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首页 N.Bourbaki Algèbre commutative Chapitre 10

N.Bourbaki Algèbre commutative Chapitre 10.pdf

N.Bourbaki Algèbre commutative …

fanlei2002
2011-02-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《N.Bourbaki Algèbre commutative Chapitre 10pdf》,可适用于高等教育领域

NBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUENBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUEALGÈBRECOMMUTATIVEChapitreRéimpressioninchangéedel’éditionoriginalede©Masson,Paris©NBourbakietSpringerVerlagBerlinHeidelbergISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkTousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationréservéspourtouspaysLaloidumarsinterditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollectiveToutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentementdel’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticlesetsuivantsduCodepénalSpringerestmembreduSpringerScienceBusinessMediaspringercomMaquettedecouverture:WMXDesignGmbH,HeidelbergImprime´surpapiernonacideYLPROFONDEURSoicritAunanneau,JunidéaldcAetMunAnioduleD~FINITIONonappellep,rofortder~deMrelatwrr~eatùJctor,raote(Jhf),or^proî(JM),lubwrir:ilfkrcwedarasNU{hx)de'enserrabledescnliersriLelsqueExl'Z(AJ,M)soiLrrorrr~,,ulTmrsqiie'aririeauAestlocal,orappellesimplementpro~fondeurdeMetonnoteprof*(M)oiiprof(M)laprohncleiirdeMrelativerrientB'idkalrriwxinialrn*(leAonappellcprojmdeurdelann,eal~,lordAlaprofondcilrthArnodiilcASiprof,,(J,M)moiiRExtA(AJ,M)OpourtontSiprof,(J,M)=r<cc,onaExtL(AJ,M)=Opour<retExti(AJ,M)#DRernurques)SupposonsqueleAmoclulcMsoitdetypefinietqii'oilaitM=JNI,c'estMireSupp(W)nV(J)=(II,,no,cordelaprop)Danscccas,pïofA(JM)estégalàcc:enet,icialArin(M)JestalorségalàA(locrit)ctcstcoiittiiliclansl'anniilat,eiirdeExtL(AJM)pourt,outiOriverraciaprès(no,corIdiith)qu'invcrscnicntsiI'idCalJestrlctypefini,profA(JM)=ccimpliqueM=JM)PourqueprofA()soitnul,ilfautctilsuffitqiicHornA(AJ,M)soitnonmil,c'estàdirequeMpossèdeiiilGlérnerltnonnulariimlépar$ilenestenpa,rticiilicrainsilorsqucl'onaAss(IV)nV(J)#$Sil'mrieaiiAestnoethérierietqueleAmoduleMestdetypefini,lesconditionssuivantessontCqiiivalcntcs(IV,$,no,prop):a)prof,(JM)=)pourtoutzET,l'llomothbtiezMn'estpasinjectivec)onaAss(hl)nV(J)#)D'aprèslarcmarqilc,polirqii'ilrianncaulocalAsoitdcproforidcurimllc,ilfautetilsuffitqu'ilexisteunCléincntilonnulxdeAtelqiicni~n:=OSiAn'estpasuncorpsunélément~itelquemAX=n'estpasiiiversible,doncapparticntàin,etparsiiitcsatisfaitàx=OAinsilinanreaulocalréduitdedirneiisionestdeprofoiidciir)Soit,iulefarriillctlcArnotlulcsD'apri,sA,X,p,prop,onaprof(JnML)=infprof(JML)LELEIProfondeur,régularité,dualitéDuriscechapikre,toruslcsarlricuulcsorits,upposL:sço~rrmrututifs,lesulykbressontussociutiws,corrrrr~~t~tiueset,wr~'ifres,etleshorr~orriorpliisrnesd'alykb,~essorllunifhesSiAestun,anmeaulocd,on,notemSOT,idkdm~~,,:~imal,etKAsoncorpsrksidu,elSipestwriiddperr~,ierd',unanrLeauA,orinote~(p)lecorpsrhidueldel'ar~rceaulocalAponl'ider~tijieaucorpsdesfr,uctlonsdel'armeuutritreAp,rioteZlupwtieZU{CO,culdeRudonc,po,urio,u(CtntZ,lesmhtionsai<n,<cmetrt,cm=OC^n,=OC)cc=cc,n,cm=mn=cmm=cmPROPOSITIONSoimtun,an,nea~r,Tun,BdCaldeAetOihl'MiY''OunesuiteexactedeAmodulesPoson,sp'=prof(J:M'),p=prof(JM),pl'prof(JId")Onesalorsdansl'undestroisc(tsswkiiants,quis'ezclurntrnutuelenrmt:Corisi<léronslasuikexact((lesmodillesd'exter~siori~associéeàAJetàlasuiteexactecidessus(A,X,p,th)Excliionslecasï,=p'=pl'fooilexistcalorsdariscettesuiteimpremierniodiilenonnuletlernotliilesiiivimtestgalerrerlrlourmlCeladoiulelestroispossibilitéssiiivantcs:a)LepremicrmodillcnonniestExt:(AJ,W)Onadorsp'p<pl'b)T,epreinierrnodulcnonniilcstExtx(AJ,M)Onaalorsp=p"<p'c)LcpremierrriodiilerioriniilestExt(AJ,M'')Onaalorsp"=<pRe,rrsc~rpf:Supposonsquel'onaitpp'et(nel'ir'jection:hf'tMquiint,ervicnltla,rislasiiiteexilc:t,edelapropapparticnnc,JHonlA(M',M)Onaalorsp"pEneffet,l'liyp»tliseerit,riririequeIa,pplica,tionEx'GtZ(lAI,,,il,)cstepourtoutentieri,(:daexcliitlccasa)corisitlrPcitlessus~'ROPOST'L'IONSoimtAun,an,n,eau,Jun,idBach:A,MTNLArr~odrrleetNunArnouleurr,rrulf:paruoep,cl,issnncedeTOn,alxtA(N,M)=Opo~toutmtieri<prof,(JM)Siqjposorisd'ajordJN=Oetraisonnonsparréciirrcnccsuil'entierZ<profA(TM)L'asscrtioriestbvitleiitepouri<OCorrsidronsNconmeun(A,T)rnotliileetchoisissonsiincsuitecxact,cde(AJ)rriodiilesendéduitimcsiiitcexactedernodulesd'exterisionsLcArriodule~xt~~(CM)estnul~'aprisl'hypotlièsederPciirreixe,etleAnmdiileEX~L((AJ)('),M)estisomorpheàEX~(AJ,M)'(A,X,p,prop),quiestnulpardéfinitiondelaprofoiideiirParsuiteonaExti(N,M)OPassonsailcasgbrirn,etraisoimonsparrécurrcnccsurlcplilspctitcnticr'rr~>OtelqucJ""SONoiisvenons(letraiterIecasm,=Supposonsm,>ctsoiti<profA(JM)unentierConsidéronslasiiiteexact,edéduitedelasuitcexacteOJN,NiN,JNOLesdcuxmodulcscxtrCiricssoi~tnulsd'après'hypothis~dcréciirrer~ce,puisqueNJNet,INsontmnulCsparJT~IOnadoncExti(N,M)=O,ccqu'onmi~laitciéinontreiCOKOLLAIHESoitmunentier>OetsoitJunidCaldeApi,con,tientJ""OnaprofA(JM)<profA(J'M)EneffetJrnannuleleAmodilleAJr,doncExtA(AJr,M)estriulpourtoulentieri<profA(JM)(prop)COROLLAIRESupposonsl'idéalJdetype,fini,etsoitJ'anidc'aldeAtelqueV(J)V(Jr)a)OnaprofA(JM)profA(J'M)b)SiidalJrestdetweJin,ietsiV(J)=V(J),onaprof,(JM)=prof,(JIM)D'après,§,no,cordclapropLet§,no,prop,ilexist,eurieritirrrn,>OtclqueJnk,JIL'assertiona)résultedoric(coret'assnrtionh)s'cndéduitLccorpeutrt,reend<:fautlorsquel'idéalJn'estpasdetypefini(cxcrcice)Profondeuretacycliciti:P~o~osr'i~ro~Soie,rrtAIramn,n,eau,Cun,corn,plexehorn,Càgauch,edeAmodulesetpunentierOnsupposequcpor~rtoutcor,plcden,tiers(m,,n,)mecrrLnp,lnprofonde,urduAnrodcl,leCmrelativemen,tàl'ann~lateurdeH,,,(C)est>rnn,On,aalorsH,(C)=OpournpPuisqueCcstborrkiigauclic,H,(C)estriiilpournassczgrandSilaconclusionCtaitfausse,ilexisteraitlinentierqptelqueH,(C)=Opour,rL>yetHq(C)#ODésignosisparJ'arinulateurdcH,(C)onaalors~>IoS~(JH,(C))=OParailleurs,puisqueZ,(C)cstmsousmodiilcdeC,,ctqu'onaparllypotlikscprof,(JC,)>qq=O,onaprofA(JZ,(C))>Ondktluitalorsdelasuiteexacle'CgalitCpruf,(JB,(C))=(no,prop)D'aprèsladéfinitiondeg,B,,(C)estkgaliiZ,(C)pour(,oui,entiern,>(Dessuitesexactescauoniqucsetdel'liypothkscprofA(JC,,,)>rry,»sitireparrécurrencel'égalitéprofA(JB,(C))=rLqpourtoutrLy(loccil)MaiscelaestahsiirdepuisqueB,,,,(C)cstriulpour,rcasswgrandCOROLLAIRESoientAuna,n,n,rau,Jun,idéaldeA,Cuncomplexeborné,garchedeAn~odulesetpunen,lierOnsupposequ'onaJH,,(C)=OetprofA(JCm)>rnppourmpOnaalorsH,(C)=Opourn,pEneffctpournpl'annula,teurJ,,deH,,,(C)cont,ientJ,donconaprofA(J,C,)profA(JC,,,,)(ri,cor(lelaprop),dnsorteqiicl'hypothèsedelapropositionestsatisfaiteCOROLLAIRESoientAunanneaulocal,Cun,complezebolrrkàgauchedeArrr,odules,puncntielOnsupposequepo~lmp,H,,,(C)es,delongueurfiniretC,,,deprofndcn>mpOnnalorsFI,(C)=OpourrLpd'aprèsA,VIII,,no,corollaire,l'anneauAJestartinieii,doncJcoiitientunepuissmccdel'idéalrnaxiri~aldeA(A,VIII,,ri",th)OnaparsuiteprofA(JC,,,)prof(C,,)>rrippourrrrp(',cordelaprop),desortequ'onpeutappliquerlecorProfondeuretcomplexedeKoszulSoientAunanneau,ILIiinAmodiilr,x=(r,),,riiiicfainillcd'lCmcntstlcANotonsu:A(')Alaforrric:liriéairetellequeu(ci)=r,pourtoutiET,etK'(x,M)lecorrlplexeKA(w,M)associau(A,X,p)OnaKP(x,M)Opourp<OpolirpOleAmodiilr:K"(x,M)=Hoin,,(Ap(~(l)),M)si(lentificcanoniquemcntailAmodiilcCY(h)forrriétlrsnpplicationsollrrnépsde''dansIiI(A,X,p),lacliffbreritielleiSP:KP(x,hl),Kptl(x,M)CltantdonnepdrlaforriiiilepourmtKP(x,M)et(a,cu,>l)E(A,X,,fornlulc())Ilelirsiilteeriparl,icl~licrqiiclccorr~plexcK(x,M)nedi:pcritlquetlclastructuredeZrriodiilrdeMel,descii<lornorpliismesOnnoteH'(x,ICI)l'honiologietluc:oinplcxcK'(x,M)LcArnodiileHo(x,hf)s'identifieàH~rri,~(AT,M),uiiJestl'itlbaldeAengcndrCparlesr,(A,Xp,lemme)Soicrit(M,),,r,unefamilledeAmodiiles,elMsonproduit,lecomplexeK(x,M)estcanoiiiquernentisornorpliesuroiiiplexeproduitdesK(x,hl,),desorteqircpourchaqueentiernleArnodiiloH(x,M)s'idciltificnuproduitclesHS(x,M,)(AX,p,prop)THGOK~MF:SoientAuncr,nrrenv,J,un,idéaldeA,x=(z,),,une,fn,n~,illegén,r'r(~,triredeJ,MWLAw,ouleLaprofonde,uideNIrel«,tivrrnerrtciJestluhomeir~fc'rie,rre(darlsNl,{oo))descnticr:stelsqueII'(x,b)fOPosorlsp=profh(JICI)ConsidGronslewniplexeK'(x,M)SonlioinologieestarlmdéeparJ(A,X,p,cor)'etlaprofoildeurrelativciricrltàJdechacundesrilotlulesKi(x,M)estgalcàouàrx>(no,reinxryuc)Ilrsiiltcalorsducorth"quel'onaH(x,M)=Opouri<pIlrc:si,eilprouverqueHJ"(x,M)n'estpasrdlorsquep<mLecasp=Otantvideiit,SI~PJSUSOIISO<p<metTIIJ(x,hl)=OSoitLunerésolutionliheduArnoduleAJnotonsClecomplexeHomgrA(TJ,ICI)LeAiriodulclp(C)estisorriorphr:àExti(AJ,M)(A,Xip,th)ilestdoric:nulpouri<pOriaalorspouri<pdessuilesexactescarioriiqursLeAmoduleC'estproduitdeArilodulesisoriiorphesàMonadoncis(x,C")=Opuurs<pOntlbdiiitriessuitesexactesprcéclentesetde,X,pqucl'l~oi~lorriorpl~isrncteliaison(":H"(x,Hl'(C)))HS'(x,B"(C)est,injectifpours<pet,i,<pcorriirirBo(C)=O,ilcilrCsultcqiieHPpi(xBi'(C))estnulpouri<pOriacripiirticilliriIT(x,Bj(C))=O,desorkquelasuiteexactcOBp(C)IZp(C:)IIp(C)OhriiitunesilyjectionHU(xZp(C))~'(x,Hp(C))CornineH"(C)estisoiriorplicExtx(AJ,M),cpiestnonnulelarinuléparT,onaHo(x,H*'(C))O,d'oirHO(x,ZP(C))#Octparsuite~~'(x,C")#OhbiscelaimpliqueHo(x,M)#,rontrairemeritklypothiscOnaclor~cHP(x,WI)fO,cequiacl~bvelatiérnonstratioriC~ROLLAIRESz~pposorzsl'idéalJdctype,finietTM#MAlorsprof,,(JM)est,fiwkrt<Chrd(T)pourqu'ellesoitciyale,Card(),ilfm~fetilSIprlafu,rrLllc:xsoitco,rrc,plterrientsécarrtepourM(A,Xp,dkf)Siipposor~sd'abordfirii,etiiotor~srsoricardirialLeAmodulcHT(x,M)cstca,rloniqucinentisomorpheAHo(x,WI),luirriêrrieisomorpheàMlJAll(A,X,p)l'inégalitkprof,,(JM)<rksiilt,~donctlirthPourqu'oilaitégalitC,ilfautetilsufitquclcAi~~clulcH(x,M)soitnulpouri<r,ccqiiisignifiequelafaniillexestconiplttcnienl,sécanlepolirICI(A,X,p)U'aprkccquiprcde,profA(Thf)estfinieilrestehchhontrer(picsilafamillexcstconlpi:tc:rirerits:arit,epolirMl'enscinhlecstfiriiOrla(:onditionHi(x,AI)=(A,X,p,tlbf)inipliqiictpiairncsuitecxictceoi~l'imagcticestcor,cimc:tlimsJM(')Parproduitter~soriclavecAT,oneridéduitunisoinorphisrneAlinkaircde(MJM)(')siirJMJ!tOrcedcrr~ic:rmoduleestdetypefini:puisqi~eTetiLlesontcornmcMJMrr'cstpasniil,ilc:rlrsirltcqiicl'eriscrriblcestfiiiiIJ~orosr,i,ro~Soientp:AiBunhom~onrorphismrd'anneauxjTon,idhldcArtNrin,BrrioduleOnu'lulitprofA(,iN)=prof,(JBN)Soitx=(ri),,,riniefamillegénhtricedeJlahinillep(x)(p(~,)),,~engeridreJBParcoristriictiorileconiplexeKe(p(x),N)estégalàK'(xN)LapropositionrésultedoncduthCOROI,I,AIRESoientAurianneaulocal,aunidldeA~fishctdehetïViunAm,oddeurrrrulCp(waOn,aprof,(M)=profAl,(hl)Soicntp:ABunliosnornorphismctl'anricaiix,x=(x,~),,~urlcfarnillrfinied'él(hieritsdeAetMimArnodiilcPolirtoiitentierp,iiotorlsdJ:P,nCr(h)tCy(BM)l'hoinomorphismeBlinéairequiassocicàhml'applicatioiialterriée(or,,,ap)Hb)m(ori,,orï,)Lafamille(IP)dkfinitlinisomorpl~isrrlcdccorriplcxesCori~itlirorisl'liorriorr~orpklisir~ccanonique(A,X,p)parcoirlpositionavecHP(cl),oneiitlCdiiitiiriIiorriorriorpllismLerrmeSileAmoduleBesplal,,I'~~,orn,orno~~'pI~~~isr~~,~~,opestb,ijccLifpourLoutcritierpCclarsultcdeA,X,p,cor(Jhf)inîprofAp(Jphlp)=iilfp~~f,j,(Jmhlm)ptspc<()nicSLSoitx(x,)~,~uncf'arnillcgkriiratricefiriicdeJSoitpiinitlalprcrriierdeAl'idéalJpestengendraparl'iniagc:xptlelafarnillc(xi)dansA,,Poiiitoutp,leApmoilule(HP(x,)),,estison~orpheiiWi(xp,Nip)(lcnnnc)d'aprèslcthorndoncprof,(JM)<irifpinfAy(JPMp)<infprofAm,(J,Ml,,)peSpec(A)meSoitpuncnticrstrict,crncntinfkrieiiràprofA,,,(TA,,,M,)polirtoiitmEOraalorsH"(x,,,hl,,)=Opourtoutidéalm~ximalmdeA:celarésultcduthsimtf,tli*faitqueMn,=Osim$Siipp(M),etduSaityuc'itléalJA,,,quiannuleH"(x,,M,,,)(A,X,p,cor),esthgalàA,sim$V(J)Onadonc(Hp(x,)),=Opoilrtoiitidkalrnaxirrialmde:A,cequicritraîncH"(x,M)O(II,,II",corduth)LapropositionrésidLealorsduthP~WP~SITJONSoientAunanneau,Ju,nidéaldctype,fifinideAelhdunAmoduleSoien,tRunanrceauetp:ABunhornornorphism,ed'anneamfwisarItdeBrrrcArn,oddt:plata))TLoprof(JM)<profB(JBUAM))S~pposonsdeplusquetoutidnlmaximaldeSupp(CI)coatcnurrtJn,ppc~rtien,n,eI',rnt~gedel'applicatior~canor~,iqueSpcc(B))Spcc(A)OnadorsprofA(JWI)=prof,(JBBAM)C'rstlecasparexcmplesilcAnoduleBestjificlèlen~erctplatL'assertiona)rsiilteduthetthlcrnmcSoitplinentierstrictementinférieuràprofH(JBBANI),etsoitmunitlkalrrmximaldeAappastenantàSupp(b)nV(J)SoitxilnefainillcgCrlCratricefinie(le'idbalJSoiisl'hypothèsedeh)ilexisteunidéalprernicrdeBaudessusdem,etl'onalinisorriorphismrcariorriqucOrBHP(x,Mi)cstisomorpheàIIp(p(x),BAM)(lcmmc),tior~cestriiddeplusB,estfidtlrnientplatsurA,(,S,no,propctII,,ri",piopetrcri~arqiie)OnadoncA,AH"(x,M)=etparsuitep<proSAn,(J,,,Mn,)(lernrneetth)Laprcniièrea,ssertiondeh)résultealorsdelaproplase<:oil(ler<:sirli,ede,,ri,prop)COROLLAIRESorctAunanmeaur~oetlsrim~JIrn,idéaldeA,M,unA,m,oduledetype,fin,i,ActMlesspari~cp~ltGsdeAethlpourlutopologieJadiqurOnaalorsprof,(JM)=profÂ(JAMI)AEncffet,lcAmoduleÂcstplat,etleÂnioduleMcstisomorpheÂAM(,:no,th)pltiaillciirs,toutidbaliiiaxirrmdeAcontenantJappartientAàl'imagedel'applicationSpec(A)Spe(:(A)(loccit,prop)ProfondeurctsuitesrégulièresSoientAunannraii,MuriArr~odiileIlappclons(A,X,p)qu'unesuit,cGrlie(xi,,:r,)d'élbrneritsdeAestditerégulièrepourILIouMrplièrr:si,pouri=l,,r,l'horriothbtiederapportz,dansleAmoduleM(ziMz,,hl)estinjectiveSoit(xl,,,)urrcsuiteMréguliCrcpourtoutli~iocluleplai,N,lasiiite(xi,,r,)estMNriguibreSip:ABestunhornorriorpliisrrietl'aririeauxfaisantdeRunArriodiileplat,lasiiite(p(xi)>,p(z,))estréguliGrepourleBrnoduleRMEnparticiilier,pourtoutidbalpremierpdcA,l'irrlagedansA,,delasiiit,e(:ri!r,)estMprégulièreDimslasiiitenousconsitléreronssiirtoutlanotionclesilitjeMrégulièredanslc(:as«ill'anrieai~estlocalnoethérien,lemociulcMestdetypefinietlesélCrnc~nt,sdelasiiiteappa,rtieimcntàmnlanotioiidesuiteMrkgulièrcwïricidealorsaveccelledesuitecornplètemeritsécantepourM(A,X,p,cor)PROP~SITIONSoientAwnanriea,u,JunidéaldeAilArrinodr~le,et(xl,,:ri,)~LTL(:sl~iteMrg,ldir)red'blrr~~r~tsdeJOnaLecasr=résultedelaremarquediiilo,appliquCcAlasuitecxactcLPCilgb~ihals'endéduitparrbcurr~ricesurrb)Luprofor~der~rdi:hlrrelative,rnent,Jestlahorrres~~,pcrie,wredeslonyueursdessuitesblré,quliè~esforrn,éf:scrClr',n~entsdeJc)i'owquepr<~(hl)soitfinie,il,facrtetilsufitquelesupportdeMreri,contreV(J),OIL(~i~orequel'onaitJM#MSoit(:ri,,:x,)unesuiteMrég~ilirctl'élnciitsdcJOnaT<prof,(JM)(prop)supposonsquelinbgalitC:soit,st,rid,cNotonsNleAnlotliileM(zMi,M)OnaprofA(JN)>O(loccit),des»rt,eqii'ilexisk

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