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首页 N.Bourbaki Algèbre Chapitres 4-7

N.Bourbaki Algèbre Chapitres 4-7.pdf

N.Bourbaki Algèbre Chapitres 4-7

fanlei2002
2011-02-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《N.Bourbaki Algèbre Chapitres 4-7pdf》,可适用于高等教育领域

NBOURBAKIÉLÉMENTSDENBOURBAKIALGEBREChapitresàSpringerRéimpressioninchangéedel'éditionoriginaledeCCMasson,ParisONBourbakietSpringerVerlagBerlinHeidelbegISBNIOSpringerBerlinHeidelbergNewYorkISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkTousdroitsdetraductiondereproductionetd'adaptationréseréspourtouspaysLaloidumaisinterditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollectiveToutereprésentationreproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoitsansleconsentementdel'auteuroudesesayantscauseestilliciteetconstitueunecontrefaconsanctionnéeparlesarticlesctsuiantsduCodepénalSpringerestmembreduSpnngerScienceBusinessMediaspringercomMaquettedecouverture:WMXDesignGmbHHeidelbergIniprimesurpapiernonacideSPINModed'emploidecetraitéNOUVELLEÉDITIONLetraitéprendlesmathématiquesàleurdébut,etdonnedesdémonstrationscomplètesSalecturenesupposedonc,enprincipe,aucuneconnaissancemathématiqueparticulière,maisseulementunecertainehabitudeduraisonnementmathématiqueetuncertainpouvoird'abstractionNéanmoins,letraitéestdestinéplusparticulièrementàdeslecteurspossédantaumoinsunebonneconnaissancedesmatièresenseignéesdanslapremièreoulesdeuxpremièresannéesdel'universitéLemoded'expositionsuiviestaxiomatiqueetprocèdeleplussouventdugénéralauparticulierLesnécessitésdeladémonstrationexigentqueleschapitressesuivent,enprincipe,dansunordrelogiquerigoureusementfixéL'utilitédecertainesconsidérationsn'apparaîtradoncaulecteurqu'aucoursdechapitresultérieurs,àmoinsqu'ilnepossèdedéjàdesconnaissancesassezétenduesLetraitéestdiviséenLivresetchaqueLivreenchapitresLesLivresactuellementpubliés,entotalitéouenpartie,sontlessuivants:ThéoriedesEnsemblesdésignéparEAlgèbreATopologiegénéraleTGFonctionsd'unevariableréelleFVREspacesvectorielstopologiquesEVTIntégrationINTAlgèbrecommutativeACVariétésdifférentiellesetanalytiquesVARGroupesetalgèbresdeLieLIEThéoriesspectralesTSDanslessixpremiersLivres(pourl'ordreindiquécidessus),chaqueénoncénefaitappelqu'auxdéfinitionsetrésultatsexposésprécédemmentdanslechapitreVIMODED'EMPLOIDECETRAITÉencoursoudansleschapitresantérieursdansl'ordresuivant:EA,chapitresàIIITG,chapitresàIIIA,chapitresIVetsuivantsTG,chapitresIVetsuivantsFVREVTINTApartirduseptièmeLivre,lelecteurtrouveraéventuellement,audébutdechaqueLivreouchapitre,l'indicationprécisedesautresLivresouchapitresutilisés(lessixpremiersLivresétanttoujourssupposésconnus)Cependant,quelquespassagesfontexceptionauxrèglesprécédentesIlssontplacésentredeuxastérisques:*,Danscertainscas,ils'agitseulementdefaciliterlacompréhensiondutextepardesexemplesquiseréfèrentàdesfaitsquelelecteurpeutdéjàconnaîtreparailleursParfoisaussi,onutilise,nonseulementlesrésultatssupposésconnusdanstoutlechapitreencours,maisdesrésultatsdémontrésailleursdansletraitéCespassagesserontemployéslibrementdanslespartiesquisupposentconnusleschapitresoùcespassagessontinsérésetleschapitresauxquelscespassagesfontappelLelecteurpourra,nousl'espérons,vérifierl'absencedetoutcerclevicieuxAcertainsLivres(soitpubliés,soitenpréparation)sontannexésdesfasciculesdevésultatsCesfasciculescontiennentl'essentieldesdéfinitionsetdesrésultatsduLivre,maisaucunedémonstrationL'armaturelogiquedechaquechapitreestconstituéeparlesdéfinitions,lesaxiomesetlesthéorèmesdecechapitrec'estlàcequ'ilestprincipalementnécessairederetenirenvuedecequidoitsuivreLesrésultatsmoinsimportants,ouquipeuventêtrefacilementretrouvésàpartirdesthéorèmes,figurentsouslenomde«propositions»,«lemmesD,«corollaires»,«remarques»,etcceuxquipeuventêtreomisenpremièrelecturesontimprimésenpetitscaractèresSouslenomde«scholieD,ontrouveraquelquefoisuncommentaired'unthéorèmeparticulièrementimportantPouréviterdesrépétitionsfastidieuses,onconvientparfoisd'introduirecertainesnotationsoucertainesabréviationsquinesontvalablesqu'àl'intérieurd'unseulchapitreoud'unseulparagraphe(parexemple,dansunchapitreoùtouslesanneauxconsidéréssontcommutatifs,onpeutconvenirquelemot«anneau»signifietoujours«anneaucommutatif»)Detellesconventionssontexplicitementmentionnéesàlatêteduchapitreouduparagraphedanslequelelless'appliquentCertainspassagessontdestinésàprémunirlelecteurcontredeserreursgraves,oùilrisqueraitdetombercespassagessontsignalésenmargeparlesigne(«tournantdangereux»)zLeercicessontdestinés,d'unepart,àpermettreaulecteurdevérifierqu'ilabienassirriile!etexted'autrepartàluifaireconnaîtredesrésultatsquin'avaientpasleurplacedansletextelesplusdifficilessontmarquésdusigneLaterminologiesuiviedanscetraitéafaitl'objetd'uneattentionparticulièreOns'estefforcédenejamaiss'écarterdelaterminologiereçuesansdetrèssérieusesvaisonsOnacherchéàutiliser,sanssacrifierlasimplicitédel'exposé,unlangagerigoureusementcorrectAutantqu'ilaétépossible,lesabusdelangageoudenotation,sanslesquelstouttextemathématiquerisquededevenirpédantesqueetmêmeillisible,ontétésignalésaupassageLetexteétantconsacréàl'exposédogmatiqued'unethéorie,onn'ytrouveraqu'exceptionnellementdesréférencesbibliographiquescellescisontgroupéesdansdesNoteshistoriquesLabibliographiequisuitchacunedecesNotesnecomporteleplussouventqueleslivresetmémoiresoriginauxquionteuleplusd'importancedansl'évolutiondelathéorieconsidéréeelleneviseementàêtrecomplèteQuantauxexercices,iln'apasétéjugéutileengénérald'indiquerleurprovenance,quiesttrèsdiverse(mémoiresoriginaux,ouvragesdidactiques,recueilsd'exercices)Danslanouvelleédition,lesrenvoisàdesthéorèmes,axiomes,définitions,remcirques,etcsontdonnésenprincipeenindiquantsuccessivementleLivre(parl'abréviationquiluicorresponddanslalistedonnéeauno),lechapitreetlapageoùilssetrouventAl'intérieurd'unmêmeLivrelamentiondeceLivreestsuppriméeparexemple,dansleLivred'Algèbre,E,III,p,correnvoieaucorollairesetrouvantaulivredeThéoriedesEnsembles,chapitreIII,pagedecechapitreII,p,proprenvoieàlapropositionduLivred'Algèbre,chapitreII,pagedecechapitreLesfasciculesderésultatssontdésignésparlalettreRparexemple:EVT,Rsignifie«fasciculederésultatsduLivresurlesEspacesvectorielstopologiquesDCommecertainsLivresdoiventseulementêtrepubliésplustarddanslanouvelleédition,lesrenvoisàcesLivressefontenindiquantsuccessivementleLivre,lechapitre,leparagrapheetlenumérooùsetrouvelerésultatenquestionparexemple:ACIII,§,no,cordelapropCHAPITREIVPolynômesetfractionsrationnellesDanstoutcechapitre,AdésigneunanneaucommutatifDéfinitiondespolynômesSoitunensembleRappelons(III,p)quel'algèbrecommutativelibredesurAsenoteA(Xi)iGIouAIXiIis,LesélémentsdecettealgèbresontappeléspolynômesparrapportauxindéterminéesXi(ouenlesindéterminéesXi)acoefficientsdansARappelonsquel'indéterminéeXiestl'imagecanoniquedeidansl'algèbrecommutativelibredesurAilestparfoiscommodededésignercetteimageparuneautrenotation,tellequeXi,Y,,Ti,etcOnannoncesouventcetteconventionparunephrasetelleque:«SoitY=(Y,),,unefamilled'indéterminées»lorsqu'ilenestainsi,onnoteAYl'algèbredepolynômesconsidéréePour={,,,n),onécritAX,,X,,,X,aulieudeA(X,),,,PourvEN('),posonsAlors(XV)v,N(I,estunebaseduAmoduleA(X,),,LesXvs'appellentlesmonômesenlesindéterminéesXiPourv=O,onobtientl'élémentunitédeA(Xi)isIToutpolynômeuEA(Xi)iGls'écritd'unefaçonetd'uneseulesouslaformeaveca,EAetlesa,nulssaufpourunnombrefinid'indiceslesa,s'appellentlescoefficientsdeulesaVXvs'appellentlestermesdeu(l'élémenta,X'étantsouventappeléletermeenXv)enparticulierletermea,Xo,identifiéaa,,s'appelleletermeconstantdeuLorsquea,=O,ondit,parabusdelangage,queunecontientpasdetermeenXvenparticulier,quanda,=O,onditqueuestunpolynômesanstermeconstant(III,p)OnappellepolynômeconstanttoutmultiplescalairedeSoientBunanneaucommutatif,etp:ABunhomomorphismed'anneauxConsidéronsB(X,),,commeuneAalgèbregrâceàpAlorsl'applicationodeA(Xi)i,IdansB(Xi),,quitransformeCavXvenp(av)XvestunhomomorphismedeAalgèbressiuEA(Xi),,,onnoteparfoisPul'imagedeuparcethomomorphismeL'homomorphismedeB,A(Xi)i,rdansB(Xi),,définicanoniquementparotransforme,pourtoutiE,XienXic'estunisomorphismedeBalgèbres(III,p)SoitMunAmodulelibredebase(e,),,Ilexisteunhomomorphismeunifèrecpetunseuldel'algèbresymétriqueS(M)dansl'algèbreA(Xi)i,Itelquecp(ei)=XipourtoutiE,etcethomomorphismeestunisomorphisme(III,p)CetisomorphismeestditcanoniqueCelapermetd'appliquerauxalgèbresdepolynômescertainespropriétésdesalgèbressymétriquesParexemple,soit(,),,,unepartitiondeSoit,l'homomorphismedeP,=A(Xi)iEIJdansP=A(Xi)iErquitransformeXi(considérécommeélémentdeP,)enXi(considérécommeélémentdeP)Alorslescp,définissentunhomomorphismedel'algèbreP,dansELl'algèbreP,etcethomomorphismeestunisomorphisme(III,p,prop)SoitEunAmoduleOnposeE,A(Xi)i,I=E(Xi)i,JLesélémentsduAmoduleE(Xi),,s'appellentpolynômesenlesindéterminéesXiàcoefficientsdansEUntelpolynômes'écritd'unefaçonetd'uneseuleCeVOXv,oùeVEEvsN()etoùleseVsontnulssaufpourunnombrefinid'indicesleplussouvent,onécriraevXvpoureVXvDegrésSoitP=A(Xi)i,,unealgèbredepolynômesPourtoutentiernEN,soitP,lesousmoduledePengendréparlesmonômesXvtelsqueIvl=CvisoitégalielànAlors(P,,),,,estunegraduationquifaitdeA(X,),,,unealgèbregraduéedetypeN(III,p)LesélémentshomogènesdedegréndeA(Xi),,sontparfoisappelésformesdedegrénparrapportauxindéterminéesXiLorsqu'ilseraquestiondedegrédepolynômesnonhomogènes,nousconviendronsgénéralementd'adjoindreàl'ensembleNdesentiersnaturelsunélémentnotéCOetdeprolongeràNv{CD}larelationd'ordreetl'additiondeNparlesconventionssuivantes,oùnEN,Soitu=avXVun,polynômeLacomposantehomogèneundedegréndeuveN(')(pourlagraduationdetypeNdéfiniecidessus)estégaleàavXv,etl'onaévidemmentu=unLorsqueu#O,lesunnesontpastousnuls,etl'onappelleneNdegré(oudegrétotal)deu,etl'onnotedegu,leplusgranddesentiersntelsqueun#Oautrementdit(III,p),ledegrédeuestleplusgranddesentiersIvlpourlesmultiindicesvtelsquea,#OLorsqueu=O,ledegrédeuestégalparconventionàmPourtoutentierpEN,larelationdegu<péquivautdoncà«a,=Opourtoutmultiindicevtelquev>p>)l'ensembledespolynômesutelsquedegudpestdoncunsousAmoduledeA(Xi)i,i,égalàPoP,P,aveclesnotationscidessusSoitEunAmoduleLafamille(EP,),,,estunegraduationdetypeNdumoduleE(Xi),,,=EBAA(Xi),,JdespolynômesacoefficientsdansEOnétendàcecaslesconventionsadoptéesplushautpourledegrédespolynômesnonhomogènesPROPOSITIONSoientuetvdeuxpolynômes(i)Sidegu#degv,onauv#Oetdeg(uv)=sup(degu,degv)Sidegu=degv,onadeg(uv)ddegu(ii)Onadeg(uv)ddegudegvLesdémonstrationssontimmédiatesSoientJcetB=A(X,),,,,IdentifionsA(Xi)i,iàB(Xi)i,J(III,p)LedegrédeuEA(Xi),,,considérécommeélémentdeB(Xi)i,J,s'appelleledegrédeuparrapportauxXid'indiceiEJ(III,p)Soitu=CakX,EAXunpolynômenonnulenuneindéterminée,dedegréxk=OLecoefficienta,,quiestparhypothèse#,s'appellelecoefficientdominantdeuUnpolynômeu#Odontlecoefficientdominantestégalàs'appelleunpolynômeunitaireDansAIXl,X,,,X,,lenombredemonômesdedegrétotalpestégalaunombred'éléments(n,),,,,,deNqtelsquenk=p,c'estàdireàk=(E,III,p,prop)Plusgénéralement,soientAunmonoïdecommutatifet(,),,,unefamilled'élémentsdeAexisteuneuniquegraduationdetypeAdel'algèbreA(X,),,,tellequechaquemonômeXvsoitdedegrév,,(,p,exemple)LecasconsidéréidcidessusestceluioùA=Net,=Danslecasgénéral,pouréviterdesconfusions,nousutiliseronslemot«poids»aulieude«degré»,etlemot«isobare»aulieude«homogèneBParexemple,ilexisteuneuniquegraduationdetypeNdel'algèbreA(X,),,,tellequeX,soitdepoidsipourtoutentieriLesélémentsisobaresdepoidsnsontlespolynômesdelaformeavXvaveca,=Olorsqueivi#niBSubstitutionsSoientEunealgèbreassociativeunifèresurA,x=(xi),,unefamilled'élémentsdeEdeuxàdeuxpermutablesSoitX=(Xi),,unefamilled'indéterminéesD'aprèsIII,p,prop,ilexisteununiquehomomorphismeunifèrefdeAXdansEtelquef(Xi)=xipourtoutiEL'imaged'unélémentudeABparfsenoteu(x)ets'appellel'élémentdeEdéduitparsubstitutiondesx,auxX,dansu,oulavaleurdeupourlesvaleursx,desX,,ouencorelavaleurdeupourX,=x,Enparticulier,u=u((Xi),,,)Si=(,,n,onécritu(~,,,x,)aulieudeu((~~)~€~)Plusgénéralement,siMestunAmoduleetsivestunélémentdeonnotev(x)l'imagedevdaniMO,E=M(,,parl'application,fSiI'homomorphismeuHu(x)deABdansEestinjectif,onditquelafamillexestalgébriquementlibresurA,ouquelesxisontalgébriquementindépendantssurACelasignifieaussiquelesmonômesxv(vEN"))sontlinéairementindépendantssurASihestunhomomorphismeunifèredeEdansuneAalgèbreassociativeunifèreE',onacarhofestunhomomorphismedeABdansE'quitransformeXienA(xi)SoituEABSiEestcommutative,l'applicationxHu(x)deEdansEs'appellela,fonctionpolynomialedéfinieparu(etl'algèbreE)onlanoteparfoisfi(oumêmesimplementu)SoitY=(Yj)j,Juneautrefamilled'indéterminéesPrenonspourEl'algèbredepolynômesApSoituEAXpouriE,soitgiEAYetposonsg=(gi)iElsoitu(g)EAYlepolynômeobtenuparsubstitutiondespolynômesgiauxXidanslepolynômeuSoity=(Y~)~,,unefamilled'élémentsdeuxàdeuxpermutablesd'uneAalgèbreassociativeunifèreE'appliquons()enprenantpourhl'homomorphismegi,g(y)deEdansE'onobtient:()(~(g))(Y)=u((~li(~)))sif=(J)iei(N(Xj)jeJl)letg=(CIj)jdE(A(Yk)ksK)J,onnotefg,ouf(g),lafamilledepolynômes(f,(g))iErE(A(Yk)keK)'Sil'ondésigneparfl'applicationxHfi(^))^^deElJdansE"(oùE'estuneAalgèbreunifèreassociativeetcommutative),larelation()entraîneSih=(h,),,,E(A(Zl),eL)K,ilrésultede()que:PROPOSITIONSoita=(a,),,unefamilled'élémentsdeAetsoituEApSoitvlepolynômeobtenuparsubstitutiondeXiaiaXipourtoutiELetermeconstantdevestégalàu(a)LetermeconstantdevestobtenuparlasubstitutiondeOàXidansupourtoutiELapropositionrésultedoncdelaformule()COROLLAIRESoitml'idéaldespolynômesuEAIXtelsqueu(a)=OAlorsmestengendrépurlespolynômesXia,(pouriE)Ilestclairqu'onaXia,EmpourtoutiESoituEmetsoitucommedanslapropositionCommevestsanstermeconstant,ilexisteunefamilleàsupportfini(Pi),,,depolynômesdansABtellequeSubstituonsXia,àXipourtoutiEdansl'égalitéprécédenteontrouvealorsunerelationdelaformeu(X)=C(Xia,)P(X),d'oùlecorollaireidCOROLLAIRESoientX=(Xi)i,,etY=(Y,),,deuxfamillesd'indéterminéesL'ensemblebdespolynômesuEA,Ytelsqueu(X,X)=Oestl'idéaldeA,YengendréparlespolynômesXiYi(pouriE)Cecorollairerésulteimmédiatementducoroùl'onremplaceAparAYetaiparY,,eninterprétantAD(,Ycommel'anneaudespolynômesenlesXiàcoefficientsdansApPROPOSITIONSoientuEApetXZlafamille(XiZ),,d'élémentsdel'anneaudepolynômesAXZLecoeficientdeZkdansu(XZ)estlucomposantehomogènededegrékdeu,pourtoutentierpositifkIlsuffitdedémontrerlaproplorsqueuestunmonôme,auquelcasc'estimmédiatCOROLLAIREPourqu'unpolynômeuEAD(soithomogènededegrék,ilfautetilsuffitquel'onait:u(XZ)=u(X)ZkRemarqueSoitxtA'Soitfl'applicationuHu(x)deABdansASoitMunAmoduleConsidéronsI'homomorphismefdeMF=MO,ABdansMA=MPourtoutvEMX,ona(f)(v)=v(x)Siu=e,XV,EN(')onav(x)=xVevvcN(')DifférentiellesetdérivationsSoitB=A(X,),,,D'aprèsIII,p,ilexiste,pourtoutiE,uneAdérivationDideBetuneseuletelleque()DiXi=,Dixj=Opourj#iLepolynômeDiPs'appelleladérivéepartielledePparrapportàXionlenotedPaussiD,,P,ou,ouPkiD'aprèsIII,p,formule(),ona,siv=(vj)EN(I),ax,Ondéduitde()queDiDj=DjDiquelsquesoienti,jEPourv=(v~)~~~EN(I),onposeDv=nDfietv!=n(vi!)MunissonsN(')del'ordreproduitOnaidisLorsquePestunpolynômeenuneseuleindéterminéeX,l'uniquedérivéepardPtielledePsenoteDPououP',ets'appellesimplementladérivéedePdXSoitànouveauB=Ai)i,,D'aprèsIII,p,leBmoduleRA(B)desAdifférentiellesdeBadmetpourbaselafamille(dX,),,,desdifférentiellesdesXiSoitdilaformecoordonnéed'indiceirelativementàcettebasesurRA(B)Alorsl'applicationuH(ai,du)deBdansBestunedérivationdeBquitransformeXienetXjenOpourj#i,doncestDiautrementditonapourtoutuEBSiestfini,(Di),,estunebaseduBmoduledesdérivationsdeBPROPOSITIONSoientEuneAalgèbreassociative,commutativeetunifëre,x=(xi),,unefamilled'élémentsdeE,uunélémentdeA(Xi),J,etJ=u(x)PourtoutedérivationDdeEdansunEm

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