比式的问题，
往往总先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求
证式，即可方便地求证．
例3已知俨1=避L=兰手，求证：髫。+烨2≥4鲁．
证明x---l=Y老-1一=兰手岛，
于是威+1，芦．|}一1，z=3k+2．
把以上各式代人x2+y2+z2得
戈2+，+。z-=(k+1)2+(2尼一1．)2+(3％+2)2
=14(k+鲁)2+4鲁≥4鲁．
二、构造法
构造法是通过构造一定的数学模型来完成解题的一
种方法．倘若充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题
与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，并恰当地
构造数学模型，就可得到富有新意的独特解法．利用构造
法解题，不仅构思精巧，形式优美，过程简单，而且极富思
维的灵活性和创造性．
1．构造对偶式模型
在证明分式不等式时，若在原分式P上配上恰当的
对偶式Q，就会产生简捷明快的证法．
例4求证：虿1。了3⋯蛩<了未亍．
证明设A=}·丁3⋯桀，胆}·争⋯豪哥，
由于丁1气丁2，丁3气丁4，⋯，号}<素苷，
因此A妇，从而A2a‘胎杀丁酬<专嘉亍．
故原不等式成立．
2007／6上．厂再雨丽
万方数据
2．构造函数模型
函数是贯穿中学数学的一条主线．一些本身无明显函
数关系的问题，通过类比、联想、转化，合理构造函数模
型，从而使问题得以巧妙解决．譬如，构造一个函数，使原
不等式的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两
个值，就可以利用函数的单调性证明不等式．或构造一个
函数，再利用函数的奇偶性证明不等式．
例5证明不等式i≥<争(茗≠o)·
证明设以石)。i≥一生2(石≠o)，
则人1净青+争=昔+争=吉一争=以菇)
故“菇)为偶函数．
当x>O时，2≯l，即1—岔12xycosoE+2yzcosfl+2zxcosT．
三、放缩法
在证明不等式时，常把菜些项或因式换以较大或较
小的数，这种方法叫做放缩法．即在证明过程中，有时把不
等式一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明．
利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和
技巧，又需熟悉不等式的性质和其他证法，做到放大或缩
小恰到好处，才有利于问题的解决．
1．去掉式子中的某些项
为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数
!塑塑占
教学月刊‘中学版
．
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坝，便／卜寺式的一边放大或珂酉小，利用小等式的传递性达
到证题的目的．
例7毛芏AABC，求证：sill参sill争siIl争≤}．
证明在AABC中，设厶4，[B，／C的对边分别为
a，b，c．因为
s。‘．2Ar=气堕z1(1一％≯)=争[掣】≤岳，
而sill丁A>o，所以siIl争≤i活．
同理s洫争≤嘉面手≤者．
所以s访争s洫争sh争≤i沥孑≤芍浠=}．
2．应用常用不等式
aa+b2>．2ab，丁a+b≥何(Ⅱ，6>o)，．j}<诉丽Q+1
等基本不等式和常用不等式是放缩的重要依据．下例则是
运用根式有理化后的放缩，探索n项相加问题的递推式，
然后逐项相消．
例8 求证：2(、‘再丁一1)<1+—{：+—{：+⋯+
、／2 、／3
士<2、／了．
X／n
证明因为
丽1>砺靠=俪一订，
所以扣去+古+．．．+嘉，>
(订一1)+(订一订)+⋯+(～石了_r一订)
=、／丽丁一1．
所以l+—{：+—{一+⋯+—{一>2(x／-再Y一1)．
x／2 x／3 、／n
又因为：七=<—j；兰下=、／i一、／元二r，
2、／n 、／n—l+、／n
所以扣古+去一击，<
1+(订一1)+(订一订)+⋯+(诟一～丽)
=、／了．
所以1+—弓：了+—弓；二．+⋯+上<2订．
