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N.Bourbaki Algèbre Chapitres 10.pdf

N.Bourbaki Algèbre Chapitres 10

fanlei2002
2011-02-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《N.Bourbaki Algèbre Chapitres 10pdf》,可适用于高等教育领域

NBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUENBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUEALGÈBREChapitreAlgèbrehomologiqueRéimpressioninchangéedel’éditionoriginalede©Masson,Paris,©NBourbakietSpringerVerlagBerlinHeidelbergISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkTousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationréservéspourtouspaysLaloidumarsinterditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollectiveToutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentementdel’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticlesetsuivantsduCodepénalSpringerestmembreduSpringerScienceBusinessMediaspringercomMaquettedecouverture:WMXDesignGmbH,HeidelbergImprime´surpapiernonacideYLModed'emploidecetraitéNOUVELLEÉDITIONLetraitéprendlesmathématiquesàleurdébut,etdonnedesdémonstrationscomplètesSalecturenesupposedonc,enprincipe,aucuneconnaissancemathématiqueparticulière,maisseulementunecertainehabitudeduraisonnementmathématiqueetuncertainpouvoird'abstractionNéanmoins,letraitéestdestinéplusparticulièrementàdeslecteurspossédantaumoins'unebonneconnaissancedesmatièresenseignéesdanslapremièreoulesdeuxpremièresannéesdel'universitéLemoded'expositionsuiviestaxiomatiqueetprocèdeleplussouventdugénéralauparticulierLesnécessitésdeladémonstrationexigentqueleschapitressesuivent,enprincipe,dansunordrelogiquerigoureusementfixéL'utilitédecertainesconsidérationsn'apparaîtradoncaulecteurqu'àlalecturedechapitresultérieurs,àmoinsqu'ilnepossèdedéjàdesconnaissancesassezétenduesLetraitéestdiviséenLivresetchaqueLivreenchapitresLesLivresactuellementpubliés,entotalitéouenpartie,sontlessuivants:ThéoriedesEnsemblesdésignéparEAlgèbreATopologiegénéraleTGFonctionsd'unevariableréelleFVREspacesvectorielstopologiquesEVTIntégrationINTAlgèbrecommutativeACVariétésdifférentiellesetanalytiquesVARGroupesetalgèbresdeLieLIEThéoriesspectralesTSDanslessixpremiersLivres(pourl'ordreindiquécidessus),chaqueénoncénefaitappelqu'auxdéfinitionsetrésultatsexposésprécédemmentdanslechapitreencoursoudansleschapitresantérieursdansl'ordresuivant:EA,chapitresàIIITG,chapitresàIIIA,chapitresIVetsuivantsTG,chapitresIVetsuivantsFVREVTINTApartirduseptièmeLivre,lelecteurtrouveraéventuellement,audébutdechaqueLivreouchapitre,l'indicationprécisedesautresLivresbuchapitresutilisés(lessixpremiersLivresétanttoujourssupposésconnus)Cependant,quelquespassagesfontexceptionauxrèglesprécédentesIlssontplacésentredeuxastérisques:*,Danscertainscas,ils'agitseulementdefaciliterlacompréhensiondutextepardesexemplesquiseréfèrentàdesfaitsquelelecteurpeutdéjàconnaîtreparailleukParfoisaussi,onutilise,nonseulementlesrésultatssupposésconnusdanstoutlechapitreencours,maisdesrésultatsdémontrésailleursdansletraitéCespassagesserontemployéslibrementdanslespartiesquisupposentconnusleschapitresoùcespassagessontinsérésetleschapitresauxquelscespassagesfontappelLelecteurpourra,nousl'espérons,vérifierl'absencedetoutcerclevicieuxAcertainsLivres(soitpubliés,soitenpréparation)sontannexésdesfasciculesderésultatsCesfasciculescontiennentl'essentieldesdéfinitionsetdesrésultatsduLivre,maisaucunedémonstrationL'armaturelogiquedechaquechapitreestconstituéeparlesdéfinitions,lesaxiomesetlesthéorèmesdecechapitrec'estlàcequ'ilestprincipalementnécessairederetenirenvuedecequidoitsuivreLesrésultatsmoinsimportants,ouquipeuventêtrefacilementretrouvésàpartirdesthéorèmes,figurentsouslenomdeapropositionsD,((lemmesD,«corollairesD,«remarquesD,etcceuxquipeuventêtreomisenpremièrelecturesontimprimésenpetitscaractèresSouslenomde((scholie»,ontrouveraquelquefoisuncommentaired'unthéorèmeparticulièrementimportantPouréviterdesrépétitionsfastidieuses,onconvientparfoisd'introduirecertainesnotationsoucertainesabréviationsquinesontvalablesqu'àl'intérieurd'unseulchapitreoud'unseulparagraphe(parexemple,dansunchapitreoùtouslesanneauxconsidéréssontcommutatifs,onpeutconvenirquelemot«anneau»signifietoujours«anneaucommutatifD)Detellesconventionssontexplicitementmentionnéesàlatêteduchapitreouduparagraphedanslequelelless'appliquentCertainspassagessontdestinésàprémunirlelecteurcontredeserreursgraves,oùilrisqueraitdetombercespassagessontsignalésenmargeparlesigne(«tournantdangereux»)Lesexercicessontdestinés,d'unepart,àpermettreaulecteurdevérifierqu'ilabienassimiléletexted'autrepartàluifaireconnaîtredesrésultatsquin'avaientpasleurplacedansletextelesplusdifficilessontmarquésdusigneLaterminologiesuiviedanscetraitéafaitl'objetd'uneattentionparticulièreOns'esteforcédenejamaiss'écarterdelaterminologiereçuesansdetrèssérieusesraisonsOnacherchéàutiliser,sanssacrifierlasimplicitédel'exposé,unlangagerigoureusementcorrectAutantqu'ilaétépossible,lesabusdelangageoudenotation,sanslesquelstouttextemathématiquerisquededevenirpédantesqueetmêmeillisible,ontétésignalésaupassageLetexteétantconsacréàl'exposédogmatiqued'unethéorie,onn'ytrouveraqu'exceptionnellementdesréférencesbibliographiquescellescisontgroupéesdansdesNoteshistoriquesLabibliographiequisuitchacunedecesNotesnecomporteleplussouventqueleslivresetmémoiresoriginauxquionteuleplusd'importancedansl'évolutiondelathéorieconsidéréeelleneviseementàêtrecomplèteQuantauxexercices,iln'apasétéjugéutileengénérald'indiquerleurprovenance,quiesttrèsdiverse(mémoiresoriginaux,ouvragesdidactiques,recueilsd'exercices)Danslanouvelleédition,lesrenvoisàdesthéorèmes,axiomes,définitions,remarques,etcsontdonnésenprincipeenindiquantsuccessivementleLivre(parl'abréviationquiluicorresponddanslalistedonnéeauno),lechapitreetlapageoùilssetrouventAl'intérieurd'unmêmeLivrelamentiondeceLivreestsuppriméeparexemple,dansleLivred'Algèbre,E,III,p,correnvoieaucorollairesetrouvantauLivredeThéoriedesEnsembles,chapitreIII,pagedecechapitreII,p,proprenvoieàlapropositionduLivred'Algèbre,chapitreII,pagedecechapitreLesfasciculesderésultatssontdésignésparlalettreRparexemple:EVT,Rsignifie((fasciculederésultatsduLivresurlesEspacesvectorielstopologiques»CommecertainsLivresdoiventseulementêtrepubliésplustarddanslanouvelleédition,lesrenvoisàcesLivressefontenindiquantsuccessivementleLivre,lechapitre,leparagrapheetlenumérooùsetrouvelerésultatenquestionparexemple:ACIII,,no,cordelapropCHAPITREXAlgèbrehomologiqueDansceparagraphe,lalettreAdésigneunanneauSaufmentionexpresseducontraire,touslesmodulesconsidéréssontdesmodulesùgauche,touslesidéauxconsidéréssontdesidéauxagaucheLesdéjnitionsetlesrésultatss'appliquentauxmodulesadroite,enlesconsidérantcommemodulesàgauchesurl'anneauopposéSiMestunAmoduleetsiaEA,onnoteaMl'homothétiexHaxdeMOnadonc,=IdM(applicationidentiquedeM)lorsqu'iln'yapasdeconfusionpossible,onécritparfoissimplementaulieude,Enjn,onnoteOunAmoduleréduitàsonélémentneutre,choisiunefoispourtoutes(cf,p)DiagrammescommutatifsSoientparexempleB,C,D,E,Fcinqensembles,etsoientfuneapplicationdeEdansF,guneapplicationdeBdansC,huneapplicationdeDdansE,uuneapplicationdeBdansDetvuneapplicationdeCdansEPourrésumerunesituationdecegenre,onfaitsouventusagedediagrammesparexemple,onrésumeralasituationpréGdenteparlediagrammesuivant(E,II,p):DEFhfDansunteldiagramme,legroupedesignesELFschématiselefaitquefestuneapplicationdeEdansFLorsqu'ilnepeutyavoird'ambiguïtésurf,onsupprimelalettref,etonécritsimplementEFLorsqueB,C,D,E,Fsontdesgroupes(respdesAmodules)etf,g,h,u,vdeshomomorphismesdegroupes(respAmodules),onditpourabrégerquelediagramme()estundiagrammedegroupes(respdeAmodules)Enprincipe,undiagrammen'estpasunobjetmathématique,maisseulementunefigure,destinéeàfaciliterlalectured'unraisonnementEnpratique,onsesertsouventdesdiagrammescommedesymbolesabréviateurs,quiévitentdenommertouslesensemblesettouteslesapplicationsquel'onveutconsidéreronditainsi«considéronslediagramme()»aulieudedire:«soientB,C,D,E,FcinqensemblesetvuneapplicationdeCdansE»voirparexemplel'énoncédelapropdunoConsidéronsparexemplelediagrammesuivant:Atoutchemincomposéd'uncertainnombredesegmentsdudiagrammeparcourudanslesensindiquéparlesflèches,onfaitcorrespondreuneapplicationdel'ensemblereprésentéparl'originedupremiersegmentdansl'ensemblereprésentéparl'extrémitéduderniersegment,savoirlacomposéedesapplicationsreprésentéesparlesdiverssegmentsparcourusPourtoutsommetdudiagramme,parexempleC,onconvientqu'ilyauncheminréduitàCetonluifaitcorrespondrel'applicationidentique,Dans(),ilyaparexempletroischeminspartantdeBetaboutissantàD'lesapplicationscorrespondantessontdogof,g'ocofetg'of'obOnditqu'undiagrammeestcommutatifsi,pourtoutcoupledecheminsdudiagrammeayantmêmeorigineetmêmeextrémité,lesdeuxapplicationscorrespondantessontégalesenparticuliersiuncheminasonextrémitéconfondueavecsonorigine,l'applicationcorrespondantedoitêtrel'identitéPourquelediagramme()soitcommutatif,ilfautetilsuffitquel'onaitlesrelations:autrementdit,ilfautetilsuffitquelestroisdiagrammescarrésextraitsde()soientcommutatifsEneffet,lesrelations()entraînentdogof=g'ocofpuisquedog=g'ocetgfocof=g'of'obpuisquecof=f'obdonclestroischeminspartantdeBetaboutissantàD'donnentlamêmeapplicationOnvérifiedemêmequelesquatrecheminspartantdeBetaboutissantàE'(resplestroischeminspartantdeCetaboutissantàEt)donnentlamêmeapplicationLesrelations()signifientquelesdeuxcheminspartantdeB(respC,D)etaboutissantàC'(respD',E')donnentlamêmeapplicationTouslesautrescouplesdesommetsde()nepeuventêtrejointsqueparuncheminauplus,etlediagramme()estdoncbiencommutatifParlasuite,nouslaisseronsaulecteurlesoindeformuleretdevérifierdesrésultatsanaloguespourd'autrestypesdediagrammesLediagrammeduserpentPROPOSITIONConsidéronsundiagrammecommutatifdeAmodules*lqM'II,N'P'onsupposequelesdeuxlignesde()sontexactesAlors(i)Sihestinjectif,ona()Im(g)nIm(u')=Im(u'f)=Im(gu)(ii)Sifestsurjectif,ona()Ker(g)Im(u)=Ker(v'og)=Ker(hov)Prouvons(i)Ilestclairquel'onaIm(u'of)=Im(gu)cIm(g)nIm(u')Inversement,soity'EIm(g)nIm(u')IlexistevENtelquey'=g(y)CommeV'OU'=O,onaO=vl(y')=~'(~(y))=h(u(y)),d'oùv(y)=OpuisquehestinjectifComme(u,a)estunesuiteexacte,ilexistexEMtelquey=u(x),d'oùY'=g(u(x))Prouvons(ii)Commevou=Oetv'ou'=O,ilestclairqueKer(g)Im(u)cKer(v'og)=Ker(hv)Inversement,soityEKer(v'og)Alorsg(y)EKer(v'),etilexistex'EM'telqueul(x')=g(y)puisquelasuite(u',')estexacteCommefestsurjectif,ilexistexEMtelquef(x)=x',d'oùg(y)=ut(f(x))=g(u(x))onenconclutqueyu(x)EKer(g),cequitermineladémonstrationLemmeConsidéronsundiagrammecommutatifdeAmodulesMAN()glM'ur,N'Alorsilexisteunhomomorphismeetunseulu,:Ker(f)Ker(g),etunhomomorphismeetunseulu,:Coker(f)tCoker(g),telsquelesdiagrammesKer(f)uKer(g)ilMN'lCoker(f)Coker(g)soientcommutatifs,ietjdésignantlesinjectionscanoniques,petqlessurjectionscanoniquesEneffet,sixEKer(f),onaf(x)=Oetg(u(x))=ut(f(x))=,doncu(x)EKer(g),etl'existenceetl'unicitédeu,sontalorsimmédiatesDemême,onau'(f(Ml)=g(u(M))g(N)doncu'donneparpassageauxquotientsunhomomorphismeu,:Coker(f)Coker(g),quiestleseulhomomorphismepourlequel()soitcommutatifPartonsmaintenantd'undiagrammecommutatif()deAmodulesilluicorrespondenvertuduiemmeundiagrammecommutatifKer(f)Ker(g)Ker(h)Coker(y)Coker(g)Coker(h)oùi,j,ksontlesinjectionscanoniques,p,q,rlessurjectionscanoniques,u,,u,(respv,,v,)leshomomorphismesdéduitsdeu,u'(respv,v')parlelemmePROPOSITIONSupposonsquedanslediagrammecommutatif(),lessuites(u,v)et(ut,v')soientexactesAlors:(i)Onav,ou,=Osiutestinjectif,lasuite(u,,v,)estexacte(ii)Onau,ou,=Osivestsurjectif,lasuite(u,,v,)estexacte(iii)Supposonsu'injectifetvsurjectifIIexistealorsunhomomorphismeetunseuld:Ker(h)Coker(f)ayantlapropriétésuivante:sizEKer(h),yENetx'EM'vérifientlesrelationsv(y)=k(z)etu'(xl)=g(y),onad(z)=p(x')DepluslasuiteestexacteKer(f)AKer(g)AKer(h)tCoker(f,tCoker(g)Coker(h)Prouvons(i)Commeu,etv,ontmêmesgraphesquelesrestrictionsdeuetvàKer(f)etKer(g)respectivement,onav,u,=OOnaKer(v,)=Ker(g)nKer(v)=Ker(g)nIm(u)=Im(j)nIm(u)Maisd'aprèslaprop(i),onaKer(,)=Im(jOut)=Im(u,)siu'estinjectifProuvons(ii)Commeu,etv,proviennentdeuetvparpassageauxquotients,ilestclairquev,ou,=OSupposonsvsurjectifcommeqetpsontsurjectifs,ona,envertudeshypothèsesetdelaprop(ii)=q(Im(u'))=Im(qu')=Im(up)=Tm(,)Prouvonsenfin(iii)PourzEKer(h),ilexisteyENtelquev(y)=k(z)puisquevestsurjectifenoutre,onavl(g(y))=h(k(z))=,etparsuiteilexisteununiquex'EM'telqueu'(xl)=g(y)puisqueu'estinjectifMontronsquel'élémentp(xl)ECoker(f)estindépendantdel'élémentyENtelquev(y)=k(z)Eneffet,siy,ENestunsecondélémenttelquev(y,)=k(z),onay,=yu(x)oùxEMmontronsquesixiEM'esttelqueul(x)=g(y,),onaxi=x'f(x)eneffet,onau'(x'f()=~'(x')ur(f(x))=g(y)g(u(x))=g(yW)=dy,)Enfin,onenconclutquep(x)=p(xr)p(f(x))=p(xl)Onpeutdoncposerd(z)=p(xl)etonaainsidéfiniuneapplicationd:Ker(h)Coker(f)Simaintenantz,,z,sontdesélémentsdeKer(h),siA,,hEAetz=hl,hz,,onprendradesélémentsy,ety,deNtelsquev(y,)=k(z,)etv(y)=k(,)etonchoisirapouryENl'élémenthly,hy,ilestalorsimmédiatqued(z)=hld(z,)h,cl(:,),doncdestunhomomorphismeSupposonsquez=v,(t)pouruntEKer(g)onprendraalorspouryENl'élémentj(t)Commeg(j(t))=O,onenconclutd(z)=O,doncdov,=OInversement,supposonsqued(z)=OAveclesnotationsprécédentes,onadoncx'=f(x),oùxEMDanscecas,onag(y)=u'(f(x))=g(u(x)),ouencoreg(yu(x))=OL'élémentyu(x)estdoncdelaformej(n)pournEKer(g),etonacommekestinjectif,z=v,(n),cequiprouvequelasuite(*)estexacteenKer(h)Enfin,ona(toujoursaveclesmêmesnotations)u(d(z))=u(p(x))=q(u'(xl))=q(g(y))=Odoncud=OInversement,supposonsqu'unélémentw=p(xl)deCoker(f)soittelqueUJW)=uZ(p(xl))=O(avecx'EM')Onadoncq(ul(x'))=,etparsuiteu(x')=g(y)pourunyENcommev'(ul(x'))=O,onav'(~(Y))=O,donch(t(y))=O,autrementditv(y)=k(z)pourunzEKer(h),etpardéfinitionw=d(z),cequimontrequelasuite(*)estexacteenCoker(f)Onavudans(i)qu'elleestexacteenKer(g)etdans(ii)qu'elleestexacteenCoker(g),cequiachèvedeprouver(iii)COROLLAIRESupposonsquelediagramme()soitcommutatifetaitseslignesexactesAlors:(i)Siu',fethsontinjectifs,gestinjectif(ii)Siv,fethsontsurjectifs,gestsurjectifL'assertion(i)estconséquencedel'assertion(i)delaprop:eneffetonaKer(f)=OetKer(h)=O,doncKer(g)=L'assertion(ii)estconséquencedel'assertion(ii)delaprop:eneffet,onaCoker(f)=OetCoker(h)=O,doncCoker(g)=COROLLAIRESupposonsquelediagramme()soitcommutatifetaitseslignesexactesDanscesconditions:(i)Sigestinjectifetsifetvsontsurjectifs,alorshestinjectif(ii)Sigestsurjectifetsihetu'sontinjectifs,alorsfestsurjectifPourprouver(i),considéronslediagrammeoùf'estl'applicationayantmêmegraphequelarestrictiondegàu(M),wetw'lesinjectionscanoniquesilestclairquecediagrammeestcommutatifetaseslignesexactesEnoutrew'estinjectif,etparhypothèsevestsurjectifonadoncparlaprop(iii),unesuiteexacteKer(g)Ker(h)Coker(f')puisquegestinjectifetquef'estsurjectif,onadoncKer(h)=Pourprouver(ii),considéronslediagrammeoùcettefoish'estl'applicationayantmêmegraphequelarestrictiondehàv(N),etwetw'ontrespectivementmêmesgraphesquevetv'cediagrammeestcommutatifetseslignessontexactesEnoutrewestsurjectifetparhypothèseutestinjectifonadonc,parlaprop(iii),unesuiteexacteKer(ht)Coker(f)puisquegestsurjectifetqueh'estinjectif,onaCoker(g)doncCoker(f)=OCOROLLAIRE(Lemmedescinq)ConsidéronsundiagrammecommutatifdeAmodulesoùleslignessontexactes(i)Sifetf,sontinjectifsetf,surjectiffestinjectif(ii)Sif,etf,sontsurjectifsetf,injectiffestsurjectifEnparticulier,sif,,f,,f,etfsontdesisomorphismes,ilenestdemêmedefPourprouver(i),posonsM,=Coker(u,),MS=Coker(u)etnotonsf:M,Ml'applicationdéduitedef,Ilrésulteducor(i)quefestinjectifEnappliquantlecor(i)audiagrammeoùLietLisontdéduitsdeuetu,onvoitquefestinjectifP

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