、／2 、／3 x／n
3．适当放大或缩小某些项
在n项求和不等式的证明中，运用放缩法要注意放
缩得当．例如下面这题．把各项放大．化成厅个相同整数乘
万方数据
口朱美群王立德
(缙云县第二中学，浙江缙云321400；缙云县仙都中学，浙江缙云321400)
随着数学新课程
标准
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的实施和课堂教学改革的不断
深化，教育创新意识已深入课堂，深入到数学教学的每一
个环节．数学作业的
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
也要创新，要以批判的眼光继承
与发扬传统数学作业的优点，抛弃其难、繁、偏、旧的弊
端，淡化浓重的人为编造痕迹．以学生发展为目的，设计
形式多样，异彩纷呈，学生乐于接受的数学作业．下面结
合实例对各类型作业的创新设计作一探讨．
一、开放型作业
例1 函数y=2cosx(x∈『o，21T1)和y=2图象围成一
个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积为41T．请给出
另外一组函数，使它们所围成的封闭图形面积也为定值
41T．
例2从定理“长方体一条对角线长的平方等于从一
顶点引出的三条棱的长的平方和”，你可以得到哪些命题
结论?请至少写出四个．
例3理，8，是满足 条件时，si幽+cos2B+
xsinacos／3=A(A为常数)．
启发与点评：开放型作业是近几年兴起的一种作业
形式，主要表现在解题方法的开放，如例l；结论的开放如
例2；题设条件的开放如例3等．开放型作业留给学生足
够的思维空间，有利于学生从不同方面和角度去观察、思
考、分析与解答，有助于开拓学生的视野，训练学生的求
异思维，培养学生的创新意识和创造能力．
二、应用型作业
例4两个农妇同在某集贸市场上卖鸡蛋，她们批发
回来的鸡蛋有两种：一种是直接从农村收购的鸡蛋，不妨
叫土鸡蛋；另一种是从大型养鸡场收购来的鸡蛋，不妨叫
洋鸡蛋，土鸡蛋每2个卖1元，而洋鸡蛋每3个卖1元．一
天，甲农妇有事外出，临时将30个土鸡蛋交给乙农妇代
卖，乙农妇为了省事，将自己的30个洋鸡蛋与土鸡蛋混
合后，按5个鸡蛋2元钱的价格进行出售，卖完后，结果
得24元钱．算账时，乙付给甲15元后，自己只剩9元钱，
她想，我30个洋鸡蛋混入土鸡蛋后，不仅没有占便宜，反
而还差1元钱，这是怎么回事呢?请你帮她找出原因?
启发与点评：数学最生动最鲜活的应用就是联系生
活、生产和自然现象。数学教育重视培养学生数学应用意
识、应用能力，首先就要改变教学内容(包括作业)严重脱
离生活实际的现象，数学作业设计要将生活、生产和自然
现象中的数学问题呈现给学生，让他们分析、思考、发现
规律，掌握知识，再运用数学知识分析解决实际问题，从
积的倒数，再利用等比数列求和．
例9已知n是自然数，证明：
奇+豇1+刍+．．．+者Q．
证明若．i}∈N，有者=南123≤斋122嘉2=寺^!一··⋯后。 ·⋯一2H
i：环
令k=l，2，3，4，⋯，则有
旨=·；玎1=r1-．．·；者<嘉一．可_1；玎2r；⋯；可气妒一‘
各式相加得
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旨+玎1+刍+⋯+者<·+丁1+参+⋯+寺
：罢#宅一刍乜
1一丁
综上所述，本文归纳了证明不等式的几种常用方法，
以提高中学生对不等式的分析能力．教师应该做到一方面
重视不等式教学，另一方面提高不等式的教学质量，让学
生懂得在什么情况下用哪种方法．不仅会做典型题，也要
会做一般题，更会用解不等式的方法解决实际问题，这才
是学数学的真正目的．屠
2007／6上
．—一教学月刊。中学版
万方数据
不等式证明的若干方法
作者： 段明达
作者单位： 温岭市蔡洋中学,浙江温岭,317502
刊名： 教学月刊（中学版）
英文刊名： THE TEACHING OF POLITICS
年，卷(期)： 2007，""(11)
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